(共49张PPT)
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
第2课时 轨迹问题
探究点一 定义法求轨迹方程
探究点二 相关点（代入法）求轨迹方程
探究点三 直接法求轨迹方程
◆
◆
◆
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.
2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程.
探究点一 定义法求轨迹方程
例1 ［2025·重庆巴蜀中学高二期中］已知圆
和圆，若动圆 与这两圆一个内切一个外切，
记该动圆圆心的轨迹为，则 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为,半径,圆的圆心为 ,半
径，由，可知圆内含于圆 .
设动圆的半径为，由题意知, ，两式
相加可得，
故点的轨迹为以 , 为焦点的椭圆，且,，
所以 ,，所以椭圆方程为 .故选A.
变式（1）已知的周长为20，且顶点, ，则顶点
的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 的周长为20，顶点,，
，，
， 顶点 到两个定点的距离之和等于定值，
顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（不含与 轴的交点）
，，， 顶点 的轨迹方程是 .
故选B.
√
（2）已知圆，点，是圆 上的任意一
点，线段的垂直平分线和相交于点，则动点 的轨迹方程为
_ __________．
[解析] 连接，根据题意知 ，则
，故的轨迹是以， 为
焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为 ，则有,，
所以,，则，所以动点 的轨迹方程为 ．
［素养小结］
用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点
轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确
定，的值.
探究点二 相关点（代入法）求轨迹方程
例2 在中，已知，， .
（1）求顶点 的轨迹方程；
解：由题意可得，
故顶点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点），
且 ， ，
又，， ，
则顶点的轨迹方程为 ．
（2）求的重心 的轨迹方程．
解：设重心为，，则
， ，
即的重心的轨迹方程为 ．
变式 已知为椭圆上一动点，记原点为，若 ，
求点 的轨迹方程．
解：设点，由得点 ，
又点为椭圆 上的动点，
所以，整理得 ，
所以点的轨迹方程是 .
［素养小结］
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件
中去，即可解决问题.
探究点三 直接法求轨迹方程
例3 已知的两个顶点分别是和，边， 所
在直线的斜率的乘积是，求顶点 的轨迹方程.
解：设顶点的坐标为，则， .
依题意得，化简可得顶点 的轨迹方程为
.
变式（1）在平面直角坐标系中，已知点，直线 .若
动点在直线上的射影为，且，设点的轨迹为 ，
则 的轨迹方程为_ __________.
[解析] 设，由 ，得
,即 .
（2）［2025·潍坊高二期中］已知定点,，动点 满足
.设动点的轨迹为，则 的方程为___________.
[解析] 设，则, ,
，，
化简得 ，即，
动点的轨迹的方程为 .
［素养小结］
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将
几何条件直接翻译成,的形式，即，然后进行
等价变换.
求与椭圆有关的轨迹方程时：一般先分析能否根据条件直接判断轨
迹是什么图形,然后设出方程,利用待定系数法求解;或通过条件列出
动点坐标所满足的方程.直接列出方程就是直接法，寻求动点的坐标
与其他点的坐标的关系即为相关点法,寻求动点坐标与其他参数的关
系,消去参数得到轨迹方程即为参数法.
例1 已知的边的长为12,其他两边和 上的中线的长度
之和为30,建立适当的平面直角坐标系，求此三角形的重心 的轨迹
方程,并求顶点 的轨迹方程.
解:以的中点为原点,的方向为 轴的正方向,建立平面直角坐标
系,则,.
设,分别为, 边上的中线,则.
由重心的性质可知,点为与 的交点，且
,是两个定点,点到, 的距离之和等于定值20,且,
点的轨迹是椭圆（不包括位于 轴上的点）,,是椭圆的焦点,
,则，又 , ,
，
连接，易知点在 上，且，则
故点 的轨迹方程为,即 .
例2 ［2025·重庆秀山高级中学高二月考］已知是椭圆
上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足 ，
则动点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，则 ，所以
,，
因为 ，所以，可得
又是椭圆 上的动点，所以，
整理得动点 的轨迹方程为 .故选B.
练习册
1.设，为定点，动点满足 ，则动
点 的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
[解析] ，动点满足， 点 在线段
上.故选D.
√
2.已知动点到两坐标轴的距离相等，则点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 设点的坐标为，由题意得，即 .故选C.
√
3.在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点 的
轨迹为( )
A.椭圆 B.射线 C.圆 D.直线
[解析] 因为,是两个定点，所以不妨设，以 所在直线
为轴，线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，
设，，，则， ，
由得，即 ，所
以点 的轨迹为圆.故选C.
√
4.已知点的轨迹方程为,点，则的中点 的轨迹
方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设点的坐标为，点的坐标为 ，由中点坐标公
式得即
又点的轨迹方程为 ，所以，
整理得的轨迹方程为 .故选B.
5.［2025·重庆渝东九校联盟高二期中］已知点，点 是圆
上的一个动点，线段 的垂直平分线交
于点，则动点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得圆的标准方程为 ，则圆心为
，半径，因为 ，所以
，所以点 的轨
迹是以,为焦点的椭圆，其中,,所以, ,
所以，所以动点的轨迹方程为 .故选B.
√
6.（多选题）下列说法不正确的是( )
A.若定点,满足，动点满足 ，则动点
的轨迹是椭圆
B.若定点,满足，动点满足 ，则
动点 的轨迹是椭圆
C.当时，曲线 表示椭圆
D.若动点的坐标满足方程，则点 的轨迹是椭圆，且焦
点坐标为
√
√
[解析] 对于A，若定点,满足，动点 满足
，则动点的轨迹为以, 为端点的线段，
所以A中说法不正确；
对于B，若定点,满足，动点 满足
，由椭圆的定义，可得动点 的轨迹是以, 为焦点的
椭圆，所以B中说法正确；
对于C，当，即时，曲线 表示圆，
所以C中说法不正确；
对于D，若动点的坐标满足方程，则点
的轨迹是椭圆，其中,，可得 ，所以
焦点坐标为，所以D中说法正确.故选 .
7.已知点在圆上运动，轴，垂足为，点在
的延长线上，且，则点 的轨迹方程为__________________.
[解析] 设点的坐标为，点，由题意可知 ，且
则 点在圆 上运动，
，整理得，
故点 的轨迹方程为 .
8.若两定点，间的距离为3，动点满足，则点 的
轨迹围成区域的面积为____.
[解析] 以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则 .
设，依题意得 ，化简整理得
，即，则点 的轨迹为圆，
围成区域的面积为 .
9.（13分）［2025·邯郸大名一中高二期中］ 已知动点 到定点
的距离和到定直线的距离之比是常数，记点 的轨
迹为曲线，求曲线 的标准方程.
解：依题意得 ，即 ，
两边平方得 ，
整理得，故曲线的标准方程为 .
10.［2025·成都玉林中学高二月考］设向量 ，
，若，则点的轨迹 的方
程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得 ，它表示点
到点,的距离之和为4，
又，所以点 的轨迹为以,为焦点的椭圆，
且,,即 ，，所以，
可得点的轨迹的方程为 .故选C.
11.（多选题）设定点，，动点 满足
，则点 的轨迹可能是( )
A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线
√
√
[解析] ，，，又 ，
，当且仅当，即 时
等号成立.
当时，，此时点 的轨迹是线段；
当时，，此时点 的轨迹是椭圆.故选.
12.长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点
关于点的对称点 的轨迹方程为_ __________.
[解析] 设，，，则有 ，
，即，，
由题意可得 ，即，即，
故的轨迹方程为 .
13.已知为坐标原点，定点，是圆 内一动点，
圆与以线段为直径的圆内切，则动点 的轨迹方程为
_ __________________.
[解析] 取点，连接.设线段的中点为，圆与圆 内
切于点，连接，.
易知，，三点共线，因为， 分别为线段,的中点，
所以 ，
所以，
故点 的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与轴的交点），且，
则 ，又，则，故动点 的轨迹方程为
.
14.（15分）［2024·安徽怀远一中高二月考］ 已知, ,
,.求 的轨迹方程.
解：当，，三点共线时，若在的右侧，则由 ，
得，结合，可得 ，
故，则，则 .
同理,若在的左侧，则，故 ，则
，故 .
当,,三点不共线时，因为，所以四边形 是平
行四边形，所以 .
由，得，所以的轨迹是以,
为焦点的椭圆（除去与轴的交点），且,,，所以
的轨迹方程为 .
综上，的轨迹方程为 .
15.［2024·浙江宁波三锋教研联盟高二期中］已知一张纸上面有半径
为4的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆 上
某一点刚好与点 重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，
当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为 ，
以的中点为原点，所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则曲
线 的方程为_ __________.
[解析] 由题意，不妨令，，设折痕与和 分别交
于，两点，则，连接，所以 ，所以
，故所有折痕
与的交点的轨迹为以，为焦点的椭圆，故曲线 的方程为
.
16.（15分）在平面直角坐标系中，的两个顶点为 ，
，， ，
的平分线与点的轨迹相交于点.若存在非零实数 ，使得
，求顶点 的轨迹方程.
解：设的内角，所对的边分别为，， ，
因为，所以是 的重心.
因为 ，即
，所以 ，
所以点在 的平分线上.
因为的平分线与点的轨迹相交于点，所以点为 的内
心，所以点的坐标为，即 ，
又，所以，所以与 轴平行，
又，所以，所以，所以点 的轨迹
是以， 为焦点，长轴长为4的椭圆.
当是椭圆长轴的端点时，不能构成三角形，不符合题意，当 是椭
圆短轴的端点时，，与存在非零实数 ，使得 矛盾，
不符合题意.
椭圆的焦距为2，长轴长为4，可得椭圆的方程为 ，所以
顶点的轨迹方程为 .
快速核答案（导学案）
课中探究 例1.A 变式.（1）B （2）
例2.（1）．（2），
例3. .
变式.（1） （2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.AC 7. 8.
9..10.C 11.BC 12.
13. 14..
15. 16..第2课时 轨迹问题
【课中探究】
探究点一
例1 A [解析] 圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r1=10,圆C2的圆心为C2(3,0),半径r2=2,由|C1C2|=6<10-2=8,可知圆C2内含于圆C1.设动圆P的半径为R,由题意知|C2P|=r2+R,|C1P|=r1-R,两式相加可得|PC1|+|PC2|=r1+r2=12>|C1C2|=6,故点P的轨迹为以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=12,2c=6,所以a2=36,b2=a2-c2=27,所以椭圆方程为+=1.故选A.
变式 (1)B (2)+=1
[解析] (1)∵△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,∵12>8,∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值,∴顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(不含与y轴的交点).∵a=6,c=4,∴b2=20,∴顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0).故选B.
(2)连接QF,根据题意知|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2,故Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,则b=,所以动点Q的轨迹方程为+=1.
探究点二
例2 解:(1)由题意可得2|AB|=|AC|+|BC|=2×4=8>4,故顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去与直线AB的交点),且2a=8,∴a=4,
又2c=4,∴c=2,∴b2=a2-c2=12,
则顶点C的轨迹方程为+=1(y≠0).
(2)设重心为G(x,y),C(x0,y0),则∴
∵+=1(y0≠0),
∴+=1(y≠0),
即△ABC的重心G的轨迹方程为+=1(y≠0).
变式 解:设点Q(x,y),由=2得点P(2x,2y),
又点P为椭圆+=1上的动点,
所以+=1,整理得+=1,
所以点Q的轨迹方程是+=1.
探究点三
例3 解:设顶点A的坐标为(x,y)(x≠0),则kAB=,kAC=.
依题意得·=-,化简可得顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0).
变式 (1)+y2=1 (2)+=1 [解析] (1)设P(x,y),由||=||,得|2-x|=×,即+y2=1.
(2)设P(x,y),则=(x-4,y),=(-3,0),=(1-x,-y).∵·=6||,∴-3(x-4)=6,化简得3x2+4y2=12,即+=1,∴动点P的轨迹E的方程为+=1.第2课时 轨迹问题
1.D [解析] ∵|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,∴点M在线段F1F2上.故选D.
2.C [解析] 设点P的坐标为(x,y),由题意得|x|=|y|,即y=±x.故选C.
3.C [解析] 因为A,B是两个定点,所以不妨设|AB|=2a,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y),由·=2得(x-a)(x+a)+y2=2,即x2+y2=a2+2,所以点C的轨迹为圆.故选C.
4.B [解析] 设点M的坐标为(x,y),点C的坐标为(x0,y0),由中点坐标公式得即又点C的轨迹方程为+y2=1,所以+(2y)2=1,整理得M的轨迹方程为(x-2)2+4y2=1.故选B.
5.B [解析] 由题意得圆N的标准方程为(x-3)2+y2=64,则圆心为N(3,0),半径r=8,因为|QM|=|QP|,所以|QN|+|QM|=|QP|+|QN|=|NP|=8>|MN|=6,所以点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=6,所以c=3,a=4,所以b2=7,所以动点Q的轨迹方程为+=1.故选B.
6.AC [解析] 对于A,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|,则动点P的轨迹为以F1,F2为端点的线段,所以A中说法不正确;对于B,若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,由椭圆的定义,可得动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以B中说法正确;对于C,当4-k=k-1,即k=时,曲线C:+=1表示圆,所以C中说法不正确;对于D,若动点M的坐标满足方程+=1,则点M的轨迹是椭圆,其中a2=4,b2=2,可得c==,所以焦点坐标为(±,0),所以D中说法正确.故选AC.
7.+=1(y≠0) [解析] 设点M的坐标为(x,y),点P(x0,y0),由题意可知y0≠0,且则∵点P在圆x2+y2=4上运动,∴x2+=4(y≠0),整理得+=1(y≠0),故点M的轨迹方程为+=1(y≠0).
8.4π [解析] 以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意得=2,化简整理得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则点M的轨迹为圆,围成区域的面积为4π.
9.解:依题意得=,
即2=|8-x|,
两边平方得4(x2-4x+4+y2)=64-16x+x2,
整理得+=1,故曲线C的标准方程为+=1.
10.C [解析] 由题意可得+=4,它表示点M(x,y)到点(0,1),(0,-1)的距离之和为4,又4>2,所以点M(x,y)的轨迹为以(0,1),(0,-1)为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b2=3,可得点M(x,y)的轨迹C的方程为+=1.故选C.
11.BC [解析] ∵F1(0,-3),F2(0,3),∴|F1F2|=6,又a>0,∴|PF1|+|PF2|=a+≥2=6,当且仅当a=,即a=3时等号成立.当a+=6时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的轨迹是线段F1F2;当a+>6时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的轨迹是椭圆.故选BC.
12.+=1 [解析] 设A(x1,0),B(0,y2),M(x,y),则有x+x1=0,y+0=2y2,即x1=-x,y2=,由题意可得+=4,即(-x)2+=4,即+=1,故M的轨迹方程为+=1.
13.+=1(x≠±2) [解析] 取点E(-1,0),连接ME.设线段FM的中点为P,圆P与圆O内切于点Q,连接OP,PQ.易知O,P,Q三点共线,因为O,P分别为线段EF,MF的中点,所以|ME|=2|OP|,所以|ME|+|MF|=2|OP|+2|PQ|=2|OQ|=4>|EF|,故点M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且2a=4,则a=2,又c=1,则b==,故动点M的轨迹方程为+=1(x≠±2).
14.解:当A,B,C三点共线时,若C在A的右侧,则由=+,得||2=4+||2+4||,结合||+||=4,可得||=1,故C(0,0),则=+=(2,0)+(1,0)=(3,0),则P(2,0).
同理,若C在A的左侧,则||=3,故C(-4,0),则=+=(2,0)+(-3,0)=(-1,0),故P(-2,0).
当A,B,C三点不共线时,因为=+,所以四边形ACPB是平行四边形,所以||=||.
由||+||=4,得||+||=4>2,所以P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点),且a=2,c=1,b=,所以P的轨迹方程为+=1(y≠0).
综上,P的轨迹方程为+=1.
15.+=1 [解析] 由题意,不妨令C(-1,0),A(1,0),设折痕与A'C和AA'分别交于M,N两点,则MN⊥AA',连接MA,所以|MA'|=|MA|,所以|MA|+|MC|=|MA'|+|MC|=|A'C|=4>|AC|=2,故所有折痕与A'C的交点M的轨迹为以C,A为焦点的椭圆,故曲线S的方程为+=1.
16.解:设△ABC的内角A,B所对的边分别为a,b,C(x,y)(y≠0),
因为++=0,所以G是△ABC的重心.
因为=+λ(λ>0),即-=λ(λ>0),所以=λ(λ>0),所以点P在∠BAC的平分线上.
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I,所以点I为△ABC的内心,所以点I的坐标为,即,又=μ,所以∥,所以GI与x轴平行,
又G,所以=,所以a+b=4>|AB|,所以点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆.
当C是椭圆长轴的端点时,不能构成三角形,不符合题意,当C是椭圆短轴的端点时,=0,与存在非零实数μ,使得=μ矛盾,不符合题意.
椭圆的焦距为2,长轴长为4,可得椭圆的方程为+=1,所以顶点C的轨迹方程为+=1(xy≠0).第2课时 轨迹问题
【学习目标】
1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.
2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程.
◆ 探究点一 定义法求轨迹方程
例1 [2025·重庆巴蜀中学高二期中] 已知圆C1:(x+3)2+y2=100和圆C2:(x-3)2+y2=4,若动圆P与这两圆一个内切一个外切,记该动圆圆心的轨迹为M,则M的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
变式 (1)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 ( )
A.+=1(x≠0)
B.+=1(x≠0)
C.+=1(x≠0)
D.+=1
(2)已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平分线和PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为 .
[素养小结]
用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,可以先定位,再确定a,b的值.
◆ 探究点二 相关点(代入法)求轨迹方程
例2 在△ABC中,已知A(-2,0),B(2,0),2|AB|=|AC|+|BC|.
(1)求顶点C的轨迹方程;
(2)求△ABC的重心G的轨迹方程.
变式 已知P为椭圆+=1上一动点,记原点为O,若=2,求点Q的轨迹方程.
[素养小结]
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题.
◆ 探究点三 直接法求轨迹方程
例3 已知△ABC的两个顶点分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-,求顶点A的轨迹方程.
变式 (1)在平面直角坐标系xOy中,已知点Q(1,0),直线l:x=2.若动点P在直线l上的射影为R,且||=||,设点P的轨迹为C,则C的轨迹方程为 .
(2)[2025·潍坊高二期中] 已知定点M(4,0),N(1,0),动点P满足·=6||.设动点P的轨迹为E,则E的方程为 .
[素养小结]
直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x,y的形式,即F(x,y)=0,然后进行等价变换.第2课时 轨迹问题
1.设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
2.已知动点P到两坐标轴的距离相等,则点P的轨迹方程为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=±x D.y=x2
3.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若·=2,则点C的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.射线
C.圆 D.直线
4.已知点C的轨迹方程为+y2=1,点P(4,0),则PC的中点M的轨迹方程为 ( )
A.x2+4y2=1
B.(x-2)2+4y2=1
C.x2+4(y-1)2=1
D.x2+4(y-4)2=1
5.[2025·重庆渝东九校联盟高二期中] 已知点M(-3,0),点P是圆N:x2-6x+y2-55=0上的一个动点,线段MP的垂直平分线交NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.(多选题)下列说法不正确的是 ( )
A.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则动点P的轨迹是椭圆
B.若定点F1,F2满足|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是椭圆
C.当1D.若动点M的坐标满足方程+=1,则点M的轨迹是椭圆,且焦点坐标为(±,0)
7.已知点P在圆x2+y2=4上运动,DP⊥x轴,垂足为D,点M在DP的延长线上,且=,则点M的轨迹方程为 .
8.若两定点A,B间的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为 .
9.(13分)[2025·邯郸大名一中高二期中] 已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离和P到定直线l:x=8的距离之比是常数,记点P的轨迹为曲线C,求曲线C的标准方程.
10.[2025·成都玉林中学高二月考] 设向量s=(x,y+1),t=(y-1,x)(x,y∈R),若|s|+|t|=4,则点M(x,y)的轨迹C的方程是 ( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
11.(多选题)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是 ( )
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
12.长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为 .
13.已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切,则动点M的轨迹方程为 .
14.(15分)[2024·安徽怀远一中高二月考] 已知A(-1,0),B(1,0),=+,||+||=4.求P的轨迹方程.
15.[2024·浙江宁波三锋教研联盟高二期中] 已知一张纸上面有半径为4的圆C,在圆C内有一个定点A,且AC=2,折叠纸片,使圆C上某一点A'刚好与点A重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A'取遍圆C上所有点时,所有折痕与A'C的交点形成的曲线记为S,以CA的中点为原点,CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则曲线S的方程为 .
16.(15分)在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点为A(-1,0),B(1,0),++=0,=+λ(λ>0),∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I.若存在非零实数μ,使得=μ,求顶点C的轨迹方程.
