(共66张PPT)
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
探究点一 椭圆的简单几何性质
探究点二 由几何性质求椭圆的标准方程
探究点三 求椭圆的离心率
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征，并用其标准方程分析推导
出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.能说明椭圆特征量的几何意义.
3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性
质的代数表达.
知识点 椭圆的简单几何性质
1.椭圆的几何性质
标准方程
图形 ___________________________________________ _____________________________
性质 焦点 ________________ ________________
焦距 范围 _______________ ______________
,
,
,
,
标准方程
性质 对称性 关于________________对称 长轴 ,其中 为长半轴长 短轴 ,其中 为短半轴长 顶点 ______________ _______________
离心率 _ _____ 轴、轴和原点
,
,
续表
2.离心率对椭圆扁圆程度的影响
（1）离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,用 表示，即______,
.
（2）离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示,在中, ,记
,则,越大, 越小,椭圆
越____;越小, 越大,椭圆越____.
扁
圆
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）设为椭圆的一个焦点， 为椭圆上任
一点，则的最大值为为椭圆的半焦距 .( )
√
（2）椭圆的离心率 越大,椭圆就越圆.( )
×
[解析] 椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆就越扁;
离心率越小,椭圆就越圆.
（3）若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的
方程为 .( )
×
[解析] 因为,,所以,.当椭圆的焦点在 轴上
时,椭圆的方程为;当椭圆的焦点在 轴上时,椭圆的方程为
.
探究点一 椭圆的简单几何性质
例1 已知椭圆,椭圆与椭圆 的长轴长、短轴长分
别相等,且椭圆的焦点在 轴上.
（1）求椭圆 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
解：由椭圆,可得, ,
则,故椭圆 的长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐
标为,,离心率 .
（2）写出椭圆的方程,并写出,的取值范围及椭圆 的对称性、
顶点、焦点和离心率.
解：椭圆的方程为 .
①,的取值范围:, .
②对称性:关于轴、 轴、原点对称.
③顶点:,,, .
④焦点:, .
⑤离心率: .
变式（1）（多选题）已知椭圆， ，则
下列说法中错误的是( )
A.与的顶点相同 B.与 的长轴长相等
C.与的短轴长相等 D.与 的焦距相等
√
√
√
[解析] 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆
的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题意得 ,
,，, , .
对于A，的顶点坐标为，，的顶点坐标为，
，A中说法错误.
对于B， 的长轴长为，的长轴长为8，B中说法错误.
对于C， 的短轴长为4，的短轴长为，C中说法错误.
对于D，和的焦距都为 ，D中说法正确.故选 .
（2）［2025·天津北辰区高二期中］已知椭圆 的
焦距是4，则该椭圆的长轴长为_____.
[解析] 当焦点在轴上时，，解得 ，所以长轴长为；
当焦点在轴上时，，解得 （舍去）.
综上所述，椭圆的长轴长为 .
［素养小结］
由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点：
（1）已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式的方程，
则先化成标准形式的方程，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.
（2）焦点位置不确定的要分类讨论，找准与，正确利用
求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、
短轴长、焦距不是，，，而应是，，.
探究点二 由几何性质求椭圆的标准方程
例2（1）［2025·山东百师联盟高二联考］与椭圆 有相同
焦点，且长轴长为 的椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设所求椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为 ，因
为椭圆的焦点坐标为， ，所以所求椭圆的
焦点在轴上，且.
因为所求椭圆的长轴长为，即 ，所以，所以
，所以所求椭圆的方程是 .故选C.
（2）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，
，为椭圆上的动点，的最小值为1，当不在 轴上时，
的周长为34，则椭圆 的标准方程为_ __________.
[解析] 由的最小值为1，得.
由当不在 轴上时，的周长为34，得，
所以， .
由，可得，所以椭圆的标准方程为 .
变式（1）［2025·长沙明德中学高二期中］已知焦点在 轴上的椭圆
的离心率为，焦距为 ，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 设椭圆的方程为，焦距为 ，由
得，由得，故 ，
所以该椭圆的方程为 .故选D.
√
（2）已知椭圆的中心在原点，且椭圆过点 ，椭圆的焦点在坐
标轴上，长轴长是短轴长的3倍，则该椭圆的方程为
_ ________________________.
或
[解析] 若焦点在轴上，则设椭圆方程为 ，
由题意得解得 椭圆的方程为 .
若焦点在轴上，则设椭圆方程为 ，由题意
得解得
椭圆的方程为.综上，所求椭圆的方程为 或
.
［素养小结］
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数；
（4）写出椭圆的标准方程.
拓展 ［2025·天津四十七中高二期中］已知椭圆
的右顶点为，上顶点为 ，从椭圆上一点
向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若为坐标原点 ,
，则椭圆 的标准方程为___________.
[解析] 依题意，设椭圆的半焦距为，则 ，
把代入，解得，所以 .
由，得，即，解得 ，所以
，因此，解得 ，
则,，所以椭圆的标准方程为 .
探究点三 求椭圆的离心率
例3（1）已知椭圆，其上顶点为 ，左、右
焦点分别为,，且为等边三角形，则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，椭圆的离心率为 .
故选A.
√
（2）若椭圆的左、右焦点分别为， ，线
段被点分成 的两段，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得，解得，所以 ，
所以 .故选D.
√
变式（1）已知矩形 的四个顶点都在椭圆
上，边和 分别经过椭圆的左、右焦点，
且 ，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆方程知，当时，，所以 ,
.
因为，所以，即 ，
所以，可得 ，故选A.
√
（2）已知椭圆,,分别是 的左、右焦
点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则 的
离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由于线段的中点在轴上,坐标原点是 的中点，所
以,所以轴.
因为， ，
所以, .
由椭圆定义可得，即，所以 ，故选A.
［素养小结］
求椭圆离心率的值（或取值范围）的方法
（1）直接法:若已知,，可直接利用求解.
若已知,或,，可借助于求出或,再代入公式
求解.
（2）方程法或不等式法:若,的值不可求,则可根据条件建立,,的
关系式,借助于转化为关于,的齐次方程或不等式,再将
方程或不等式两边同时除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,
即可求得的值或取值范围.
拓展 ［2025·重庆一中高二期中］已知椭圆
的左焦点为，上顶点为 ，若在以
点为圆心，为半径的圆上存在点，使得直线的斜率为 ，则
椭圆 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知直线的方程为，即 ，
圆的方程为.
由题意知，直线与圆 有交点，即直线与圆相交或相切，
所以，即 ，
解得，所以，
又 ，所以离心率，
又，所以的取值范围是 .故选C.
根据曲线的方程,研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析
几何的基本问题之一.本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何
性质.其性质可分为两类:一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长
轴长、短轴长、离心率、焦距等;一类是与坐标系有关的性质,如顶点、
焦点等.
1.对椭圆的简单几何性质的认识
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置.
（2）椭圆的范围决定椭圆的大小.
（3）椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度.
（4）对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交
点,是椭圆上重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.
2.椭圆离心率对椭圆扁平程度的影响
椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度.
由可知,当越接近于1时, 越接近于
0,椭圆越扁;当越接近于0时,越接近于1,椭圆越圆.当且仅当 时,
,两焦点重合,图形变为圆,方程为 ,但需要特别指出
的是圆与椭圆是完全不同的两种曲线,圆不是椭圆的特殊情形.
1.椭圆几何性质的拓展
（1）设为椭圆上的任意一点， 为坐
标原点：当时,有最小值,这时在短轴端点处;当 时,
有最大值,这时 在长轴端点处.
（2）以椭圆上任意一点与两焦点, 为
顶点的称为焦点三角形,其周长为 .
（3）以椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点为顶点的三角形是
直角三角形,其三边长满足等式 .
（4）椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点.
例1（1）［2025·哈尔滨师大附中高二期中］已知椭圆 ，
则椭圆上的点到点 的距离的最大值是( )
A.2 B. C. D.
[解析] 设是椭圆上的一个动点，则 ，
，
因为，所以当时，取得最大值 ，
故选C.
√
（2）已知椭圆，点和 分别是椭圆的左、右焦点，点
是椭圆上一点，则 内切圆半径的最大值为___.
[解析] 由题知,, ，由椭圆的定义得
，，
设点到轴的距离为， 内切圆的半径为，
则 ，得，
要使最大，只需最大， ，故 .
2.求椭圆离心率的方法总结
（1）找与或与的关系，利用 求解；
（2）利用平行、相似、特殊图形等几何关系得，， 的关系求解.
例2（1）已知直线与焦点在 轴上的椭圆
总有公共点，则椭圆 的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为椭圆焦点在轴上，所以 ，
又因为，所以 .
易知直线过定点 且与椭圆
总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上，
即，解得，所以 .
综上 ，故 .故选D.
(2)[2025·玉溪一中高二期中]点 为椭圆的
右焦点，直线与椭圆 交于，两点，为坐标原点，
若 为正三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 不妨设在第一象限，因为为正三角形， ，所以
，又在椭圆上，所以，即 ，可
得，即，解得或 .
因为，所以 .故选A.
√
练习册
1.椭圆 的长轴长为( )
A.1 B.2 C. D.4
[解析] 椭圆的标准方程为，，，
该椭圆的长轴长为 .故选B.
√
2.若椭圆的离心率是，则 的值为( )
A. B. C.或3 D. 或3
[解析] 当，即时，焦点在 轴上，
,由,得；
当 ，即时，焦点在轴上，
,由，得 .故选C.
√
3.［2025·杭州七中高二期中］与椭圆 有相同焦点，
且短半轴长为 的椭圆方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 椭圆的标准方程为，焦点在 轴上，
设所求椭圆方程为 ，依题意有
所以, ，
所以所求椭圆方程为 .故选B.
√
4.如图，把椭圆的长轴 分成10
等份，过每个分点作 轴的垂线分别交椭圆
的上半部分于点,, ,， 是椭圆的左
焦点，则 ( )
A.16 B.18 C.20 D.22
√
[解析] 设椭圆的右焦点为，由 ,可得 ,由椭圆的定义及椭圆
的对称性，可得, ,, ,
所以 .故选B.
5.下列四个椭圆中，形状最扁的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆
中，椭圆 的形状最扁．故选A.
√
6.（多选题）已知椭圆 ，则( )
A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的一个焦点为
C.椭圆的短半轴长为6 D.椭圆的离心率为
[解析] 由题可知,,，且椭圆的焦点在 轴上，
所以椭圆的长轴长为，焦点为 ，短半轴长为3，离心
率.故选 .
√
√
7.［2025·天津滨海新区高二期中］已知， 分别为椭圆
的左、右焦点，为上顶点，则 的面积为_____.
[解析] 由题得,,,所以 ，所以
.
8.［2025·绵阳南山中学高二期中］已知椭圆
的左、右焦点分别为,，过作轴的垂线交椭圆于一点 ，若
，则该椭圆的离心率是_______.
[解析] 由题意可知, ，
因为，所以 ，可得
，所以该椭圆的离心率 .
9.（13分）［2025·厦门高二期中］ 已知椭圆
的焦距为2，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题意得,，所以, ，
故 ，故椭圆的方程为 .
（2）若椭圆的左焦点为，椭圆上的点的横坐标为，求椭圆
的长轴长、短轴长及（ 为坐标原点）的面积.
解：椭圆的长轴长为，短轴长为 .
由题意得，将代入，得 ，
不妨设，显然 轴，故
.
10.［2025·天津耀华中学高二期中］已知， 分别是椭圆
的左、右焦点，点在椭圆上运动，则 的最大值
是( )
A.4 B.5 C.2 D.1
√
[解析] 由椭圆，得,，所以 ，
所以,.
设，则 ，，
所以，由 在椭圆上运动，得，
所以 ，易知，
所以 的最大值为1.故选D.
11.（多选题）如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平
面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2， ，则 ( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
√
√
√
[解析] 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为 ，半焦距为 ，
椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面圆的直径，则
，解得，故A不正确；
显然 ，则，离心率 ，故B正确；
当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为 轴建立平面
直角坐标系时，椭圆的标准方程为 ，故C正确；
椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为，故D正确.
故选 .
12.［2025·天津南开中学高二月考］已知平行四边形 内接于椭
圆,且， 斜率之积的取值范围为
,则椭圆离心率的取值范围是________.
[解析] 由题意得,关于原点对称，设，则 ，
设，则 ，
所以的取值范围为，又椭圆的离心率 ，
所以的取值范围为 .
13.已知是椭圆上的一点，，分别为
的左、右焦点，且，.若 的角平分线
与轴交于点，则椭圆 的长轴长为_____.
[解析] 因为，所以 ，即
，所以，所以 .
在中，由正弦定理得，即 ，
在中，由正弦定理得，即 ，
因为的角平分线与轴交于点，所以 ，
所以，
又因为 ，所以，
所以，即，解得 ，
所以，即椭圆的长轴长为 .
14.（15分）已知，是椭圆 的两个焦
点，为上一点， 为坐标原点.
（1）若为等边三角形，求 的离心率；
解：连接，由为等边三角形可知，
在 ，， ，
于是，
故椭圆 的离心率 .
（2）若存在点，使得，且的面积等于16，求 的
值和 的取值范围.
解：由题意可知，若满足条件的点存在，则 ，
，，即①， ，
.由②③及得 ，
又由①知，故 .由②③得，所以 ，
从而 ，故，
所以当，时，存在满足条件的点 .
15.［2025·山东百师联盟高二期中］在平面直角坐标系中，方程
表示的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于，将换成，换成 ，得
，所以椭圆关于直线对称；
将换成， 换成，得，所以椭圆关于直线
对称.
√
设直线
所以；
设直线与椭圆交于， 两点，由
解得或所以 .
由椭圆的性质知，椭圆的长轴长为 ，短轴长为
，所以，，所以 ，
所以焦距为 .故选C.
16.（15分）已知椭圆的离心率是 ，左、
右焦点分别为，，点，在线段 的垂直平分线上.
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由椭圆的离心率，得，其中，椭圆
的左、右焦点分别为，.
连接，在线段 的垂直平分线上，
， ，可得 ，
，， 椭圆的标准方程为 .
（2）如果圆上的点均在椭圆 内部
（包括边界），求圆 的半径的最大值.
解：圆的圆心为，设 是
椭圆上任意一点，连接，则 ， ，
，
当时，， 圆的半径的最大值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.,,,,,,,
,轴、轴和原点,,,,,
2.（1） （2）扁,圆 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）×
课中探究 例1.（1）长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为, ,离心率.
（2）椭圆的方程为.①,的取值范围:,.
②对称性:关于轴、轴、原点对称.③顶点:,,,.
④焦点:,.⑤离心率:. 变式.（1）ABC （2）
例2.（1）C （2） 变式.（1）D （2）或 拓展.
例3.（1）A （2）D 变式.（1）A （2）A 拓展.C
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.AD 7. 8.
9.（1）.（2）长轴长为，短轴长为..
10.D 11.BCD 12. 13. 14.（1）. （2）.
15.C 16.（1）.（2）.3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
【课前预习】
知识点
1.F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c) |x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a x轴、y轴和原点
(±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
e=
2.(1)e= (2)扁 圆
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,离心率越大,椭圆就越扁;离心率越小,椭圆就越圆.
(3)因为2a=10,2b=8,所以a=5,b=4.当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的方程为+=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的方程为+=1.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由椭圆C1:+=1,可得a2=100,b2=64,
则c2=a2-b2=36,故椭圆C1的长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e1=.
(2)椭圆C2的方程为+=1.
①x,y的取值范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10.
②对称性:关于x轴、y轴、原点对称.
③顶点:(0,10),(0,-10),(8,0),(-8,0).
④焦点:(0,6),(0,-6).
⑤离心率:e2=.
变式 (1)ABC (2)4 [解析] (1)设椭圆C1的长轴长为2a1,短轴长为2b1,焦距为2c1,椭圆C2的长轴长为2a2,短轴长为2b2,焦距为2c2,则由题意得a1=2,b1=2,c1==2,a2=4,b2=2,c2==2.对于A,C1的顶点坐标为(±2,0),(0,±2),C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±2),A中说法错误.对于B,C1的长轴长为4,C2的长轴长为8,B中说法错误.对于C,C1的短轴长为4,C2的短轴长为4,C中说法错误.对于D,C1和C2的焦距都为4,D中说法正确.故选ABC.
(2)当焦点在x轴上时,=2,解得m=8,所以长轴长为4;当焦点在y轴上时,=2,解得m=0(舍去).综上所述,椭圆的长轴长为4.
探究点二
例2 (1)C (2)+=1
[解析] (1)设所求椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,因为椭圆+=1的焦点坐标为(-,0),(,0),所以所求椭圆的焦点在x轴上,且c2=5.因为所求椭圆的长轴长为4,即2a=4,所以a2=20,所以b2=15,所以所求椭圆的方程是+=1.故选C.
(2)由|PF1|的最小值为1,得a-c=1.由当P不在x轴上时,△PF1F2的周长为34,得2a+2c=34,所以c=8,a=9.由a2-b2=c2,可得b=,所以椭圆C的标准方程为+=1.
变式 (1)D (2)+=1或+=1
[解析] (1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,由2c=2得c=,由e==得a=3,故b2=a2-c2=7,所以该椭圆的方程为+=1.故选D.
(2)若焦点在x轴上,则设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),由题意得解得∴椭圆的方程为+=1.若焦点在y轴上,则设椭圆方程为+=1(a2>b2>0),由题意得解得
∴椭圆的方程为+=1.综上,所求椭圆的方程为+=1或+=1.
拓展 +=1 [解析] 依题意,设椭圆的半焦距为c,则|F1A|=a+c=+,把x=-c代入+=1,解得y=±,所以|PF1|=.由AB∥OP,得=,即=,解得b=c,所以a==c,因此c+c=+,解得c=,则a=,b=,所以椭圆C的标准方程为+=1.
探究点三
例3 (1)A (2)D [解析] (1)由题可知,椭圆C的离心率为e==cos∠AF1F2=cos=.故选A.
(2)依题意得=,解得c=2b,所以a==b,所以e===.故选D.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)由椭圆方程知,当x=c时,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=.因为2|AB|=|BC|,所以4c=,即2ac=b2=a2-c2,所以2e=1-e2,可得e=-1+,故选A.
(2)由于线段PF1的中点M在y轴上,坐标原点O是F1F2的中点,所以MO∥PF2,所以PF2⊥x轴.因为|F1F2|=2c,∠PF1F2=,所以|PF2|=|F1F2|tan∠PF1F2=,|PF1|===.由椭圆定义可得+=2a,即a=c,所以e=,故选A.
拓展 C [解析] 由题知直线AM的方程为y=x+b,即4x-3y+3b=0,圆F的方程为(x+c)2+y2=c2.由题意知,直线AM与圆F有交点,即直线AM与圆F相交或相切,所以≤c,即|3b-4c|≤5c,解得-≤b≤3c,所以0第1课时 椭圆的简单几何性质
1.B [解析] 椭圆的标准方程为+=1,∴a2=1,∴a=1,∴该椭圆的长轴长为2a=2.故选B.
2.C [解析] 当m+9>9,即m>0时,焦点在y轴上,c==,由e==,得m=3;当03.B [解析] 椭圆9x2+4y2=36的标准方程为+=1,焦点在y轴上,设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),依题意有所以a2=25,b2=20,所以所求椭圆方程为+=1.故选B.
4.B [解析] 设椭圆的右焦点为F',由a2=4,可得a=2,由椭圆的定义及椭圆的对称性,可得|P1F|=|P9F'|,|P2F|=|P8F'|,|P3F|=|P7F'|,…,所以|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=(|P9F'|+|P9F|)+(|P8F'|+|P8F|)+(|P7F'|+|P7F|)+(|P6F'|+|P6F|)+(|P5F'|+|P5F|)=9a=18.故选B.
5.A [解析] 因为椭圆的离心率越大,椭圆的形状越扁,所以这四个椭圆中,椭圆+=1的形状最扁.故选A.
6.AD [解析] 由题可知a=3,b=3,c=3,且椭圆C的焦点在y轴上,所以椭圆C的长轴长为6,焦点为(0,±3),短半轴长为3,离心率e==.故选AD.
7.3 [解析] 由题得A(0,3),F1(-,0),F2(,0),所以|F1F2|=2,所以=|F1F2|·|yA|=×2×3=3.
8.2- [解析] 由题意可知|PF1|=2|F1F2|=4c,|PF2|=|F1F2|=2c,因为|PF1|+|PF2|=2a,所以4c+2c=2a,可得==2-,所以该椭圆的离心率e==2-.
9.解:(1)由题意得2c=2,=,所以c=1,a=2,
故b2=a2-c2=4-1=3,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)椭圆C的长轴长为2a=4,短轴长为2b=2.
由题意得F1(-1,0),将x=-1代入+=1,得y=±,
不妨设A,显然AF1⊥x轴,故=|OF1|·|AF1|=×1×=.
10.D [解析] 由椭圆+y2=1,得a=2,b=1,所以c==,所以F1(-,0),F2(,0).设P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y),所以·=x2-3+y2,由P在椭圆上运动,得y2=1-,所以·=x2-2(-2≤x≤2),易知·∈,所以·的最大值为1.故选D.
11.BCD [解析] 设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的射影为圆柱底面圆的直径,则2a===8,解得a=4,故A不正确;显然b=2,则c==2,离心率e==,故B正确;当以椭圆长轴所在直线为y轴,短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为+=1,故C正确;椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为a-c=4-2,故D正确.故选BCD.
12. [解析] 由题意得B,D关于原点对称,设B(m,n),则D(-m,-n),设A(x,y),则kABkAD=·===-,所以-的取值范围为,又椭圆的离心率e=,所以e的取值范围为.
13. [解析] 因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即10|PF2|2=4c2,所以|PF2|=c,所以|PF1|=3|PF2|=c.在△PF1Q中,由正弦定理得=,即=,在△PF2Q中,由正弦定理得=,即=,因为∠F1PF2的角平分线与x轴交于点Q,所以∠F1PQ=∠F2PQ,所以sin∠F1PQ=sin∠F2PQ,又因为∠PQF1+∠PQF2=π,所以sin∠PQF1=sin∠PQF2,所以=,即=,解得c=1,所以2a=|PF1|+|PF2|=c=,即椭圆C的长轴长为.
14.解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知,在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c+c,故椭圆C的离心率e===-1.
(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则|y|·2c=16,·=-1,+=1,即c|y|=16①,x2+y2=c2②,+=1③.
由②③及a2=b2+c2得y2=,
又由①知y2=,故b=4.
由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,
故a≥4,所以当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
15.C [解析] 对于x2+y2-xy=1,将y换成x,x换成y,得y2+x2-xy=1,所以椭圆关于直线y=x对称;将y换成-x,x换成-y,得y2+x2-xy=1,所以椭圆关于直线y=-x对称.设直线y=x与椭圆交于A,B两点,由解得或所以|AB|=2;设直线y=-x与椭圆交于C,D两点,由解得或所以|CD|=.由椭圆的性质知,椭圆的长轴长为2a=|AB|=2,短轴长为2b=|CD|=,所以a=,b=,所以c==,所以焦距为.故选C.
16.解:(1)由椭圆C的离心率e=,得=,其中c=,椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).连接PF2,∵F2在线段PF1的垂直平分线上,∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=(2-c)2+()2,可得c=1,
∴a2=2,b2=1,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)圆E:+y2=r2(r>0)的圆心为E,设M(x0,y0)是椭圆C上任意一点,连接ME,则+=1,|ME|=,∴|ME|==(-≤x0≤),当x0=1时,|ME|min==,∴圆E的半径的最大值为.3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
【学习目标】
1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.能说明椭圆特征量的几何意义.
3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.
◆ 知识点 椭圆的简单几何性质
1.椭圆的几何性质
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
(续表)
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
性 质 焦点
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范围
对称性 关于 对称
长轴 |A1A2|=2a,其中a为长半轴长
短轴 |B1B2|=2b,其中b为短半轴长
顶点
离心率 (02.离心率对椭圆扁圆程度的影响
(1)离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,用e表示,即 ,e∈(0,1).
(2)离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). ( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. ( )
◆ 探究点一 椭圆的简单几何性质
例1 已知椭圆C1:+=1,椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并写出x,y的取值范围及椭圆C2的对称性、顶点、焦点和离心率.
变式 (1)(多选题)已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则下列说法中错误的是 ( )
A.C1与C2的顶点相同
B.C1与C2的长轴长相等
C.C1与C2的短轴长相等
D.C1与C2的焦距相等
(2)[2025·天津北辰区高二期中] 已知椭圆+=1(m>0)的焦距是4,则该椭圆的长轴长为 .
[素养小结]
由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:
(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.
(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.
◆ 探究点二 由几何性质求椭圆的标准方程
例2 (1)[2025·山东百师联盟高二联考] 与椭圆+=1有相同焦点,且长轴长为4的椭圆的方程是 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上的动点,|PF1|的最小值为1,当P不在x轴上时,△PF1F2的周长为34,则椭圆C的标准方程为 .
变式 (1)[2025·长沙明德中学高二期中] 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为,焦距为2,则该椭圆的方程为 ( )
A.x2+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知椭圆的中心在原点,且椭圆过点P(3,2),椭圆的焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,则该椭圆的方程为 .
[素养小结]
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置;
(2)设出相应椭圆的标准方程;
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;
(4)写出椭圆的标准方程.
拓展 [2025·天津四十七中高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,若AB∥OP(O为坐标原点),|F1A|=+,则椭圆C的标准方程为 .
◆ 探究点三 求椭圆的离心率
例3 (1)已知椭圆C:+=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
变式 (1)已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为 ( )
A.-1+ B.2-
C.-1+ D.2-
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P为C上一点,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=,则C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.2-
[素养小结]
求椭圆离心率的值(或取值范围)的方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.
若已知a,b或b,c,可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
拓展 [2025·重庆一中高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),上顶点为A,若在以点F为圆心,c为半径的圆上存在点M,使得直线AM的斜率为,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
1.椭圆4x2+y2=1的长轴长为 ( )
A.1 B.2 C. D.4
2.若椭圆+=1的离心率是,则m的值为 ( )
A.- B.
C.-或3 D.或3
3.[2025·杭州七中高二期中] 与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短半轴长为2的椭圆方程是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
4.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|= ( )
A.16 B.18 C.20 D.22
5.下列四个椭圆中,形状最扁的是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
6.(多选题)已知椭圆C:+=1,则 ( )
A.椭圆C的长轴长为6
B.椭圆C的一个焦点为(3,0)
C.椭圆C的短半轴长为6
D.椭圆C的离心率为
7.[2025·天津滨海新区高二期中] 已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,A为上顶点,则△AF1F2的面积为 .
8.[2025·绵阳南山中学高二期中] 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线交椭圆于一点P,若∠F1PF2=30°,则该椭圆的离心率是 .
9.(13分)[2025·厦门高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左焦点为F1,椭圆上的点A的横坐标为-1,求椭圆C的长轴长、短轴长及△AF1O(O为坐标原点)的面积.
10.[2025·天津耀华中学高二期中] 已知F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则·的最大值是 ( )
A.4 B.5
C.2 D.1
11.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱,截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,θ=,则 ( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是+=1
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2
12.[2025·天津南开中学高二月考] 已知平行四边形ABCD内接于椭圆+=1(a>b>0),且AB,AD斜率之积的取值范围为,则椭圆离心率的取值范围是 .
13.已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且PF1⊥PF2,|PF1|=3|PF2|.若∠F1PF2的角平分线与x轴交于点Q,则椭圆C的长轴长为 .
14.(15分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)若存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
15.[2025·山东百师联盟高二期中] 在平面直角坐标系中,方程x2+y2-xy=1表示的曲线为椭圆,则该椭圆的焦距为 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,),F2在线段PF1的垂直平分线上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如果圆E:+y2=r2(r>0)上的点均在椭圆C内部(包括边界),求圆E的半径的最大值.
