(共67张PPT)
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第2课时 直线与椭圆的位置关系
探究点一 直线与椭圆的位置关系
探究点二 中点弦问题
探究点三 生活中的椭圆问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆位置关系
的相关问题.
2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题.
知识点一 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆 的位置关系的判断方
法：
由消去，得到一个关于 的一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与 的取值的
关系如下表所示：
位置关系 解的个数 的取值
相交 ___ ______
相切 ___ ______
相离 ___ ______
1
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知椭圆与点,则过点 可作出该
椭圆的一条切线.( )
×
[解析] 易知点在椭圆 的内部,因此过点
作不出椭圆的切线.
（2）直线与椭圆 的位置关系是
相交.( )
[解析] 易知直线恒过点 ,此点为椭圆的右顶点,且直
线斜率存在,故直线与椭圆相交.
√
知识点二 中点弦
解决椭圆中点弦问题的方法:
（1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一
个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
（2）点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别
代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.
已知椭圆上两点 ,
,的中点为,则有 两式
相减得,整理得 ,即直
线的斜率 .
探究点一 直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线，椭圆.试问当 取何值时，
直线与椭圆
解：由得 ，
.
（1）相交；
当直线与椭圆相交时，，则 ，解得
.
（2）相切；
解： 当直线与椭圆相切时，，则 ，解得
.
（3）相离.
解：当直线与椭圆相离时，，则 ，解得
或 .
例1 已知直线，椭圆.试问当 取何值时，
直线与椭圆
变式（1）［2025·扬州大学附中高二期中］已知椭圆的左、右焦点
分别为，，长轴长为4，则直线 与椭
圆的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
[解析] 因为椭圆的长轴长为，所以，又 ，所以
.
因为椭圆的焦点在 轴上，所以椭圆的方程为.
由消去得 ,
解得，所以直线 与椭圆有1个交点.故选B.
√
（2）已知直线与椭圆 相交，则椭
圆 的长轴长的取值范围是_ __________.
[解析] 将与联立，消去 得
，则，解得 ，
所以椭圆的长轴长为，故椭圆 的长轴
长的取值范围是 .
［素养小结］
1.判断直线与椭圆的位置关系时，由直线方程与椭圆方程构成方程组，
消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
直线与椭圆相交；
直线与椭圆相切；
直线与椭圆相离.
2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外，
还可利用直线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系”
转化为“点与椭圆的位置关系”判断.
探究点二 中点弦问题
例2 已知点是直线被椭圆 所截得的弦的中点，求
直线 的方程.
解：方法一:由题意可知直线的斜率存在，设直线 的方程为
,直线与椭圆的两交点分别为, ,椭
圆的方程可化为 .
将直线方程与椭圆方程联立,消去 化简得
,
所以,解得,所以直线 的方程为
,即 .
方法二:设直线与椭圆的交点为, ,
则, ,两式相减,
得 .
因为, ,
所以,即直线的斜率,
所以直线 的方程为，即 .
变式（1）［2025·深圳第二高级中学高二期中］已知中心在原点，
半焦距为4的椭圆 截直线
所得弦的中点的横坐标为 ，则椭圆的标准方程为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设直线与椭圆相交于, 两点，
弦的中点为，则，所以, ，直
线的斜率.
由 两式作差得，
则 ，所以，即，所以，
所以， ，，所以, ，
所以椭圆的标准方程为 .故选C.
（2）直线被椭圆截得的弦的中点 与椭圆
中心的连线 的斜率为__．
[解析] 设直线与椭圆 的两个交点为
,，则，可得 ,
.
因为,在椭圆上，所以 两式相减得，
整理得 ，即，所以 .
［素养小结］
（1）涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入
椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式.
（2）与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平
分的弦所在的直线方程等.
探究点三 生活中的椭圆问题
例3 油液在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压
力，因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的
油罐截面是椭圆.已知某油罐车罐体长9米，截面椭圆的长轴长为2.4米，
短轴长为1.6米，当静止状态下所装汽油的高（到油罐最底部的垂直距
离）为1.2米时，此时的油面面积为_____平方米.（保留根式）
[解析] 依题意画出油罐的截面图，建立如图所示
的平面直角坐标系，则 ，，所以
椭圆的方程为 ，下顶点 .
设油面与第一象限交于，则，所以 ，
可得 ，所以油面的面积为 （平方米）.
变式（1）如图①，广东韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉
桥，桥塔外形近似为椭圆，示意图如图②所示，若桥塔所在平面截
桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点
距桥面110米，则此椭圆的离心率为( )
①
②
A. B. C. D.
√
[解析] 建立平面直角坐标系，如图所示.设椭圆方程
为，
令 ，得，解得 ，
依题意可得所以
所以 ，即，所以离心率 ．故选D.
（2）［2024·保定高二期中］某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两
个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯，，在中心处 ，其中
灯位于灯的正东 处.小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散
步的过程中，他与灯的最短距离为.当小王行走到点 处时，
他与灯，的距离之比为，则此时他与灯的距离为_______ .
[解析] 以点为原点，所在直线为 轴建立
如图所示的平面直角坐标系，设椭圆的方程
为，且，
由小王与灯的最短距离为 ，得，
又因为，则,.
由于点与灯，的距离之比为，可设点与灯，的距离分
别为 ，，，由椭圆的定义可知 ，解得
，即，.
在 中，由余弦定理可得
，
因为为的中点，所以 ，
可得 ，
即，所以此时小王与灯 的距离为 .
［素养小结］
解决生活中的椭圆问题，先要从题目中找到椭圆中涉及的基本量，
再结合椭圆定义及其简单几何性质求解.
1.直线与椭圆的综合问题,经常要借助于一元二次方程根与系数的关
系来解决弦长、弦中点、斜率等问题.
2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在
解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能
起到化繁为简的作用.
3.有关椭圆的中点弦问题,通常采用“点差法”求解,通过“点差”易得弦
所在直线的斜率与弦中点坐标间的关系.
1.直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们
的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意
分类讨论思想和数形结合思想的应用.
例1 已知椭圆，直线 ，椭圆上是否存
在一点到直线 的距离最小 若存在，求出最小距离；若不存在，请
说明理由.
解：设直线平行于直线，则可设直线 的方程为
，
由消去整理得 ，
由，得，解得或 .
易知当时，直线与椭圆的交点到直线 的距
离最小，且最小距离 .
2.与椭圆有关的中点、弦长问题常结合根与系数的关系、点差法、弦
长公式等加以解决.
例2 ［2025·宁波中学高二期中］已知椭圆 ，
点为其左焦点，点为其下顶点，平行于的直线交椭圆于, 两
点，若的中点为 ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，，设，，
的中点为，，
，.
，在椭圆上， ，，
两式相减得 ，
，即，即 ，两边平方得
，整理得，解得 ，
又， .故选A.
3.生活中的椭圆问题
例3 如图所示，船上两根高为的桅杆，相距 ，一条
长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假
设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点 到桅杆
的距离精确到 .
解：连接，以的中点为原点， 所在直线
为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意
知，所以在以, 为焦点的椭圆
上，且， ，
所以， ，所以 ，
所以椭圆方程为 .
由题可知,,则 ,可得 （正值舍去），
所以 ，所以到桅杆的距离约为 .
练习册
1.［2025·郑州高二期中］直线 与椭圆
的公共点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
[解析] 直线与椭圆均过点 ,
，所以直线与椭圆 的公共点有2
个.故选C.
√
2.直线与椭圆有且只有一个交点,则 的值是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由消去得 ,由题意
知,解得 ,故选C.
√
3.椭圆与直线相交所得的弦被点 平分，
则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线与椭圆的两个交点为， ，
由得 ，,，
点的坐标为 .故选D.
√
4.某竞技场的内部形状近似为一个椭圆，其长轴长为188米，短轴长
为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆，
其长轴长为86米，短轴长为54米.若椭圆的面积为（其中， 分
别为椭圆的长半轴长与短半轴长， 取 ），已知观众区有
90 000个座位，由此推断，观众区每个座位所占面积约为( )
A.0.41平方米 B.0.32平方米 C.0.22平方米 D.0.12平方米
√
[解析] 由题可得，竞技场的总面积为 （平方米），
表演区的面积为 （平方米），
故观众区的面积为 （平方米），
故观众区每个座位所占面积为 （平方米）.故选C.
5.在椭圆中，以点 为中点的弦所在直线的斜率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设弦的两个端点分别为,，
则 两式相减得 ，
即，即 ，
又，，，即，
弦所在直线的斜率为 .故选C.
6.（多选题）已知直线与椭圆 ，则下列
结论正确的是( )
A.若与至少有1个公共点，则
B.若与有且仅有2个公共点，则
C.若，则上到 的距离为5的点只有1个
D.若，则上到 的距离为1的点只有3个
√
√
√
[解析] 由消去得 ，则
.
对于A，令 ，解得，A错误；
对于B,令 ，得，B正确；
对于C，令 ，解得，所以直线
与椭圆 相切，又直线与直线的距离
，
因此，当时，上到 的距离为5的点只有1个，C正确；
对于D，直线与直线，直线 的距离均为
1，因此，当时，上到 的距离为1的点只有3个，D正确.故
选 .
7.如图，某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米，
短轴长为2米的椭圆，其中三条竖直窗棂将长轴分为
相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为
____米.
[解析] 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为窗户的形状为长轴长为4米，短轴长为2米的椭
圆，所以椭圆的标准方程为 .
因为三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当 时，，
所以最短竖直窗棂的长度为 米.
8.椭圆上的点到直线 的最远距离
为_ ____．
[解析] 方法一：由直线的方程与椭圆的方程可知，直线 与椭圆相离．
设直线平行于直线且与椭圆相切，则直线 的方程可设为
.由消去 ，得，
令，得 ，解得或，
易知当时，直线 与椭圆的切点到直线的距离最远，
此时直线与直线间的距离
，即为切点到直线 的距离，所以所求最远距离是 .
方法二：设椭圆上的点 ，
则点到直线 的距离
，
显然当,即时，，所以椭圆
上的点到直线的最远距离为 .
9.（13分）［2024·龙岩高二期中］ 已知椭圆
的短轴长和焦距均为2.
（1）求 的方程；
解：由题意得，得，则 ，
所以的方程为 .
9.（13分）［2024·龙岩高二期中］ 已知椭圆
的短轴长和焦距均为2.
（2）若直线与没有公共点，求 的取值范围.
解：由得，因为与 没有
公共点，所以 ，解
得或，即的取值范围为 .
10.若直线和圆没有交点,则过点 的直
线与椭圆 的交点的个数为( )
A.0或1 B.2 C.1 D.0
[解析] 因为直线和圆 没有交点,
所以,所以,则,
因此点 在椭圆内部,从而过点的直线与椭圆
有2个交点.故选B.
√
11.［2025·泰州高二期中］如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似
可看作以地心为一个焦点且离心率为 的椭圆，地球可看作半径为
的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离 为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，以椭圆的中心为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系，设椭圆方
程为，
又 .故选A.
则，解得，，
故，
12.（多选题）已知椭圆 的焦点分别为
，，设直线与椭圆交于，两点，且点 为
线段 的中点，则下列说法正确的是( )
A. B.椭圆的离心率为
C.直线的方程为 D.的周长为
[解析] 根据题意，因为焦点在轴上，所以，则 ，
故选项A正确；
椭圆的离心率 ，故选项B不正确；
√
√
不妨设
，变形得 ，又点
为线段的中点，所以 ，所以直
线的斜率，所以直线 的方
程为，即 ，故选项C正确；
易知直线过点，所以 的周长为
，故选项D不正确.故选 .
13.［2025·厦门高二期中］已知经过点且斜率为的直线 与
椭圆交于,两点，若恰为弦 的中点，
且椭圆的上顶点为 ，则椭圆的方程为_ __________.
[解析] 设,，则 两式相减整理可得
，因为为弦的中点，且直线 的斜率为
，所以,,，所以 ，可
得.
由题意得，则 ，故椭圆的方程为.
14.（15分）［2025·攀枝花高二期中］ 在平面直角坐标系中，已知
点，点，动点满足直线与直线 的斜率之
积是 .
（1）求动点的轨迹 的方程；
解：由题意得，化简得 ，
因为直线，的斜率存在，所以 ，
故动点的轨迹的方程为 .
（2）直线与（1）中的轨迹相交于，两点，若 为线段
的中点，求直线 的方程.
解：设，，显然 ，
则有，，两式作差可得 ，
即，又为线段 的中点，
所以，，可得直线的斜率 ，
所以直线的方程为 ，经检验符合题意，
故直线的方程为 .
15.（多选题）［2024·皖豫名校联盟高二期中］ 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线
时发现：椭圆 的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹
是以坐标原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边
均与椭圆 相切，则下列说法正确的是( )
A.椭圆的蒙日圆的方程为
B.若为正方形，则的边长为
C.若圆与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D.过直线上一点作椭圆 的两条切线，切点分别为，，
当为直角时，直线为坐标原点的斜率为
√
√
√
[解析] 对于A，椭圆
的内接正方形，设正方形的边长为 ，
可得，可得，即正方形的边长为 ，所以B正确；
对于C，若圆与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
圆与圆 有且仅有一个公共点，即这两个圆外切或
内切，于是或 ，
解得，所以C正确；
对于D，过直线上一点 作椭圆的两条切线，切点分别为，，
当为直角时，点 在椭圆的蒙日圆上，
即为直线与圆 的交点，
由解得或即点 的坐标为或，
可知直线为坐标原点的斜率为0或 ，所以D错误.故选 .
16.（15分）某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆
形状的小湖.如图所示，，为 的中点，
半椭圆所在椭圆的一个焦点 在对称轴上，
点，在半椭圆上，平行于 交于，
且在的右侧， 为灯光区，用于美化环境.
（1）若半椭圆所在椭圆的离心率为，且，求 的面积；
解：以所在直线为轴，所在直线为 轴，建
立如图所示的平面直角坐标系.
设椭圆的方程为 ,
由题意可知，， ，
又，， ， 椭圆的方程为 .
易知，由，解得 或 （舍去），
.
（2）若学校的另一条道路满足 ， ，
为确保道路安全，要求半椭圆上任意一点到道路的
距离都不小于 ，求半椭圆形状的小湖的最大面积
椭圆的面积为 .
解：由题意可知， ，
直线的方程为 .
设平行于直线且与椭圆相切的直线为 ，
椭圆上任意一点到道路的距离都不小于 ，
当椭圆的面积最大时，直线与直线 之间的距离为 ，
可得，解得或 （舍去）.
设椭圆的方程为 ，由
得，由 ，得
，即 ，此时半椭圆形状的小湖的面积为 ，
即半椭圆形状的小湖的最大面积为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 m>,,1,,0, 【诊断分析】 （1）× （2）√
课中探究 例1.（1）. （2）. （3）或. 变式.（1）B （2）
例2..变式.（1）C （2）
例3. 变式.（1）D （2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.BCD 7. 8.
9.（1）.（2）.
10.B 11.A 12.AC 13.
14.（1）.（2）.
15.ABC 16.（1） （2）第2课时 直线与椭圆的位置关系
【课前预习】
知识点一
2 Δ>0 1 Δ=0 0 Δ<0
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)易知点P(b,0)在椭圆+=1(a>b>0)的内部,因此过点P作不出椭圆的切线.
(2)易知直线y=k(x-a)恒过点(a,0),此点为椭圆的右顶点,且直线斜率存在,故直线与椭圆相交.
【课中探究】
探究点一
例1 解:由得9x2+8mx+2m2-4=0,
Δ=64m2-36(2m2-4)=144-8m2.
(1)当直线与椭圆相交时,Δ>0,则144-8m2>0,解得-3(2)当直线与椭圆相切时,Δ=0,则144-8m2=0,解得m=±3.
(3)当直线与椭圆相离时,Δ<0,则144-8m2<0,解得m>3或m<-3.
变式 (1)B (2)
[解析] (1)因为椭圆的长轴长为2a=4,所以a=2,又c=1,所以b2=a2-c2=3.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为+=1.由消去y得x2-2x+1=(x-1)2=0,解得x=1,所以直线x+2y-4=0与椭圆有1个交点.故选B.
(2)将y=x-3与+=1联立,消去y得5x2-6x+9-4m=0,则Δ=36-20(9-4m)>0,解得m>,所以椭圆C的长轴长为2=4>4=,故椭圆C的长轴长的取值范围是.
探究点二
例2 解:方法一:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-4),直线l与椭圆的两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),椭圆的方程可化为x2+4y2-36=0.
将直线方程与椭圆方程联立,消去y化简得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0,
所以x1+x2==8,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
方法二:设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则+4-36=0,+4-36=0,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
因为x1+x2=8,y1+y2=4,
所以=-,即直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
变式 (1)C (2) [解析] (1)设直线2x-y+9=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,弦AB的中点为M,则M(-4,1),所以x1+x2=-8,y1+y2=2,直线AB的斜率k==2.由两式作差得+=0,则=-×=2,所以=,即m2=2n2,所以m2>n2,所以a2=m2,b2=n2,m2-n2=16,所以m2=32,n2=16,所以椭圆的标准方程为+=1.故选C.
(2)设直线x+y-1=0与椭圆+=1的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则M,可得kAB==-1,kOM==.因为A,B在椭圆上,所以两式相减得+=0,整理得=·=-,即-kOM=-,所以kOM=.
探究点三
例3
[解析] 依题意画出油罐的截面图,建立如图所示的平面直角坐标系,则a=1.2,b=0.8,所以椭圆的方程为+=1,下顶点A(0,-0.8).设油面与第一象限交于B(xB,yB),则yB=0.4,所以+=1,可得xB=,所以油面的面积为2××9=(平方米).
变式 (1)D (2)50
[解析] (1)建立平面直角坐标系,如图所示.设椭圆方程为+=1(a>b>0),令y=-c,得+=1,解得x=±,依题意可得所以所以=,即1-=,所以离心率e==.故选D.
(2)以点O为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),且c=,由小王与灯B的最短距离为50 m,得a-c=50,又因为|AB|=2c=400,则c=200,a=250.由于点M与灯A,B的距离之比为3∶2,可设点M与灯A,B的距离分别为3k,2k,k>0,由椭圆的定义可知3k+2k=2×250=500,解得k=100,即|MA|=300,|MB|=200.在△MAB中,由余弦定理可得cos∠AMB==
=-,因为O为AB的中点,所以=(+),
可得=(++2||||cos∠AMB)=25 000,即||=50,所以此时小王与灯O的距离为50 m.第2课时 直线与椭圆的位置关系
1.C [解析] 直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)均过点(a,0),(0,b),所以直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)的公共点有2个.故选C.
2.C [解析] 由消去y得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±,故选C.
3.D [解析] 设直线与椭圆的两个交点为(x1,y1),(x2,y2),由得y2-2y=0 ,∴y1+y2=2,∴x1+x2=4,∴点M的坐标为(2,1) .故选D.
4.C [解析] 由题可得,竞技场的总面积为π××=7332π(平方米),表演区的面积为π××=1161π(平方米),故观众区的面积为7332π-1161π=6171π(平方米),故观众区每个座位所占面积为=≈0.22(平方米).故选C.
5.C [解析] 设弦的两个端点分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减得+=0,即=-,即=-,又x1+x2=2,y1+y2=1,∴=-,即=-,∴弦所在直线的斜率为-.故选C.
6.BCD [解析] 由消去y得4x2+6mx+3m2-6=0,则Δ=12(8-m2).对于A,令Δ=12(8-m2)≥0,解得-2≤m≤2,A错误;对于B,令Δ=12(8-m2)>0,得|m|<2,B正确;对于C,令Δ=12(8-m2)=0,解得m=±2,所以直线y=x±2与椭圆C相切,又直线y=x+3与直线y=x-2的距离d==5,因此,当m=3时,C上到l的距离为5的点只有1个,C正确;对于D,直线y=x-与直线y=x-2,直线y=x的距离均为1,因此,当m=-时,C上到l的距离为1的点只有3个,D正确.故选BCD.
7. [解析] 根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,因为窗户的形状为长轴长为4米,短轴长为2米的椭圆,所以椭圆的标准方程为+y2=1.因为三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段,所以当x=1时,y=±,所以最短竖直窗棂的长度为米.
8. [解析] 方法一:由直线l的方程与椭圆的方程可知,直线l与椭圆相离.设直线m平行于直线l且与椭圆相切,则直线m的方程可设为x+2y+k=0.由消去y,得2x2+2kx+k2-4=0,令Δ=0,得4k2-4×2×(k2-4)=0,解得k=2或k=-2,易知当k=2时,直线m与椭圆的切点到直线l的距离最远,此时直线m的方程为x+2y+2=0,直线m与直线l间的距离d==,即为切点到直线l的距离,所以所求最远距离是.
方法二:设椭圆E:+y2=1上的点P(2cos θ,sin θ)(0≤θ<2π),则点P到直线l:x+2y-4=0的距离d==
=
,显然当θ+=,即θ=时,dmax=,所以椭圆E:x2+4y2=4上的点到直线l:x+2y-4=0的最远距离为.
9.解:(1)由题意得2b=2c=2,得b=c=1,则a2=b2+c2=2,
所以M的方程为+x2=1.
(2)由得4x2+2mx+m2-2=0,因为l与M没有公共点,所以Δ=(2m)2-4×4(m2-2)=-8m2+32<0,解得m<-2或m>2,即m的取值范围为 (-∞,-2)∪(2,+∞).
10.B [解析] 因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4,则+≤+<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆+=1有2个交点.故选B.
11.A [解析] 由题意,以椭圆的中心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则e=,且r=a-c-R,解得a=,c=,故l=a+c-R=+-R=r+R,又e=,所以l=r+R=r+R=3r+2R.故选A.
12.AC [解析] 根据题意,因为焦点在y轴上,所以m2-2=4,则m2=6,故选项A正确;椭圆C的离心率e===,故选项B不正确;不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得=-,变形得=-3×,又点P为线段MN的中点,所以====1,所以直线l的斜率kl==-3×=-3×1=-3,所以直线l的方程为y-=-3,即3x+y-2=0,故选项C正确;易知直线l过点F1,所以△F2MN的周长为|F2M|+|F2N|+|MN|=(|F2M|+|F1M|)+(|F2N|+|F1N|)=2a+2a=4a=4,故选项D不正确.故选AC.
13.+=1 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减整理可得×=-,因为P(2,1)为弦AB的中点,且直线l的斜率为-1,所以x1+x2=4,y1+y2=2,=-1,所以-=-,可得a=b.由题意得b=2,则a=2,故椭圆的方程为+=1.
14.解:(1)由题意得·=-,化简得+=1,
因为直线PM,PN的斜率存在,所以x≠±4,
故动点P的轨迹C的方程为+=1(x≠±4).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,
则有+=1,+=1,两式作差可得+=0,
即+=0,又Q(2,-1)为线段AB的中点,
所以x1+x2=4,y1+y2=-2,可得直线l的斜率k==,
所以直线l的方程为y-(-1)=(x-2),经检验符合题意,
故直线l的方程为3x-2y-8=0.
15.ABC [解析] 对于A,椭圆C:+=1的蒙日圆的半径为=3,其方程为x2+y2=9,所以A正确;对于B,由题意可知正方形G是圆x2+y2=9的内接正方形,设正方形G的边长为n,可得n2+n2=(2×3)2,可得n=3,即正方形G的边长为3,所以B正确;对于C,若圆(x-4)2+(y-m)2=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点,则圆(x-4)2+(y-m)2=4与圆x2+y2=9有且仅有一个公共点,即这两个圆外切或内切,于是=|3+2|或=|3-2|,解得m=±3,所以C正确;对于D,过直线l:x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,当∠MPN为直角时,点P在椭圆C的蒙日圆上,即为直线l:x+2y-3=0与圆x2+y2=9的交点,由解得或即点P的坐标为(3,0)或,可知直线OP(O为坐标原点)的斜率为0或-,所以D错误.故选ABC.
16.解:(1)以AB所在直线为y轴,OD所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
由题意可知,b=2,e==,
又a2=b2+c2,∴a=,c=1,
∴椭圆的方程为+=1.
易知xG=2,由+=1,解得yM=或yM=-(舍去),
∴S△PMN=×1×=.
(2)由题意可知E(0,3),kEF=-=-,
∴直线EF的方程为x+2y-6=0.
设平行于直线EF且与椭圆相切的直线为l:x+2y+m=0(m≠-6),
∵椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于,
∴当椭圆的面积最大时,直线l与直线EF之间的距离为,可得=,解得m=-5或m=-7(舍去).
设椭圆的方程为+=1(a>2),由得(a2+16)x2-10a2x+9a2=0,由Δ=0,得a2=9,即a=3,此时半椭圆形状的小湖的面积为×3×2×π=3π,
即半椭圆形状的小湖的最大面积为3π.第2课时 直线与椭圆的位置关系
【学习目标】
1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆位置关系的相关问题.
2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题.
◆ 知识点一 直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:
由消去y,得到一个关于x的一元二次方程.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与Δ的取值的关系如下表所示:
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交
相切
相离
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知椭圆+=1(a>b>0)与点P(b,0),则过点P可作出该椭圆的一条切线. ( )
(2)直线y=k(x-a)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系是相交. ( )
◆ 知识点二 中点弦
解决椭圆中点弦问题的方法:
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.
已知椭圆+=1(a>b>0)上两点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1+y2≠0),AB的中点为M(x0,y0),则有两式相减得+=0,整理得=-·=-·,即直线AB的斜率k=-.
◆ 探究点一 直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)相交;
(2)相切;
(3)相离.
变式 (1)[2025·扬州大学附中高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),长轴长为4,则直线x+2y-4=0与椭圆的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
(2)已知直线l:y=x-3与椭圆C:+=1(m>0)相交,则椭圆C的长轴长的取值范围是 .
[素养小结]
1.判断直线与椭圆的位置关系时,由直线方程与椭圆方程构成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则
Δ>0 直线与椭圆相交;
Δ=0 直线与椭圆相切;
Δ<0 直线与椭圆相离.
2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外,还可利用直线的某些特征,如过定点等,把“直线与椭圆的位置关系”转化为“点与椭圆的位置关系”判断.
◆ 探究点二 中点弦问题
例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的弦的中点,求直线l的方程.
变式 (1)[2025·深圳第二高级中学高二期中] 已知中心在原点,半焦距为4的椭圆+=1(m>0,n>0,m≠n)截直线2x-y+9=0所得弦的中点的横坐标为-4,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1
(2)直线x+y-1=0被椭圆+=1截得的弦的中点M与椭圆中心O的连线OM的斜率为 .
[素养小结]
(1)涉及弦的中点,可以使用点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式.
(2)与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.
◆ 探究点三 生活中的椭圆问题
例3 油液在运输过程中不仅会对底部产生压力,同时会对侧壁产生压力,因为弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大,所以油罐车的油罐截面是椭圆.已知某油罐车罐体长9米,截面椭圆的长轴长为2.4米,短轴长为1.6米,当静止状态下所装汽油的高(到油罐最底部的垂直距离)为1.2米时,此时的油面面积为 平方米.(保留根式)
变式 (1)如图①,广东韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥,桥塔外形近似为椭圆,示意图如图②所示,若桥塔所在平面截桥面为线段AB,且AB过椭圆的下焦点,AB=44米,桥塔最高点P距桥面110米,则此椭圆的离心率为 ( )
① ②
A. B. C. D.
(2)[2024·保定高二期中] 某休闲广场呈椭圆形,在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯A,B,O(O在中心处),其中灯B位于灯A的正东400 m处.小王沿着该休闲广场的边沿散步,在散步的过程中,他与灯B的最短距离为50 m.当小王行走到点M处时,他与灯A,B的距离之比为3∶2,则此时他与灯O的距离为 m.
[素养小结]
解决生活中的椭圆问题,先要从题目中找到椭圆中涉及的基本量,再结合椭圆定义及其简单几何性质求解.第2课时 直线与椭圆的位置关系
1.[2025·郑州高二期中] 直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)的公共点有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
2.直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 ( )
A. B.-
C.± D.±
3.椭圆+=1与直线x+2y-4=0相交所得的弦被点M平分,则点M的坐标为 ( )
A.(2,4) B.(2,2)
C.(3,1) D.(2,1)
4.某竞技场的内部形状近似为一个椭圆,其长轴长为188米,短轴长为156米,竞技场分为表演区与观众区,中间的表演区也近似为椭圆,其长轴长为86米,短轴长为54米.若椭圆的面积为πab(其中a,b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长,π取3.14),已知观众区有90 000个座位,由此推断,观众区每个座位所占面积约为 ( )
A.0.41平方米 B.0.32平方米
C.0.22平方米 D.0.12平方米
5.在椭圆+=1中,以点M为中点的弦所在直线的斜率为 ( )
A.- B.-4
C.- D.-2
6.(多选题)已知直线l:y=x+m与椭圆C:+=1,则下列结论正确的是 ( )
A.若C与l至少有1个公共点,则m≤2
B.若C与l有且仅有2个公共点,则|m|<2
C.若m=3,则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m=-,则C上到l的距离为1的点只有3个
7.如图,某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米,短轴长为2米的椭圆,其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段,则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为 米.
8.椭圆E:x2+4y2=4上的点到直线l:x+2y-4=0的最远距离为 .
9.(13分)[2024·龙岩高二期中] 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的短轴长和焦距均为2.
(1)求M的方程;
(2)若直线l:y=x+m与M没有公共点,求m的取值范围.
10.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点的个数为 ( )
A.0或1 B.2
C.1 D.0
11.[2025·泰州高二期中] 如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为 ( )
A.3r+2R B.5r+2R
C. D.
12.(多选题)已知椭圆C:+=1(m>0)的焦点分别为F1(0,2),F2(0,-2),设直线l与椭圆C交于M,N两点,且点P为线段MN的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.m2=6
B.椭圆C的离心率为
C.直线l的方程为3x+y-2=0
D.△F2MN的周长为4
13.[2025·厦门高二期中] 已知经过点P(2,1)且斜率为-1的直线l与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,若P恰为弦AB的中点,且椭圆的上顶点为(0,2),则椭圆的方程为 .
14.(15分)[2025·攀枝花高二期中] 在平面直角坐标系中,已知点M(-4,0),点N(4,0),动点P(x,y)满足直线PM与直线PN的斜率之积是-.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)直线l与(1)中的轨迹C相交于A,B两点,若Q(2,-1)为线段AB的中点,求直线l的方程.
15. (多选题)[2024·皖豫名校联盟高二期中] 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆+=1(a>b>0)的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆,这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆C:+=1相切,则下列说法正确的是 ( )
A.椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=9
B.若G为正方形,则G的边长为3
C.若圆(x-4)2+(y-m)2=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点,则m=±3
D.过直线l:x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,当∠MPN为直角时,直线OP(O为坐标原点)的斜率为-
16.(15分)某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖.如图所示,AB=4,O为AB的中点,半椭圆所在椭圆的一个焦点P在对称轴OD上,点M,N在半椭圆上,MN平行于AB交OD于G,且G在P的右侧,△MNP为灯光区,用于美化环境.
(1)若半椭圆所在椭圆的离心率为,且PG=1,求△MNP的面积;
(2)若学校的另一条道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2,为确保道路安全,要求半椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于,求半椭圆形状的小湖的最大面积.
