(共65张PPT)
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
第3课时 直线与椭圆的综合应用
探究点一 弦长问题
探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆相交弦长
相关问题.
2.能灵活运用椭圆的定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
知识点 弦长问题
求直线被椭圆截得的弦长的两种方法:
（1）求出两交点坐标,用两点间的距离公式求解;
（2）用 求解，其中直线
与椭圆的交点为,,为直线 的斜率.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( )
√
[解析] 由椭圆的对称性可知，若直线的斜率一定，则当直线过椭圆
的中心时，弦长最大.
（2）已知直线与椭圆交于， 两点，设，
，则 .( )
√
[解析]
.
探究点一 弦长问题
例1 ［2024·厦门一中高二月考］已知椭圆 ，过点
及左焦点的直线交椭圆于，两点，求 的长.
解：由题可知，，可得直线的方程为 .
由消去，得 ，
.
设， ，则
.
变式 ［2025·浙江诸暨中学高二期中］已知椭圆
的离心率为，且椭圆过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：因为椭圆的离心率为，且椭圆 过点
，所以可得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）若过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线 的方程.
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线 被椭
圆截得的弦长为 ，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即
，由消去得 ，
变式[2025·浙江诸暨中学高二期中]已知椭圆
的离心率为，且椭圆过点 .
设直线与椭圆的交点为, ，
则， ，
所以
，解得 ，
所以直线的方程为 .
［素养小结］
直线与椭圆相交弦长的有关问题
（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出两端点的坐标，再用
两点间的距离公式求弦长.
（2）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长.
（3）设直线方程时，要注意斜率不存在的情况.
探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题
例2[2025·无锡一中高二期中]已知椭圆的
短轴长为2，且离心率为， 为坐标原点.
（1）求 的方程；
解：由已知得所以
故的方程为 .
例2[2025·无锡一中高二期中]已知椭圆的
短轴长为2，且离心率为， 为坐标原点.
（2）若过点且不与轴重合的动直线与椭圆相交于， 两
点，求面积的最大值及此时直线 的方程.
解：由题可设,, ，
将与联立，消去 得 ，
则，可得 ，
所以, ，
所以
，
又点到直线的距离，所以 .
设，则,所以 ，
当且仅当，即时等号成立，此时满足 ，
所以面积的最大值为 ，
此时直线的方程为或 .
变式 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，
点在椭圆上，且的面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由题意可得可得
故椭圆的标准方程为 .
（2）若椭圆上存在两点，关于直线对称，求
的取值范围.
解：当时，直线方程为，此时椭圆上不存在两点，
关于直线对称，故 .
连接，设,，则由题知 ，
设线段的中点为 .
因为直线过定点，点， 关于直线
对称，所以 .
因为点，在椭圆上，所以， ，
所以 ，
整理得 ，所以，所以 .
因为点在直线上，所以 ，则 .
由得 ，则或,
解得或，故 的取值范围为 .
［素养小结］
（1）解决椭圆中的范围问题常用的关系有：
，；②离心率满足；
③若一元二次方程有解，则判别式.
（2）解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种：
①利用定义转化为几何问题处理；
②利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
③利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，
此时，应注意椭圆中， 的取值范围，常常是化为闭区间上的二次
函数的最值问题来求解.
求直线与椭圆相交时的弦长通常有两种方法:
（1）求直线与椭圆的交点,然后利用两点间的距离公式求弦长,此方
法仅当直线方程和椭圆方程相对简单且易得交点坐标时使用,一般情
况下并不采用此方法.
（2）将直线方程与椭圆方程联立,得到关于（或 ）的一元二次方
程,然后由根与系数的关系求弦长,此方法不必求出直线与椭圆的交点,
是求弦长的常用方法.
1.与椭圆有关的弦长问题常结合两点间的距离公式、根与系数的关系、
弦长公式等加以解决.
例1 已知在平面直角坐标系中,,,动点 满足
,记点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程;
解：由椭圆的定义可知，动点的轨迹为以， 为焦点的椭圆,
设椭圆方程为 ,则,，即,
所以,故曲线 的方程为 .
例1 已知在平面直角坐标系中,,,动点 满足
,记点的轨迹为曲线 .
（2）若直线交曲线于,两点,求 .
解：由消去得 ,解得或,
不妨设, ,则 .
例2 已知动点到平面上的点，的距离之和等于．
（1）求动点的轨迹 的方程；
解： ，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以， 为焦点的椭圆，
且，， ，
动点的轨迹的方程为 .
例2 已知动点到平面上的点，的距离之和等于．
（2）设直线与曲线交于，两点，若 ，
求直线 的方程．
解：将直线 的方程代入椭圆方程，得
，
由，得 .
设，，则， ，
，
，解得 ，
直线的方程为 .
2.与椭圆有关的最值、范围与证明问题
例3 ［2025·银川二中高二月考］已知椭圆
的离心率为，且 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的
面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：依题意得,，且 ，
所以，，所以椭圆的方程为 .
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点与 轴垂直
的直线与椭圆的另一个交点为，当 的面积取得最大值时，
求直线 的方程.
解：根据题意知直线的斜率存在且不为0，设直线 的方程为
，，，则 ，
由消去得， ，
则 .
因为, ，
易知与 同号，
所以
，
当且仅当，即 时等号成立，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为 .
练习册
1.直线被椭圆 截得的线段长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由解得 或
所以直线交椭圆于点 ，
，所以 .故选B.
2.已知椭圆的右焦点为，若直线过点且与交于 ,
两点，则 的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 易知当直线与轴垂直时，取得最小值，椭圆 的右焦点
为，则直线的方程为，把代入 ，
解得，故 的最小值为1.故选B.
√
3.已知直线与椭圆交于，两点，
为的右顶点，则 的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由得 ，则，
设,，则 ,，
所以 ，
又右顶点的坐标为，所以点到直线的距离为 ，
所以 .故选C.
4.已知椭圆的方程为，点是椭圆的下顶点，点 是椭
圆上任意一点，则 的最大值是( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 因为椭圆的方程为，所以.
设 ，则，故，且 ，
所以，
易知当时，取得最大值 ，故 .故选C.
√
5.已知直线交椭圆于,两点,且点在点 的左
侧,若,则 的值为( )
A.16 B.12 C. D.3
√
[解析] 方法一:因为椭圆的一个顶点为点 ,直线
过点,所以点的坐标为,则 ,解得
,所以或（舍去）,把点 的坐标代
入椭圆的方程,得,解得 .故选B.
方法二:由得,
又, ,
又 ,
所以，即,解得 .故选B.
6.（多选题）已知过点的直线与椭圆交于, 两点，
则 的值可能是( )
A.1 B. C. D.
√
√
√
[解析] 由，得点在椭圆内.若直线 的斜率存在，设
直线的方程为 ，与椭圆方程联立，整理得
，所以, ，
则 ；
若直线的斜率不存在，则为长轴长，即 .
综上，的取值范围是.故选 .
7.直线被椭圆 截得的弦长为_____.
[解析] 由消去并化简得，则 ，
设直线与椭圆的交点为,,则 ，，
弦长
.
8.已知椭圆的离心率为，， 分别为椭圆
的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆 交于不同
的两点，，当直线垂直于轴时，四边形 的面积为6，则椭
圆 的方程为_ __________.
[解析] 设椭圆的半焦距为，由椭圆 的离
心率为，可得.
因为当直线垂直于轴时，四边形 的面积为6，
所以，所以 .
由 可得故椭圆的方程为 .
9.（13分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且椭圆
经过点，长轴长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由题意可设椭圆的标准方程为 ，
因为椭圆经过点，且长轴长为，所以, ，
故椭圆的标准方程为 .
9.（13分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且椭圆
经过点，长轴长为 .
（2）过点且斜率为1的直线与椭圆交于， 两点，求弦长 .
解：因为直线过点且斜率为1，所以直线的方程为 .
由得，则 .
设,，则, ，故
.
10.［2025·南阳六校高二联考］已知椭圆 的左、右焦点
分别是,，直线与交于,两点，若 的面积是
的面积的2倍，则 ( )
A. B. C. D.或
√
[解析] 由消去得 ,
因为直线与交于, 两点，所以
,解得,即.
设 到直线的距离为，到直线的距离为，则由 的
面积是的面积的2倍，得,即 ，
又,,所以,解得或 （舍去），
故 .故选B.
11.（多选题）已知为椭圆 的左焦点，直线
与椭圆交于，两点，轴，垂足为，
与椭圆的另一个交点为 ，则( )
A.的最小值为2 B.面积的最大值为
C.直线的斜率为 D. 为钝角
√
√
[解析] 对于A，设椭圆的右焦点为，连接， ，则四边形
为平行四边形， ，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由 得，，
的面积，当且仅当
时等号成立，B正确；
对于C，设，则， ，故直线的斜率
，C正确；
对于D，设，,则,,直线的斜率
为 ，直线的斜率为，则，
又点 和点均在椭圆上，，， 整理
得，易知，则 ，
得，， ，D错误.
故选 .
12.[2025·镇江一中高二期中]已知, 分别为椭圆
的左、右顶点，点为椭圆上异于, 的任意一点，直线,的斜率
分别为,，若椭圆的离心率为 ，则 ____.
[解析] 由题意可得,，设，,则由 在
椭圆上可得，.
椭圆的离心率为，，即，故 ，
.
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点，
分别作弦（点在点的上方），（点在点 的上方）.若
，则 的最小值为____.
[解析] 设点关于原点的对称点为，因为椭圆 关于原点对称，所
以点在椭圆 上，连接，，，，
因为既是 的中点，又是线段的中点，所以四边形 为
平行四边形，所以且，
又因为且，所以点 与点重合，
所以.
由题意可知，直线不与 轴重合，易知点的坐标为，
设，，直线 的方程为.
由 可得 ，
则， ，
，所以，
当且仅当的最小值为 .
14.（15分）［2024·哈尔滨三中高二月考］ 在平面直角坐标系中，
已知椭圆的离心率为，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由，可知,则,即 ,
则椭圆的方程为 ,
将点的坐标代入椭圆方程可得,解得,,
故椭圆的方程为 .
14.（15分）［2024·哈尔滨三中高二月考］ 在平面直角坐标系中，
已知椭圆的离心率为，且过点 .
（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点， ，且
,求直线 的斜率.
解：由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
设直线的方程为,且, ,
由得 ,
由,解得或 ,
则, .
由可知,所以, ,
所以,化简得,解得 ,
所以直线的斜率为 .
15.［2024·天津一中高二期中］椭圆 的左、
右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点交于， 两点，
且的内切圆的面积是 ，若椭圆 离心率的取值范围为
，则线段 的长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为的内切圆的面积为 ，所以内切圆的半径为1.
不妨设在轴上方，由椭圆的定义可得的周长为 ，所以由等
面积法可得
，整理可得，故，又 ，所以
，则 ，故选C.
16.（15分）[2025·台州六校联盟高二联考]已知椭圆
的焦距为2，离心率 .
（1）求椭圆 的标准方程.
解：依题意有，则,又，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
16.（15分）[2025·台州六校联盟高二联考]已知椭圆
的焦距为2，离心率 .
（2）过点作两条互相垂直的弦,，其中,在 轴的上方，
且在的右侧，设弦,的中点分别为, .
①若弦,的斜率均存在，求四边形 面积的最小值.
解：设,, ，
则 .
由消去得 ,
,则， ，由弦长
公式可得 .
同理可得，所以四边形 的面积
.
令，则 ，当且仅当
，即时取等号,故四边形的面积的最小值为 .
16.（15分）[2025·台州六校联盟高二联考]已知椭圆
的焦距为2，离心率 .
（2）过点作两条互相垂直的弦,，其中,在 轴的上方，
且在的右侧，设弦,的中点分别为, .
②判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过
定点，请说明理由.
解：因为,所以 ，
所以，用代替，得 .
当，即时，，直线过定点 .
当，即时， ，
，
当时，可得，则直线过定点 .
综上，直线过定点 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 【诊断分析】（1）√ （2）√
课中探究 例1.. 变式.（1） （2）
例2.（1） （2） 或
变式.（1） （2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.BCD 7. 8.
9.（1）.（2）. 10.B 11.BC 12. 13.
14.（1）.（2） 15.C
16.（1）.（2）①.②.第3课时 直线与椭圆的综合应用
【课前预习】
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)由椭圆的对称性可知,若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.
(2)|AB|==
=
=
.
【课中探究】
探究点一
例1 解:由题可知,F1(-1,0),可得直线BF1的方程为y=-2x-2.
由消去y,得9x2+16x+6=0,
∴Δ=162-4×9×6=40>0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则∴|CD|=
|x1-x2|=·=
×=.
变式 解:(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点,
所以可得
所以椭圆C的标准方程为+x2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被椭圆C截得的弦长为2,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-0),即y=kx+1,
由消去y得(k2+2)x2+2kx-1=0,
设直线l与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=-,
所以|AB|=
=
=,解得k=±,
所以直线l的方程为y=±x+1.
探究点二
例2 解:(1)由已知得所以
故E的方程为+y2=1.
(2)由题可设l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=kx+2与+y2=1联立,消去y得(1+2k2)x2+8kx+6=0,
则Δ=64k2-24(1+2k2)=8(2k2-3)>0,可得k2>,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以|AB|=·|x1-x2|==
,
又点O到直线l的距离d=,所以S△OAB=d·|AB|=.
设=t,则t>0,所以S△OAB==≤=,
当且仅当t=2,即k=±时等号成立,此时满足Δ>0,
所以△OAB面积的最大值为,
此时直线l的方程为x-2y+4=0或x+2y-4=0.
变式 解:(1)由题意可得可得
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)当m=0时,直线方程为x=1,此时椭圆C上不存在两点A,B关于直线x=1对称,故m≠0.
连接AB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题知x1≠x2,
设线段AB的中点为M(x0,y0).
因为直线x+my-1=0过定点(1,0),点A,B关于直线x+my-1=0对称,所以(x1-1)2+=(x2-1)2+.
因为点A,B在椭圆C上,所以+=1,+=1,
所以(x1-1)2+1-=(x2-1)2+1-,整理得=(x1-x2)(x1+x2-2),
所以x1+x2=,所以x0=.
因为点M在直线x+my-1=0上,所以x0=-my0+1,则y0=.
由得y=±,
则-<<0或0<<,解得m<-或m>,故m的取值范围为∪.第3课时 直线与椭圆的综合应用
1.B [解析] 由解得
或所以直线y=x交椭圆x2+=1于点A,B,所以|AB|==.故选B.
2.B [解析] 易知当直线l与x轴垂直时,|AB|取得最小值,椭圆C的右焦点为F,则直线l的方程为x=,把x=代入x2+2y2=1,解得y=±,故|AB|的最小值为1.故选B.
3.C [解析] 由得3x2-4x-2=0,则Δ=16+24=40>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=×=,又右顶点P的坐标为(2,0),所以点P到直线l的距离为=,所以S△ABP=××=.故选C.
4.C [解析] 因为椭圆C的方程为+y2=1,所以A(0,-1).设M(x,y),则+y2=1,故x2=4-4y2,且-1≤y≤1,所以|MA|2=x2+(y+1)2=4-4y2+(y+1)2=-3y2+2y+5=-3+,易知当y=时,|MA|2取得最大值,故|MA|max=.故选C.
5.B [解析] 方法一:因为椭圆+=1的一个顶点为点(0,2),直线y=x+2过点(0,2),所以点A的坐标为(0,2),则|AB|==|xB-xA|=|xB|=3,解得xB=±3,所以B(-3,-1)或B(3,5)(舍去),把点B(-3,-1)的坐标代入椭圆+=1的方程,得+=1,解得m=12.故选B.
方法二:由得(4+m)x2+4mx=0,又m>0,所以xA=0,xB=,又|AB|==|xB-xA|=|xB|,所以·=3,即=3,解得m=12.故选B.
6.BCD [解析] 由02+<1,得点(0,1)在椭圆内.若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,与椭圆方程联立,整理得(2+k2)x2+2kx-1=0,所以xA+xB=-,xAxB=-,则|AB|=×=2·=2×∈[,2);若直线AB的斜率不存在,则|AB|为长轴长,即|AB|=2.综上,|AB|的取值范围是[,2].故选BCD.
7. [解析] 由消去y并化简得x2+2x-6=0,则Δ>0,设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6,∴弦长|MN|=|x1-x2|=
=
=.
8.+=1 [解析] 设椭圆C的半焦距为c,由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,可得=.因为当直线l垂直于x轴时,四边形APBQ的面积为6,所以|AB|·|PQ|=×2a×=6,所以b=.由
可得故椭圆C的方程为+=1.
9.解:(1)由题意可设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),因为椭圆C经过点(0,1),且长轴长为2,所以a=,b=1,
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)因为直线l过点M(1,0)且斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1.
由得3x2-4x=0,则Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=0,故|AB|=×=×=.
10.B [解析] 由消去y得9x2+10mx+5m2-20=0,因为直线y=x+m与C交于A,B两点,所以Δ=100m2-4×9(5m2-20)>0,解得m2<9,即-311.BC [解析] 对于A,设椭圆C的右焦点为F',连接AF',BF',则四边形AF'BF为平行四边形,∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=2a=4,∴+=(|AF|+|BF|)=≥,当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立,A错误;对于B,由得x=±,∴|yA-yB|=,∴△ABE的面积S=|xA||yA-yB|==≤,当且仅当k=±时等号成立,B正确;对于C,设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),E(x0,0),故直线BE的斜率kBE==·=k,C正确;对于D,设P(m,n),A(x0,y0),则B(-x0,-y0),E(x0,0),直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA·kPB=·=,又点P和点A均在椭圆C上,∴+=1①,+=1②,①-②整理得=-,易知kPB=kBE=k,则kPA·k=-,得kPA=-,∴kPA·kAB=·k=-1,∴∠PAB=90°,D错误.故选BC.
12.- [解析] 由题意可得A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),x0≠±a,则由P在椭圆上可得=·b2,∴k1·k2=·==-.∵椭圆的离心率为,∴=,即=,故=,∴k1·k2=-.
13. [解析] 设点C关于原点的对称点为E,因为椭圆Γ关于原点对称,所以点E在椭圆Γ上,连接CE,CF1,EF1,EF2,因为O既是CE的中点,又是线段F1F2的中点,所以四边形CF1EF2为平行四边形,所以CF2∥EF1且|CF2|=|EF1|,又因为AB∥CF2且F1∈AB,所以点B与点E重合,所以|AF1|+|CF2|=|AB|.由题意可知,直线AB不与x轴重合,易知点F1的坐标为(-1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my-1.由
可得(4m2+5)y2-8my-16=0,则Δ=64m2+64(4m2+5)=320(m2+1)>0,y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|=·==2-≥,当且仅当m=0时,等号成立,故|AF1|+|CF2|的最小值为.
14.解:(1)由e=,可知==1-=,则=,即a2=4b2,
则椭圆C的方程为+=1,
将点的坐标代入椭圆方程可得+=1,解得b2=1,a2=4,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在且不为0,
设直线AB的方程为y=kx+3,且A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(4k2+1)x2+24kx+32=0,
由Δ=(24k)2-4×32×(4k2+1)>0,解得k>或k<-,则x1+x2=-,x1·x2=.
由=可知x2=x1,所以x1=-,=,
所以=,化简得108k2=25(4k2+1),解得k=±,
所以直线l的斜率为±.
15.C [解析] 因为△ABF2的内切圆的面积为π,所以内切圆的半径为1.不妨设A在x轴上方,由椭圆的定义可得△ABF2的周长为4a,所以由等面积法可得=×2c×|BF1|sin 135°+×2c×|AF1|sin 45°=×4a×1,整理可得c×|AB|=2a,故|AB|=,又e∈,所以∈[,2],则|AB|∈[4,8],故选C.
16.解:(1)依题意有2c=2,则c=1,又=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)①设lAB:x=my+1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则lCD:x=-y+1(m≠0).
由消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=144m2+144>0,则y1+y2=,y1y2=-,由弦长公式可得|AB|=|y2-y1|=12.
同理可得|CD|=12,所以四边形ACBD的面积S=|AB||CD|=72.
令t=m2+1(t>1),则S==≥,当且仅当t=2,即m2=1时取等号,故四边形ACBD的面积的最小值为.
②因为y1+y2=,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=,
所以M,用-代替m,得N.
当=,即m2=1时,lMN:x=,直线MN过定点.
当≠,即m2≠1时,kMN=,
lMN:y+=(m2≠1,m≠0),
当y=0时,可得x=,则直线MN过定点.
综上,直线MN过定点.第3课时 直线与椭圆的综合应用
【学习目标】
1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆相交弦长相关问题.
2.能灵活运用椭圆的定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
◆ 知识点 弦长问题
求直线被椭圆截得的弦长的两种方法:
(1)求出两交点坐标,用两点间的距离公式求解;
(2)用|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|求解,其中直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),k为直线AB的斜率.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大. ( )
(2)已知直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=. ( )
◆ 探究点一 弦长问题
例1 [2024·厦门一中高二月考] 已知椭圆+y2=1,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,求CD的长.
变式 [2025·浙江诸暨中学高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过点(0,1)的直线l被椭圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
[素养小结]
直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出两端点的坐标,再用两点间的距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式求弦长.
(3)设直线方程时,要注意斜率不存在的情况.
◆ 探究点二 与椭圆有关的最值、范围问题
例2 [2025·无锡一中高二期中] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的短轴长为2,且离心率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)若过点P(0,2)且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A,B两点,求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程.
变式 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C上存在两点A,B关于直线x+my-1=0对称,求m的取值范围.
[素养小结]
(1)解决椭圆+=1(a>b>0)中的范围问题常用的关系有:
①-a≤x≤a,-b≤y≤b;②离心率e满足0③若一元二次方程有解,则判别式Δ≥0.
(2)解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种:
①利用定义转化为几何问题处理;
②利用数形结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;
③利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.第3课时 直线与椭圆的综合应用
1.直线y=x被椭圆x2+=1截得的线段长为 ( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆C:x2+2y2=1的右焦点为F,若直线l过点F且与C交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( )
A. B.1 C. D.2
3.已知直线l:x+y-1=0与椭圆C:+=1交于A,B两点,P为C的右顶点,则△ABP的面积为 ( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆C的方程为+y2=1,点A是椭圆C的下顶点,点M是椭圆C上任意一点,则|MA|的最大值是 ( )
A.2 B.4 C. D.
5.已知直线y=x+2交椭圆+=1于A,B两点,且点B在点A的左侧,若|AB|=3,则m的值为 ( )
A.16 B.12 C.2 D.3
6.(多选题)已知过点(0,1)的直线与椭圆x2+=1交于A,B两点,则|AB|的值可能是( )
A.1 B. C. D.2
7.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=16截得的弦长为 .
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A,B分别为椭圆C的左、右顶点,F为椭圆C的右焦点,过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,当直线l垂直于x轴时,四边形APBQ的面积为6,则椭圆C的方程为 .
9.(13分)已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,且椭圆C经过点(0,1),长轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点M(1,0)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,求弦长|AB|.
10.[2025·南阳六校高二联考] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别是F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍,则m= ( )
A.- B.-
C.-3 D.-或-3
11.(多选题)已知F为椭圆C:+=1的左焦点,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,BE与椭圆C的另一个交点为P,则 ( )
A.+的最小值为2
B.△ABE面积的最大值为
C.直线BE的斜率为k
D.∠PAB为钝角
12.[2025·镇江一中高二期中] 已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,点P为椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若椭圆的离心率为,则k1·k2= .
13.已知椭圆Γ:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB(点A在点B的上方),CD(点C在点D的上方).若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的最小值为 .
14.(15分)[2024·哈尔滨三中高二月考] 在平面直角坐标系中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且C过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且=,求直线l的斜率.
15.[2024·天津一中高二期中] 椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,斜率为1的直线l过左焦点F1交C于A,B两点,且△ABF2的内切圆的面积是π,若椭圆C离心率的取值范围为,则线段AB的长度的取值范围是 ( )
A.[,2] B.[1,2]
C.[4,8] D.[4,8]
16.(15分)[2025·台州六校联盟高二联考] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)过点F(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,其中B,D在x轴的上方,且B在D的右侧,设弦AB,CD的中点分别为M,N.
①若弦AB,CD的斜率均存在,求四边形ACBD面积的最小值.
②判断直线MN是否过定点 若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
