(共77张PPT)
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
探究点一 与双曲线有关的轨迹方程
探究点二 双曲线的标准方程
探究点三 双曲线定义的应用
探究点四 双曲线的实际应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能直观认识双曲线的几何特征，会识别双曲线的定义和相关概念.
2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据双
曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程，能说出标准
方程中特征量的关系，能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一
些相关问题.
知识点一 双曲线的定义
1.双曲线的定义:平面内与两个定点, 的距离的____________等于
非零常数（___________）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双
曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的______.
差的绝对值
小于
焦距
2.双曲线上动点的集合表示： ____________________________
____________,焦距常用____表示.
，
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知两定点，，满足条件 的
动点 的轨迹是双曲线.( )
×
[解析] , ，但条件中没有绝
对值，故动点 的轨迹是双曲线的一支.
（2）已知两定点，，满足条件 的
动点 的轨迹是双曲线.( )
×
[解析] ,， 动点 的轨迹
是两条射线.
（3）已知两定点，，满足条件 的
动点 的轨迹是双曲线.( )
×
[解析] ，, 动点 的轨迹
不存在.
2.说出教材P118探究中左右两图分别涉及的点、线、变量以及不变量.
解：左图中点，,，，线段,,，，变化的是点 ,
线段,,不变的是点,,线段和， .
右图中点，,，，线段,,，，变化的是点 ,线段
,,不变的是点,,线段差， .
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
图形 ____________________________ _______________________________
标准方程 _ ______________________ _ ______________________
焦点坐标 ____________ ____________
_____________
,
,
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则 的取
值范围是 .( )
√
[解析] 依题意有解得 .
（2）在双曲线的标准方程中,,,的关系是 .( )
×
[解析] 在双曲线的标准方程中，,,的关系是 .
（3）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
[解析] 根据双曲线的标准方程的特点,可知双曲线 的焦点
在 轴上.
探究点一 与双曲线有关的轨迹方程
例1（1）（多选题）已知， ，下列说法中错误的是
( )
A.平面内到， 两点的距离相等的点的轨迹是直线
B.平面内到， 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C.平面内到， 两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支
D.平面内到， 两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆
√
√
[解析] 设所求动点为，由题意可得 .对于A选项，由题意
可知，，则点的轨迹为线段 的垂直平分线，A中
说法正确；
对于B选项，，所以点 的轨迹为线 ，B中说法错误；
对于C选项，由题意可知，，所以点的轨迹是以， 为焦点的双曲线的一支，C中说法正确；
对于D选项，设 ，则 ，可得，所以满足条件的点 不存在，D中说法错误.故选 .
（2）若动圆与圆和圆 都
内切，则动圆的圆心 的轨迹方程为_ __________________.
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为，半径 ，
因为，所以圆与圆外离.设圆的半径为 ，
由题意可得所以，所以圆心
的轨迹是以点，分别为上、下焦点的双曲线的下支.
设圆心 的轨迹方程为，
由题意可得 ，则，，
因此圆心 的轨迹方程为 .
变式 ［2025·厦门外国语学校高二期中］ 代数与几何是数学的两个
重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，
可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与
相关的代数问题，可以转化为点 与点
之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程
的 的值为_____.
[解析] 由 ，
得 ，其几何意义为
平面内一点到两定点,距离之差为 ，
由于，由双曲线定义可得点在双曲线 的左支上，
所以，解得或 （舍去）.
［素养小结］
1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
（1）列出等量关系，化简得到方程；
（2）寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程.
2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意：
（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；
（2）检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
探究点二 双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1），经过点 ；
解：当双曲线的焦点在 轴上时，
设双曲线的标准方程为，把点 的坐标代入，
得 ，不符合题意；
当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为
，把点的坐标代入，得 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
（2）经过点， .
解：设双曲线的方程为 ，
因为双曲线经过点， ，
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为 .
（3）与双曲线有相同的焦点且过点 .
解：依题意，设所求双曲线的方程为 .
因为两双曲线有相同的焦点，所以 ，
又点在双曲线上，所以 .
由①②可得，故所求双曲线的方程为 .
变式 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
（1），，且焦点在 轴上；
解：根据题意可知，， ，
又焦点在轴上， 双曲线的标准方程为 .
（2）与椭圆共焦点且过点 .
解：由题意设所求双曲线的标准方程为 ，
则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为 ,
，
由双曲线的定义可知
，
所以,, ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
（3）过点和 .
解：依题意设双曲线的方程为 ，
则解得 所以双曲线的标准方程为
.
［素养小结］
双曲线标准方程的两种求法：
（1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的，，，再写出双曲
线的标准方程.
（2）待定系数法：首先设出双曲线的标准方程为或
，然后根据条件求出待定的系数，代入方
程即可.
特别地，若双曲线的焦点的位置不明确，则应注意分类讨论，也可
以设双曲线方程为，注意标明条件.
探究点三 双曲线定义的应用
例3（1）［2025·广东部分名校高二联考］已知双曲线
的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若 ，则
( )
A.9 B.1 C.1或9 D.11或9
[解析] 根据双曲线的定义可得 ，
又，所以或 .
因为，所以，
又 ，所以 .故选A.
√
（2）已知双曲线,,分别是双曲线的左、右焦点，点
在双曲线上且 ,则 的面积是_____.
[解析] 双曲线,则, ,有.
在 中，由余弦定理得
,
即 ,
因此,解得 ，
所以的面积为 .
变式（1）已知双曲线上一点到左焦点 的距离为10，
则的中点到坐标原点 的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
[解析] 设双曲线的右焦点为，连接，，易知是
的中位线，，， ，
或，或 ，故选A.
√
（2）设，分别是双曲线 的左、右焦点，过
作轴的垂线与交于，两点，若 为正三角形，则
的面积为( )
A. B.4 C. D.3
[解析] 设，为正三角形， ，
又双曲线，
根据双曲线的定义得 ，
，即等边三角形的边长为4，故 的面积为
.故选A.
√
（3）已知双曲线的方程为，点， 分别是其左、右焦
点，是圆上的一点，点 在双曲线的右支上，则
的最小值是_________.
[解析] 由题意可得，，即，则， 的坐标
分别为，，由双曲线的定义，得 .
设圆的圆心为，易知圆的半径为2，连接，,, ,则
，所以，当且仅当, ,
,四点共线,在线段上时取等号，则 的最小
值为 .
［素养小结］
双曲线定义的两种应用
（1）求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐
标，则根据两点间的距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的
距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的
验证（负数应该舍去，且所求距离应该不小于）.
（2）双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点与其两个焦点，连接而成的焦点三角形
中，令，， ，因为 ，所
以有
①定义： ；
②余弦公式： ；
③面积公式： .
一般地，在 中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.
探究点四 双曲线的实际应用
例4 如图所示，地在 地的正东方向4千米处，地
在地的北偏东 方向2千米处，河流的沿岸
（曲线）上任意一点到 的距离比到的距离远2千米.
现要在曲线上选一处 建一座码头，向， 两地
转运货物.经测算，从到，两地修建公路的费用都是 万元/千米，
求修建这两条公路的最低总费用.
解：以的中点为原点，的方向为 轴的
正方向，建立平面直角坐标系，则 ，
， .
连接，，
点的轨迹是双曲线 的右支．
，
当且仅当，， 三点共线时等号成立，
修建这两条公路的最低总费用为 万元.
变式 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线
的一部分，当拱顶 到水面的距
离为4米时，水面宽为 米，则当水面宽度为
米时，拱顶 到水面的距离为( )
A.4米 B. 米
C.米 D. 米
√
[解析] 根据题意得， ，
故，解得 ，所以双曲线的方程为
.
当水面宽度为米时，取 ，则，
所以拱顶 到水面的距离为 米.故选D.
［素养小结］
利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方
法：在实际问题中寻找几何量之间的关系，得到几何关系式，验证
满足双曲线的定义.
检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在，判断是双曲线的一支
还是两支.
1.在学习双曲线的定义、轨迹、标准方程以及后面的几何性质中，都
需要时刻类比前面椭圆的相关知识.
2.双曲线的定义
（1）定义中距离的差要加绝对值,否则方程只表示双曲线的一支.设
,分别为双曲线的左、右焦点,若,则点 在右
支上;若,则点 在左支上.
（2）双曲线定义的双向运用
①若,则动点 的轨迹为双曲线.
②若动点在双曲线上,则 .
3.对双曲线标准方程的理解
（1）标准方程中的两个参数和 是双曲线的定形条件,确定了其值,方
程也随之确定,并且有,注意与椭圆中 相区别.
（2）焦点, 的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方
程的类型,若的系数为正,则焦点在轴上,若 的系数为正,则焦点在
轴上.
（3）双曲线的标准方程可统一表示为 .
4.求双曲线标准方程的常用方法是待定系数法和轨迹方程法
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤:（1）依题意设方程为
或 或
;（2）根据条件,建立关于,（或, ）的
方程;（3）解方程求出,（或, ）,得到双曲线的方程.
1.双曲线方程与椭圆方程主要根据与 的系数符号进行区分.
例1 “”是“方程 表示双曲线”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由方程表示双曲线，可得 ，
解得, “”是“方程 表示双曲线”的
充要条件,故选A.
√
2.在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件
的应用;与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余
弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思
想的应用.
例2[2025·黑龙江省实验中学高二期中]已知椭圆
与双曲线 有公共的焦点，，是和的
一个公共点，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由椭圆的定义得 ,
，即 ，
由双曲线的定义得, ，
即 ，
由①②得 ，
由题意知，，可得 ，
，又 ，
，则，
又 坐标原点为 的中点，
.故选D.
3.在前面学过的各种求椭圆轨迹方程的方法，也同样适用于求双曲线
的轨迹方程.
例3 如图所示，在中，已知，且三个内角， ，
满足，建立适当的坐标系，求顶点 的轨迹
方程.
为的外接圆半径.
因为，所以 ，
即 .
由双曲线的定义知，顶点 的轨迹为双曲线的右支（除去与 轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为 ，
因为， ，所以 ，
则所求轨迹方程为 .
解:以边所在的直线为轴， 的垂直平分线为 轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，则， .
由正弦定理，得 ，，，
练习册
1.双曲线 的焦距为( )
A.6 B.3 C.2 D.1
[解析] ，故焦距为 .故选A.
√
2.焦点分别为，，且经过点 的双曲线的标准方程为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线的定义知，
，所以 .
又，所以 ，因此所求双曲线的标准方程
为 .
√
3.［2025·湖南长郡中学高二期中］已知方程 表示双曲
线，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方程表示双曲线，
当双曲线的焦点在 轴上时，解得；
当双曲线的焦点在 轴上时，解得.
故实数 的取值范围为 .故选A.
4.点的坐标满足 ，则点
的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，，因为点 的坐标满足
,
所以，
故点到定点 与到定点的距离的差为8，
则点的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
又，，所以 ，
故的轨迹方程为 .
5.若，分别是双曲线的左、右焦点，点 在该双曲
线上，且是等腰三角形，则 的周长为( )
A.17 B.16或12 C.20 D.16或20
√
[解析] 双曲线的标准方程为，所以 ，
，.
因为点在该双曲线上，且 是等腰三角形，
所以或.
不妨设点 在双曲线的右支上，当 时，根据双曲线的定义有
，所以；
当 时，根据双曲线的定义有，
所以 的周长为 .故选D.
6.（多选题）［2025·温州十校高二期中］ 在平面直角坐标系中，已
知点,，点 是平面内的一个动点，则下列说法正确的
是( )
A.若，则点 的轨迹是双曲线
B.若，则点 的轨迹是椭圆
C.若，则点 的轨迹是一条直线
D.若，则点 的轨迹是圆
√
√
√
[解析] 因为,，所以 .
对于A，因为，所以点是以， 为焦点的
双曲线，故A正确；
对于B，因为，所以点 的轨迹为线段，
故B错误；
对于C，设，则 ，，
因为 ，所以，
整理得，所以点 的轨迹是一条直线，故C正确；
对于D，因为，即 ，
所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.故选 .
7.已知双曲线的两个焦点为， ，焦距为20，点
是双曲线上一点，，则 ____.
33
[解析] 由题知，则，又 ，即，
所以，所以 ，
而，则或33，
又 ，所以 .
8.已知,分别是双曲线 的左、右焦
点，为上一点，，且的面积等于4，则 ___.
2
[解析] 由题得，所以 ，
因为，所以 ，
则，
所以 ，即，
又，所以，可得 .
9.（13分）（1）求与双曲线有公共焦点,且过点 的
双曲线的标准方程.
解：双曲线的焦点为 ,设所求双曲线的标准方程
为,则,将点 的坐标代入
双曲线方程,可得 ,
所以,,故所求双曲线的标准方程为 .
（2）已知圆，圆，动圆
与圆，都外切，求动圆圆心 的轨迹方程.
解：由题可得，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为 ，
半径为.设动圆与圆，圆外切的切点分别为，，则,, 共
线，,,共线，则 ，
又，所以 ，
又，所以点的轨迹是以， 为焦点的双曲线的右支.
设双曲线方程为，由题可得， ，
则，故圆心的轨迹方程为 .
10.设双曲线与椭圆有公共焦点，.若双曲线
经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则 的余
弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的方程为，由题得 ,
，所以，则双曲线方程为，
不妨设 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得
解得
又 ，所以根据余弦定理，得 .故选A.
11.（多选题）已知双曲线 的左、右顶点分
别是，，左、右焦点分别是，，是双曲线上异于，
的任意一点，给出下列结论，其中正确的是( )
A.
B.直线，的斜率之积等于定值
C.使得为等腰三角形的点 有且仅有四个
D.若，则
√
√
[解析] 由题意，点是双曲线上异于， 的任意一点，设.
对于A，由双曲线的定义知， ，所以A错误.
对于B，由， ，可得，
又 ，所以，可得，所以B正确.
对于C，若 在第一象限，则当，时，
为等腰三角形，当，时， 也
为等腰三角形，故点在第一象限且使得为等腰三角形的点 有
两个．
同理可得，点在第二、三、四象限且使得为等腰三角形
的点 也各有两个.因此使得为等腰三角形的点 共有八个，
所以C错误．
对于D，由，得 ，
从而，所以D正确．故选 .
12.［2024·福州高二联考］若方程 表示双曲线，则实
数 的取值范围为________________.
[解析] 依题意得或解得 或，
实数的取值范围是 .
13.［2025·台州高二期中］已知双曲线的方程为
，如图，点的坐标为， 是圆
上的点，点 在双曲线的右支上，
则 的最小值为_________.
[解析] 取，则点， 分别是双曲线的左、右
焦点，由双曲线的定义，得 ，
，
又是圆上的点，圆的圆心为 ，
半径为1，故 ，
从而，当点， 在线段上时
取等号，即 的最小值为 .
14.（15分）已知点与点，是动点，且直线与
的斜率之积等于 .
（1）求动点 的轨迹方程;
解：设点的坐标为 .
由题意得，化简得 ，
故动点的轨迹方程为 .
14.（15分）已知点与点，是动点，且直线与
的斜率之积等于 .
（2）若点为原点，在第二象限，当时，求点 的坐标.
解： ， ,
又由（1）知②, 由①②得
又点在第二象限， 点的坐标为 .
15.［2025·辽宁重点高中协作体高二期中］某飞船返回舱顺利到达地
球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到
达区域安排了三个救援中心（记为，，），在 的正东方向，
相距；在的北偏西 方向，相距； 为航天员的着陆
点.某一时刻，接收到的求救信号，由于，两地比距远，
后， 两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度
为，则在处测得 的方向角为( )
A.北偏东 B.北偏东 C.北偏西 D.北偏西
√
[解析] 因为， 同时接到信号，所以
，则点在线段 的垂直平分线上.
因为，比同时晚 接收到信号，所以
，从而在以，
为焦点的双曲线的右支上，且，，则 .
如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为 轴，正
东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，为线段 的垂直
平分线，则，，，，所以点
在曲线上，
线段 的垂直平分线的方程为 ，即.由 解得即点 ，
故，所以直线的倾斜角为 ，
则在处测得的方向角为北偏东 ，故选A.
16.（15分）已知椭圆 与双曲线
的一个交点为，且有公共的焦点， ，
若 ，求证： .
证明：如图所示，设 ， ， .
根据双曲线的定义得 ，
，
，即 ， .
另一方面，根据椭圆的定义得 ，
，
，即 ，
， .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识导学 1.差的绝对值,小于,焦距 2.，
, 【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）× 2.略
知识点二 ,,,,
,, 【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）×
课中探究 例1.（1）BD （2） 变式.
例2.（1）.（2）.（3）.
变式.（1）.（2）.（3）.
例3.（1）A （2） 变式.（1）A （2）A （3）
例4.万元. 变式.D
快速核答案(练习册）
1.A 2.A 3.A 4.C 5.D 6.ACD 7.33 8.2
9.（1）.（2）.10.A 11.BD
12. 13.
14. （1）.（2）
15.A 16.略3.2.1 双曲线及其标准方程
【课前预习】
知识点一
1.差的绝对值 小于|F1F2| 焦距
2.{M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 2c
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
[解析] (1)∵|F1F2|=6,∴|PF1|-|PF2|=5<|F1F2|,但条件中没有绝对值,故动点P的轨迹是双曲线的一支.
(2)∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,∴动点P的轨迹是两条射线.
(3)∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,∴动点P的轨迹不存在.
2.解:左图中点P,M,F1,F2,线段PA,PB,MF1,MF2,变化的是点P,线段MF1,MF2,不变的是点F1,F2,线段和|PA|+|PB|,|MF1|+|MF2|.右图中点P,M,F1,F2,线段PA,PB,MF1,MF2,变化的是点P,线段MF1,MF2,不变的是点F1,F2,线段差|PA|-|PB|,|MF1|-|MF2|.
知识点二
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
(-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c)
c2=a2+b2
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)依题意有解得3(2)在双曲线的标准方程中,a,b,c的关系是a2+b2=c2.
(3)根据双曲线的标准方程的特点,可知双曲线x2-=1的焦点在x轴上.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BD (2)-=1
[解析] (1)设所求动点为P,由题意可得|F1F2|=8.对于A选项,由题意可知,|PF1|=|PF2|,则点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线,A中说法正确;对于B选项,|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|,所以点P的轨迹为线段F1F2,B中说法错误;对于C选项,由题意可知,|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支,C中说法正确;对于D选项,设P(x0,y0),则|PF1|2+|PF2|2=(x0+4)2++(x0-4)2+=2+2+32=12,可得+=-10,所以满足条件的点P不存在,D中说法错误.故选BD.
(2)圆C1:x2+(y-2)2=1的圆心为C1(0,2),半径r1=1,圆C2:x2+(y+2)2=4的圆心为C2(0,-2),半径r2=2,因为|C1C2|=4>r1+r2,所以圆C1与圆C2外离.设圆P的半径为R,由题意可得所以|PC1|-|PC2|=1<|C1C2|,所以圆心P的轨迹是以点C1,C2分别为上、下焦点的双曲线的下支.设圆心P的轨迹方程为-=1(y≤-a,a>0,b>0),由题意可得2a=1,则a=,b==,因此圆心P的轨迹方程为-=1.
变式 - [解析] 由-=2,得-=2,其几何意义为平面内一点(x,2)到两定点(3,0),(-3,0)距离之差为2,由于2<6,由双曲线定义可得点(x,2)在双曲线-=1的左支上,所以-=1,解得x=-或x=(舍去).
探究点二
例2 解:(1)当双曲线的焦点在x轴上时,
设双曲线的标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=9,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
因为双曲线经过点(3,0),(-6,-3),
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)依题意,设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
因为两双曲线有相同的焦点,所以a2+b2=c2=4+2=6①,
又点P(2,1)在双曲线-=1上,所以-=1②.
由①②可得a2=b2=3,故所求双曲线的方程为-=1.
变式 解:(1)根据题意可知,a2=16,b2=c2-a2=20,
又焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程为-=1.
(2)由题意设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则c==3,即椭圆C与所求双曲线的公共焦点为F1(-3,0),F2(3,0),
由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=|-|=3-=2=2a<2c=6=|F1F2|,
所以a=,c=3,b==,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(3)依题意设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得所以双曲线的标准方程为x2-=1.
探究点三
例3 (1)A (2)3 [解析] (1)根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4,又|PF1|=5,所以|PF2|=1或|PF2|=9.因为c2=a2+b2=4+12=16,所以c=4,又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=9.故选A.
(2)双曲线-=1,则a=2,c=,有||MF1|-|MF2||=2a=4.在△F1MF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2,即|F1F2|2=(|MF1|-|MF2|)2+2|MF1||MF2|(1-cos 120°),因此(2)2=42+2|MF1||MF2|,解得|MF1|·|MF2|=12,所以△F1MF2的面积为|MF1|·|MF2|sin 120°=3.
变式 (1)A (2)A (3)5+4
[解析] (1)设双曲线的右焦点为F2,连接MF2,ON,易知ON是△MF1F2的中位线,∴|ON|=|MF2|,∵||MF1|-|MF2||=4,|MF1|=10,∴|MF2|=14或|MF2|=6,∴|ON|=7或|ON|=3,故选A.
(2)设|AF2|=t,∵△ABF1为正三角形,∴|AF1|=2t,又双曲线C:x2-=1,∴根据双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=t=2,∴|AF1|=4,即等边三角形的边长为4,故△ABF1的面积为×42×sin 60°=4.故选A.
(3)由题意可得,c2=9+16=25,即c=5,则F1,F2的坐标分别为(-5,0),(5,0),由双曲线的定义,得|MF1|-|MF2|=2a=6.设圆的圆心为C(0,5),易知圆的半径为2,连接CA,CM,MF2,CF2,则|CM|+|MF2|≥|CF2|,所以|MF1|+|MA|=|MF2|+2a+|MA|≥|MF2|+|CM|+2a-|CA|≥|CF2|+6-2=5+4,当且仅当C,A,M,F2四点共线(A,M在线段CF2上)时取等号,则|MF1|+|MA|的最小值为5+4.
探究点四
例4 解:以AB的中点O为原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则C(3,),A(-2,0),B(2,0).
连接AM,AC.∵|MA|-|MB|=2<|AB|,∴点M的轨迹是双曲线x2-=1的右支.
∵|MB|+|MC|=|MA|-2+|MC|≥|AC|-2=2-2,
当且仅当M,A,C三点共线时等号成立,
∴修建这两条公路的最低总费用为(2-2)a万元.
变式 D [解析] 根据题意得M(0,-4),A(-2,-8),故-=1,解得m=4,所以双曲线的方程为-=1.当水面宽度为4米时,取x=-2,则y=-4,所以拱顶M到水面的距离为(4-4)米.故选D.3.2.1 双曲线及其标准方程
1.A [解析] c==3,故焦距为2c=6.故选A.
2.A [解析] 由双曲线的定义知,2a=-=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.
3.A [解析] ∵方程-=1表示双曲线,∴当双曲线的焦点在x轴上时,解得m>-1;当双曲线的焦点在y轴上时,解得m<-2.故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,+∞).故选A.
4.C [解析] 设A(5,0),B(-5,0),因为点M(x,y)的坐标满足-=8,所以|MB|-|MA|=8<10=|AB|,故点M到定点B(-5,0)与到定点A(5,0)的距离的差为8,则点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点的双曲线的右支,又2a=8,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,故M的轨迹方程为-=1(x≥4).
5.D [解析] 双曲线8x2-y2=8的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,|F1F2|=2c=6.因为点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.不妨设点P在双曲线的右支上,当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16;当|PF2|=6时,根据双曲线的定义有|PF1|=|PF2|+2a=6+2=8,所以△PF1F2的周长为6+6+8=20.故选D.
6.ACD [解析] 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.对于A,因为|||-|||=1<|AB|,所以点M是以A,B为焦点的双曲线,故A正确;对于B,因为||+||=2=|AB|,所以点M的轨迹为线段AB,故B错误;对于C,设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),因为||=||,所以=,整理得x=0,所以点M的轨迹是一条直线,故C正确;对于D,因为·=(-1-x)(1-x)+(-y)2=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,故D正确.故选ACD.
7.33 [解析] 由题知2c=20,则c=10,又a2+36=c2,即a2+36=100,所以a=8,所以||PF2|-|PF1||=2a=16,而|PF1|=17,则|PF2|=1或33,又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=33.
8.2 [解析] 由题得=|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=8,因为F1P⊥F2P,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,则(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,所以4a2+16=4c2,即a2+4=c2,又c2=a2+b2,所以b2=4,可得b=2.
9.解:(1)双曲线-y2=1的焦点为(±,0),设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=3,将点(,)的坐标代入双曲线方程,可得-=1,
所以a=1,b=,故所求双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)由题可得,圆C1的圆心为(-2,0),半径为;圆C2的圆心为(2,0),半径为.设动圆P与圆C1,圆C2外切的切点分别为A,B,则C1,A,P共线,C2,B,P共线,则|PC1|-|PC2|=|PA|+|AC1|-(|PB|+|BC2|),
又|PA|=|PB|,所以|PC1|-|PC2|=|AC1|-|BC2|=2,又|C1C2|=4>2,所以点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支.
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由题可得a=1,c=2,
则b2=c2-a2=3,故圆心P的轨迹方程为x2-=1(x≥1).
10.A [解析] 设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),由题得c=2,a=1,所以b=,则双曲线方程为x2-=1,不妨设P在第一象限,根据椭圆和双曲线的定义可得
解得又|F1F2|=4,所以根据余弦定理,得cos∠F1PF2==.故选A.
11.BD [解析] 由题意,点P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,设P(x0,y0).对于A,由双曲线的定义知,||PA1|-|PA2||≠2a,所以A错误.对于B,由A1(-a,0),A2(a,0),可得·=·=,又-=1,所以=(-a2),可得·=,所以B正确.对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c,|PF2|=2c-2a时,△PF1F2为等腰三角形,当|PF2|=2c,|PF1|=2c+2a时,△PF1F2也为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理可得,点P在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个.因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,所以C错误.对于D,由·=+-a2=b2,得+=c2,从而·=+-c2=0,所以D正确.故选BD.
12.(-3,2)∪(3,+∞) [解析] 依题意得或解得-33,∴实数m的取值范围是(-3,2)∪(3,+∞).
13.3+3 [解析] 取D(3,0),则点A,D分别是双曲线的左、右焦点,由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=4,∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|,又B是圆x2+(y-3)2=1上的点,圆的圆心为C(0,3),半径为1,故|BD|≥|CD|-1=3-1,从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥3+3,当点M,B在线段CD上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为3+3.
14.解:设点P的坐标为(x,y)(x≠±2).
(1)由题意得·=,化简得-=1,
故动点P的轨迹方程为-=1(x≠±2).
(2)∵|OP|==,
∴x2+y2=①,
又由(1)知-=1②,∴由①②得∴
又点P在第二象限,∴点P的坐标为.
15.A [解析] 因为B,C同时接到信号,所以|PB|=|PC|,则点P在线段BC的垂直平分线上.因为B,C比A同时晚4 s接收到信号,所以|PB|-|PA|=4<6=|AB|,从而P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且2a=4,c=3,则b2=c2-a2=5.如图,以线段AB的中点O为坐标原点,AB的垂直平分线为y轴,正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,PM为线段BC的垂直平分线,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),M(-4,),所以点P在曲线-=1(x≥2)上,线段BC的垂直平分线的方程为y-=(x+4),即x-y+7=0.由
解得即点P(8,5),故kPA==,所以直线PA的倾斜角为60°,则在A处测得P的方向角为北偏东30°,故选A.
16.证明:如图所示,
设|PF1|=r1,
|PF2|=r2,
|F1F2|=2c.
根据双曲线的定义得|r2-r1|=2m,
∴cos 2α==
=
=+1,
∴1-cos 2α=,
即1-(1-2sin2α)=,
∴sin α=.
另一方面,根据椭圆的定义得r1+r2=2a,∴cos 2α==
==-1,∴1+cos 2α=,即1+(2cos2α-1)=,
∴cos α=,∴tan α=.3.2.1 双曲线及其标准方程
【学习目标】
1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.
2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.
◆ 知识点一 双曲线的定义
1.双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的 .
2.双曲线上动点M的集合表示:P= ,焦距常用
表示.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|PF1|-|PF2|=5的动点P的轨迹是双曲线. ( )
(2)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件||PF1|-|PF2||=6的动点P的轨迹是双曲线. ( )
(3)已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),满足条件||PF1|-|PF2||=7的动点P的轨迹是双曲线. ( )
2.说出教材P118探究中左右两图分别涉及的点、线、变量以及不变量.
◆ 知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
(续表)
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是3(2)在双曲线的标准方程中,a,b,c的关系是a2=b2+c2. ( )
(3)双曲线x2-=1的焦点在y轴上. ( )
◆ 探究点一 与双曲线有关的轨迹方程
例1 (1)(多选题)已知F1(-4,0),F2(4,0),下列说法中错误的是 ( )
A.平面内到F1,F2两点的距离相等的点的轨迹是直线
B.平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C.平面内到F1,F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支
D.平面内到F1,F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆
(2)若动圆与圆C1:x2+(y-2)2=1和圆C2:x2+(y+2)2=4都内切,则动圆的圆心P的轨迹方程为 .
变式 [2025·厦门外国语学校高二期中] 代数与几何是数学的两个重要分支,它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题,可以利用几何直观来理解和解决代数问题,例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,满足方程-=2的x的值为 .
[素养小结]
1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:
(1)列出等量关系,化简得到方程;
(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.
2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意:
(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;
(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
◆ 探究点二 双曲线的标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=4,经过点A;
(2)经过点(3,0),(-6,-3).
(3)与双曲线-=1有相同的焦点且过点P(2,1).
变式 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)a=4,c=6,且焦点在x轴上;
(2)与椭圆C:+=1共焦点且过点P(2,).
(3)过点A(3,2)和B(17,12).
[素养小结]
双曲线标准方程的两种求法:
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为-=1或-=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.
特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1,注意标明条件mn<0.
◆ 探究点三 双曲线定义的应用
例3 (1)[2025·广东部分名校高二联考] 已知双曲线C:-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若|PF1|=5,则|PF2|= ( )
A.9 B.1
C.1或9 D.11或9
(2)已知双曲线-=1,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点M在双曲线上且∠F1MF2=120°,则△F1MF2的面积是 .
变式 (1)已知双曲线-=1上一点M到左焦点F1的距离为10,则MF1的中点N到坐标原点O的距离为 ( )
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
(2)设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,若△ABF1为正三角形,则△ABF1的面积为( )
A.4 B.4
C.3 D.3
(3)已知双曲线的方程为-=1,点F1,F2分别是其左、右焦点,A是圆x2+(y-5)2=4上的一点,点M在双曲线的右支上,则|MF1|+|MA|的最小值是 .
[素养小结]
双曲线定义的两种应用
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).
(2)双曲线中的焦点三角形问题
在双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的焦点三角形PF1F2中,令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有
①定义:|r1-r2|=2a;
②余弦公式:4c2=+-2r1r2cos θ;
③面积公式:=r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.
◆ 探究点四 双曲线的实际应用
例4 如图所示,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是a万元/千米,求修建这两条公路的最低总费用.
变式 如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线-=1(m>0)的一部分,当拱顶M到水面的距离为4米时,水面宽AB为4米,则当水面宽度为4米时,拱顶M到水面的距离为 ( )
A.4米 B.(8-4)米
C.(2-4)米 D.(4-4)米
[素养小结]
利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.
检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在,判断是双曲线的一支还是两支.3.2.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线-=1的焦距为 ( )
A.6 B.3 C.2 D.1
2.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-=1
3.[2025·湖南长郡中学高二期中] 已知方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞)
D.(-2,-1)
4.点M(x,y)的坐标满足-=8,则点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.-=1
C.-=1(x≥4) D.-=1(y≥4)
5.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 ( )
A.17 B.16或12
C.20 D.16或20
6.(多选题)[2025·温州十校高二期中] 在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),点M是平面内的一个动点,则下列说法正确的是 ( )
A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线
D.若·=2,则点M的轨迹是圆
7.已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为20,点P是双曲线上一点,|PF1|=17,则|PF2|= .
8.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为C上一点,PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于4,则b= .
9.(13分)(1)求与双曲线-y2=1有公共焦点,且过点(,)的双曲线的标准方程.
(2)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,动圆P与圆C1,C2都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
10.设双曲线C2与椭圆C1:+=1有公共焦点F1,F2.若双曲线C2经过点A(1,0),设P为双曲线C2与椭圆C1的一个交点,则∠F1PF2的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
11.(多选题)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是 ( )
A.||PA1|-|PA2||=2a
B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值
C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个
D.若·=b2,则·=0
12.[2024·福州高二联考] 若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围为 .
13.[2025·台州高二期中] 已知双曲线的方程为-=1,如图,点A的坐标为(-3,0),B是圆x2+(y-3)2=1上的点,点M在双曲线的右支上,则|MA|+|MB|的最小值为 .
14.(15分)已知点A(-2,0)与点B(2,0),P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若点O为原点,P在第二象限,当|OP|=时,求点P的坐标.
15.[2025·辽宁重点高中协作体高二期中] 某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),A在B的正东方向,相距6 km;C在B的北偏西30°方向,相距4 km;P为航天员的着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,4 s后B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1 km/s,则在A处测得P的方向角为 ( )
A.北偏东30° B.北偏东60°
C.北偏西30° D.北偏西60°
16.(15分)已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=.
