(共77张PPT)
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
探究点一 由双曲线方程研究其几何性质
探究点二 由双曲线的简单几何性质求标
准方程
探究点三 双曲线的离心率问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、
顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达.
2.能认识双曲线特征量的几何意义.
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程
图形 ___________________________ ____________________________
性质 焦点 ________________ ________________
焦距 ____ 范围 _____________________ _____________________
,
,
或，
或，
标准方程
性质 对称性 __________________ 顶点 _________________ _________________
_____________ 离心率 轴对称、中心对称
,
,
续表
标准方程
性质 实轴 虚轴 渐近线方 程 _ _________ _________
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）双曲线的焦点在 轴上.( )
×
[解析] 由双曲线的标准方程知,双曲线的焦点在 轴上.
（2）双曲线 与双曲线
的渐近线方程相同.( )
×
[解析] 双曲线 的渐近线方程为,
双曲线 的渐近线方程为 ,不相同.
（3）双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( )
√
[解析] 双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越开阔.
2.（1）双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
解：不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应
无数条双曲线,且焦点可能在轴上,也可能在 轴上.
（2）椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同？
解：不相同.双曲线的离心率的取值范围是 ，椭圆的离心率的
取值范围是 .
知识点二 等轴双曲线
________________________叫作等轴双曲线,其渐近线方程为_______
离心率为____.
实轴和虚轴等长的双曲线
【诊断分析】
（1）等轴双曲线的离心率是 .( )
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
[解析] ,, .
（2）等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( )
×
[解析] , 等轴双曲线的渐近线方程为 ,与双曲线的方
程无关.
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )
√
[解析] 等轴双曲线的渐近线方程为 ,易知这两条直线互相垂直.
√
探究点一 由双曲线方程研究其几何性质
例1 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚
轴长、离心率和渐近线方程.
解：双曲线方程可化为,则双曲线的焦点在轴上, ,
,,，, ,
顶点坐标为,焦点坐标为,实轴长为 ,虚轴长
为,离心率,渐近线方程为,即 .
变式（1）曲线与曲线 的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
√
[解析] 当时，曲线是焦点在 轴上的双曲
线，而双曲线只有实轴、虚轴，无长轴、短轴，故A，B错误；
曲线是焦点在轴上的椭圆，半焦距 ，
双曲线的半焦距 ，
即有，故C正确；
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率
，故D错误.故选C.
（2）［2025·榆林高二期中］已知椭圆 与双曲线
的离心率互为倒数，则双曲线 的渐近
线方程为___________.
[解析] 椭圆中，设长半轴长为，短半轴长为 ，半
焦距为，则，， ，所以椭圆的离心率
，所以双曲线的离心率，其中为双曲线 的
半焦距，所以，所以双曲线
的渐近线方程为 .
［素养小结］
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤：
（1）把双曲线的方程化为标准形式；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定，的值；
（3）由求出的值，从而写出双曲线的几何性质.
探究点二 由双曲线的简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）焦点在轴上，离心率为 ，两顶点间的距离为6；
解： 设所求双曲线的方程为 .
由，，得， ，所以， ，
所以双曲线的方程为 .
（2）与双曲线有共同的渐近线,并且经过点 .
解：方法一：双曲线的渐近线方程为 .
若所求双曲线的焦点在 轴上，设其标准方程为 ．
因为，所以 .
因为点在所求的双曲线上，所以 .
联立①②所得的方程组无解．
若所求双曲线的焦点在 轴上，设其标准方程为 ．
因为，所以 .
因为点在所求的双曲线上，所以 .
联立③④得， ，所以所求双曲线的标准方程为 .
方法二：设与双曲线 有共同渐近线的双曲线的方程为
．
因为点在所求的双曲线上，所以 ，
所以所求双曲线的方程为，即标准方程为 .
变式 求下列双曲线的标准方程.
（1）过点 且为等轴双曲线；
解：设双曲线方程为，将 代入方程，可得
，
所以双曲线方程为 ，即标准方程为 .
（2）两顶点间的距离为6，渐近线方程为
解：根据渐近线方程设双曲线方程为 .
当时， ，，解得 ；
当时， ，，解得 .
综上，双曲线的标准方程为或 .
［素养小结］
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点
位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，
应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成
.当双曲线的渐近线方程为时，可
以将双曲线方程设为.
探究点三 双曲线的离心率问题
例3（1）已知双曲线 的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为____．
[解析] 双曲线的渐近线方程为 .
因为渐近线与圆相切，所以圆心 到直线
的距离为半径1，即，即，可得 .
又，所以，可得 .
（2）已知双曲线的右焦点为， 为坐
标原点，为双曲线右支上异于右顶点的点，若 的平分线垂直
于轴，则双曲线 的离心率的取值范围是________.
[解析] 由题意可知，为等腰三角形，且.
设的平分线与轴交于点，则点为线段的中点，所以 .
因为为双曲线右支上异于右顶点的点，所以，即 ，
故双曲线的离心率的取值范围是 .
变式（1）若双曲线 的渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
[解析] 双曲线的渐近线方程为 ,
,即，又 ,
, .故选A.
√
（2）［2025·珠海实验中学等五校高二联考］已知双曲线
的左焦点为,为坐标原点，若在 的右
支上存在关于轴对称的两点,，使得 为正三角形，且
，则 的离心率为_______.
[解析] 设右焦点为，连接，，由题意知， 为正三角
形，且，,关于轴对称，
所以 ，且 ，
所以， ，
由余弦定理得 ，
由双曲线的定义得，即 ，
所以 .
［素养小结］
求双曲线的离心率时建立方程的一般方法：
（1）利用双曲线的几何性质得到关于，，的等式；
（2）利用焦点三角形，借助图形特点得到关于，，的等式；
（3）将已知条件采用代数法转化得到关于，，的等式.
由，，的等式运用解方程的方法得到离心率的值，解题时要注意
离心率的取值范围.
拓展（1）已知点，分别是双曲线 的左、
右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于， 两点，若
是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题知，则， 均为锐角，
是锐角三角形，为锐角，则 ，即
.
由题得，，即 ，
即，解得，
又 ， .故选C.
（2）已知,是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公
共点，且，若和的离心率分别为,，则 的取
值范围是_______.
[解析] 设的长半轴长为，的实半轴长为，焦距为 ，
由题意可知
将②和③平方相加得，
将①代入可得 ，即.
设
，，且， ，
令 ，， ，
，
，故 .
1.对双曲线的几何性质的三点说明
（1）双曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.
（2）双曲线的离心率反映了双曲线开口的大小, 越大,双曲线
的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解.
（以双曲线 为例，因为
，所以越大，越大，渐近线
的斜率的绝对值越大,这时双曲线的开口就越大）
（3）双曲线的渐近线是两条直线,当, 趋向于无穷大时,双曲线将无
限地与渐近线接近,但永远没有交点.焦点在轴上和 轴上的双曲线的
渐近线方程分别为和 ,容易混淆,所以常把双曲线标
准方程右边的常数写成0,分解因式即得渐近线方程.
2.双曲线与椭圆的六点不同
双曲线 椭圆
曲线 两支曲线 封闭的曲线
顶点 两个顶点 四个顶点
轴 实、虚轴 长、短轴
渐近线 有渐近线 无渐近线
离心率
1.由双曲线方程求渐近线方程的方法：
（1）双曲线的渐近线方程为 ，双
曲线的渐近线方程为 ；
（2）双曲线 的渐近线方程为
，即 .
[解析] ，，
渐近线方程为 .
例1 若双曲线的离心率为 ，则其渐近线
方程为( )
A. B. C. D.
√
2.利用双曲线的性质，求双曲线的标准方程，常常先利用条件设出方
程，再利用待定系数法求出方程.
利用双曲线的性质设双曲线方程的常见方法：
（1）与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为
.
（2）与双曲线 具有相同渐近线的双曲线方
程可设为 .
解：渐近线方程为，即 ，
设双曲线的标准方程是 ，若，则方程
为，有 , , ,而，
解得 ，此时所求双曲线的标准方程为 ;
若，则方程为，有 , ,
，而，解得 ，
此时所求双曲线的标准方程为 .
所以所求双曲线的标准方程为或 .
例2 求下列双曲线的标准方程.
（1）渐近线方程为，焦距是 ；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点 .
解：由题意设所求双曲线方程为 ，
因为双曲线过点 ，所以，
得， ，
解得或 （舍去），
所以所求双曲线方程为 .
3.求双曲线离心率的常用方法是构造关于,的齐次方程,得到关于
的方程,利用方程思想求解.
例3（1）［2025·常州高二期中］设双曲线
的右焦点为，双曲线上的两点， 关
于原点对称，且满足，，则双曲线
的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的左焦点为，连接， ，由双曲线的对称性
可知，四边形为平行四边形，又，则 ，
所以平行四边形为矩形，故.
设 ，，则，在中， ，
，所以，则 ，所以
.
令，得 ，又由，得.
因为对勾函数上单调递增，所以，
所以 ，即，则，
故 ，所以 ，
所以双曲线离心率的取值范围是 .
(2)[2025· 湖南名校高二联考]已知双曲线的
左焦点为，过的直线 交圆于，两点，交的右支于
点 ，若，则 的离心率为____.
[解析] 设的半焦距为，设为坐标原点，的中点为,
的右焦点为，连接,，.
因为，所以 也是的中点.
设 ，由双曲线的定义得
，所以, ，
在中，由，得，
所以 ,，
在中，由，得 .
练习册
1.已知双曲线的方程为 ，则该双曲线的( )
A.实轴长为，虚轴长为2 B.实轴长为 ，虚轴长为4
C.实轴长为2，虚轴长为 D.实轴长为4，虚轴长为
[解析] 双曲线方程可化为，可得 ,
，所以该双曲线的实轴长为 ，虚轴长为4.故选B.
√
2.［2025·南通高二期中］已知双曲线 的一
条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线 可知其中一条渐近线的斜
率为，所以该双曲线的离心率 .故选A.
√
3.［2025·武汉六中高二月考］已知等轴双曲线过点 ，则该双曲
线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 设等轴双曲线的方程为，将点 的坐标
代入等轴双曲线的方程可得 ，则该双曲线的方程为
.故选C.
√
4.已知双曲线，则当实数 变化时，这些双曲
线有( )
A.相同的焦点 B.相同的实轴长
C.相同的离心率 D.相同的渐近线
√
[解析] 当时，可化为， ，
，，焦点在轴上，实轴长为，离心率为 ，
渐近线方程为；
当时， 可化为，，
，，焦点在 轴上，实轴长为，
离心率为，渐近线方程为
这些双曲线有相同的渐近线.故选D.
5.设双曲线的离心率为 ，则下列说法中正
确的为( )
A.越大，双曲线开口越小 B. 越小，双曲线开口越大
C.越大，双曲线开口越大 D. 越小，双曲线开口越大
√
[解析] 对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；
对于B， 越小，双曲线开口越小，故B错误；
对于C，由知， 越大，则越大，双曲线开口越大，
故C正确；
对于D，越小，则 越小，双曲线开口越小，故D错误.故选C.
6.（多选题）已知双曲线的上、下焦点分别为， ，点
在双曲线上，则下列结论正确的是( )
A.双曲线的离心率为2
B.双曲线的渐近线方程为
C.若，则 的面积为9
D.点到两条渐近线的距离的乘积为
√
√
[解析] 由双曲线的方程得，， ，则
，.双曲线的离心率 ，A错误；
双曲线的渐近线方程是，B正确；
若，不妨设 ,,，则
，，C错误；
设，则 ，即， 渐近线方程为
， 点 到两条渐近线的距离的乘积为
，D正确.故选 .
7.已知双曲线，则的右焦点的坐标为______， 的焦
点到其渐近线的距离是____.
[解析] 由双曲线的方程知，，，则 ，
所以双曲线的右焦点的坐标为.
双曲线 的渐近线方程为，即，
所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
8.［2025·重庆巴蜀中学、育才中学高二联考］写出一个同时满足下
列条件①②③的双曲线方程为_________________________.
①中心在原点，焦点在 轴上;②两条渐近线互相垂直;③焦距大于2.
（答案不唯一）
[解析] 由①可设双曲线方程为 ，
由②可得渐近线方程为，则，所以 ，
由③可得，所以，可取 ，所以双曲线方程为
.
9.（13分）求下列双曲线的标准方程.
（1）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点 ；
解：因为所求双曲线与双曲线 有共同的渐近线，所以设
所求双曲线的标准方程为 ，
又因为所求双曲线经过点，所以 ，解得 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
（2）等轴双曲线与椭圆 有公共的焦点；
解：由椭圆可得其半焦距 ,且椭圆的焦点
在轴上，故可设与之有公共焦点的等轴双曲线 的方程为
,
依题意，,可得,故双曲线的方程为 .
（3）双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6.
解:当双曲线的焦点在 轴上时,设双曲线的方程为
，则解得 所以双曲线的方程为 ；
当双曲线的焦点在轴上时,设双曲线 的方程为，则解得
所以双曲线的方程为 .
综上，双曲线的方程是或 .
10.如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一
部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半
径为，下口半径为，高为 ，则冷却塔的最
小直径为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平
面建立平面直角坐标系，如图所示，设双曲线方程为
，
因为冷却塔的上口半径为，下口半径为，高为 ，
所以设双曲线上的点,，且.
由 两式相减得 ，
又双曲线的离心率为3，所以，所以 ，代入可得，
得，所以 ，
将代入双曲线方程可得，得 ，
所以，即冷却塔的最小直径为 ，故选C.
11.(多选题)［2025·黄冈高二期中］已知双曲线的
两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率可能为( )
A. B. C. D.2
√
√
[解析] 双曲线的渐近线方程为，设的倾斜角为 .
若，则两渐近线的夹角为，， ，
又，.
若 ，则两渐近线的夹角为，，，
又 ，.故选 .
12.［2025·东莞五校高二月考］已知, 分别是双曲线
的左、右焦点，过的直线与 的左、右
两支分别交于,两点.若 ，则双曲线的离
心率为_____.
[解析] 因为，所以不妨令 ，
，.
因为 ，所以.
又由双曲线的定义得 ，,
所以 ，所以，
所以，所以 .
在直角三角形中，，
又 ，所以，所以双曲线的离心率 .
13.［2025·深圳中学高二期中］已知双曲线
,点的坐标为,若上的任意一点 都
满足,则 的离心率的取值范围是_ ________.
[解析] 设,则由得 ,整理得
.由得 ,代入不等式
（*）中,化简得恒成立,则 ,
即,即,即,可得 ,解得
,又,所以 .
14.（15分）已知双曲线 的左、右焦点分
别为， .
（1）若点的坐标是，且的面积为，求双曲线
的渐近线方程；
解：因为，的面积为 ，所以，
即，所以 ，
解得或 （舍去），
所以，所以双曲线的渐近线方程是 .
（2）若以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为 ，且
为原点，求双曲线 的离心率.
解：因为以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为 ，
所以，所以 ，
在 中，由余弦定理可得
，
所以，则，所以 ，
即，所以，所以 ，
所以，所以双曲线 的离心率为2.
15.（多选题）已知，分别为双曲线 的
左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为
的内心，若 ，则下列结论正确的是 ( )
A.当轴时，
B.双曲线的离心率
C.
D.点的横坐标为定值
√
√
√
[解析] 当轴时，，此时 ，故A错误；
， ，整理得，又，，
故B正确；
设 的内切圆半径为，由双曲线的定义得， ，
，， ，
， ，
故，故C正确；
设 的内切圆与，，的切点分别为，，，则 ，
， ，
由 ，
，可得，
的坐标为 ，即的横坐标为定值，故D正确.故选 .
16.（15分）对于双曲线 ，定义
为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点分别为， .
（1）当时，记双曲线的焦距为，其伴随曲线 的焦距为
，若，求双曲线 的渐近线方程；
解：因为,，所以由 ，
可得 ，即，所以，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
（2）若双曲线，的弦轴，记直线与 的
交点为，求动点 的轨迹方程.
解：设,则， ，因为,，
所以直线的方程为 ，直线的方程为，
联立直线与直线 的方程可得,，代入，
可得 ，化为 ，
所以动点的轨迹方程为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 ,,,,,或，,或，,轴对称、中心对称,,,,,,,,
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）√ 2.（1）不能.（2）不相同
知识点二 实轴和虚轴等长的双曲线,, 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√
课中探究 例1.顶点坐标,焦点坐标,实轴长,虚轴长为,离心率,渐近线方程为.
变式.（1）C （2）
例2.（1）.（2）. 变式.（1）.（2）或.
例3.（1） （2） 变式.（1）A （2） 拓展.（1）C （2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.BD 7., 8.（答案不唯一）
9.（1）.（2）.（3）或.
10.C 11.AD 12. 13.
14.（1）.（2）2
15.BCD 16.（1）.（2）.3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
轴对称、中心对称 A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a) c2=a2+b2
e= ±=0 ±=0
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)由双曲线的标准方程知,双曲线的焦点在x轴上.
(2)双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)的渐近线方程为±=0,双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)的渐近线方程为±=0,不相同.
(3)双曲线的离心率决定双曲线的开口大小,离心率越大,开口越开阔.
2.解:(1)不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双曲线,且焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.
(2)不相同.双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞),椭圆的离心率的取值范围是(0,1).
知识点二
实轴和虚轴等长的双曲线 y=±x
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√
[解析] (1)∵a=b,∴c=a,∴e==.
(2)∵a=b,∴等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,与双曲线的方程无关.
(3)等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,易知这两条直线互相垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 解:双曲线方程可化为-=1,则双曲线的焦点在y轴上,a2=4,b2=9,∴c2=4+9=13,∴a=2,b=3,c=,
∴顶点坐标为(0,±2),焦点坐标为(0,±),实轴长为2a=4,虚轴长为2b=6,离心率e==,渐近线方程为y=±x,即y=±x.
变式 (1)C (2)y=±2x
[解析] (1)当91,故D错误.故选C.
(2)椭圆C:+=1中,设长半轴长为m,短半轴长为n,半焦距为c',则m2=9,n2=8,c'2=9-8=1,所以椭圆的离心率e1==,所以双曲线E的离心率e2==3,其中c为双曲线E的半焦距,所以====2,所以双曲线E的渐近线方程为y=±2x.
探究点二
例2 解:(1) 设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
由=,2a=6,得a=3,c=5,
所以b2=c2-a2=16,b=4,
所以双曲线的方程为-=1.
(2)方法一:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
若所求双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为=,所以b=a①.
因为点A(2,-3)在所求的双曲线上,所以-=1②.
联立①②所得的方程组无解.
若所求双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为=,所以a=b③.
因为点A(2,-3)在所求的双曲线上,所以-=1④.
联立③④得a2=,b2=4,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
方法二:设与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程为-=λ(λ≠0).
因为点A(2,-3)在所求的双曲线上,所以λ=-=-,
所以所求双曲线的方程为-=-,即标准方程为-=1.
变式 解:(1)设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),将(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,
所以双曲线方程为x2-y2=16,
即标准方程为-=1.
(2)根据渐近线方程设双曲线方程为-=λ(λ≠0).
当λ>0时,a2=4λ,∴2a=2=6,解得λ=;
当λ<0时,a2=-9λ,∴2a=2=6,解得λ=-1.
综上,双曲线的标准方程为-=1或-=1.
探究点三
例3 (1) (2)(2,+∞)
[解析] (1)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为渐近线与圆(x-3)2+y2=1相切,所以圆心(3,0)到直线y=±x的距离为半径1,即=1,即=+1,可得=.又c2=a2+b2,所以e2===+1=,可得e=.
(2)由题意可知,△OPF为等腰三角形,且|PO|=|PF|.设∠OPF的平分线与x轴交于点H,则点H为线段OF的中点,所以H.因为P为双曲线C右支上异于右顶点的点,所以>a,即e=>2,故双曲线C的离心率e的取值范围是(2,+∞).
变式 (1)A (2)+1 [解析] (1)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,∴=,即b=a,又c2=a2+b2=a2+a2=a2,∴e2==,∴e=.故选A.
(2)设右焦点为F2,连接PF2,OP,由题意知,△PF1Q为正三角形,且OQ⊥F1P,P,Q关于x轴对称,所以|OQ|=|OP|=|OF1|=c,且∠PF1O=30°,所以|PF1|=2c·cos 30°=c,|PO|=c,由余弦定理得|PF2|=
=c,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,即c-c=2a,所以e===+1.
拓展 (1)C (2)(,2) [解析] (1)由题知∠F1AB=∠F1BA,则∠F1AB,∠F1BA均为锐角,∵△ABF1是锐角三角形,∴∠AF1B为锐角,则∠AF1F2<45°,即<1.由题得|AF2|=,∴=<1,即c2-a2<2ac,即e2-2e-1<0,解得1-1,∴1(2)设C1的长半轴长为a1,C2的实半轴长为a2,焦距为2c,由题意可知将②和③平方相加得2(|PF1|2+|PF2|2)=4(+),将①代入可得2c2=+,即+=2.设x=,y=,∵e1∈(0,1),e2∈(1,+∞),∴x∈(1,+∞),y∈(0,1),且x2+y2=2,∴x∈(1,),令x=cos θ,y=sin θ,θ∈,∴+=x+y=cos θ+sin θ=2cos,θ-∈,故+∈(,2).3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
1.B [解析] 双曲线方程x2-8y2=32可化为-=1,可得a=4,b=2,所以该双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.故选B.
2.A [解析] 由双曲线-=1(a>0,b>0)可知其中一条渐近线的斜率为=2,所以该双曲线的离心率e===.故选A.
3.C [解析] 设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(2,1)的坐标代入等轴双曲线的方程可得λ=22-12=3,则该双曲线的方程为x2-y2=3.故选C.
4.D [解析] 当m>0时,-=m可化为-=1,∴ a=2,b=,c=,焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为,渐近线方程为y=±x;当m<0时,-=m可化为-=1,∴ a=,b=2,c=,焦点在y轴上,实轴长为2,离心率为,渐近线方程为y=±x.∴这些双曲线有相同的渐近线.故选D.
5.C [解析] 对于A,越大,双曲线开口越大,故A错误;对于B,越小,双曲线开口越小,故B错误;对于C,由e==知,e越大,则越大,双曲线开口越大,故C正确;对于D,e越小,则越小,双曲线开口越小,故D错误.故选C.
6.BD [解析] 由双曲线的方程得a=3,b=4,c==5,则F1(0,5),F2(0,-5).双曲线的离心率e==,A错误;双曲线的渐近线方程是y=±x,B正确;若PF1⊥PF2,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,则∴mn=32,∴=mn=16,C错误;设P(x,y),则-=1,即16y2-9x2=144,∵渐近线方程为3x±4y=0,∴点P到两条渐近线的距离的乘积为×==,D正确.故选BD.
7.(3,0) [解析] 由双曲线C的方程知,a=,b=,则c==3,所以双曲线C的右焦点的坐标为(3,0).双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=.
8.-=1(答案不唯一) [解析] 由①可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由②可得渐近线方程为y=±x,则-=-1,所以a=b,由③可得2c>2,所以c>1,可取a=b=,所以双曲线方程为-=1.
9.解:(1)因为所求双曲线与双曲线-=1有共同的渐近线,所以设所求双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0),
又因为所求双曲线经过点(,-1),所以-=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)由椭圆+=1可得其半焦距c==2,且椭圆的焦点在x轴上,故可设与之有公共焦点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),
依题意,a2+a2=4,可得a=,故双曲线C的方程为x2-y2=2.
(3)当双曲线C的焦点在x轴上时,
设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),
则解得
所以双曲线C的方程为-=1;
当双曲线C的焦点在y轴上时,设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),则解得
所以双曲线C的方程为-=1.
综上,双曲线C的方程是-=1或-=1.
10.C [解析] 根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立平面直角坐标系,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),因为冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,所以设双曲线上的点A(3,y1),B(4,y2),且y1-y2=8.由
两式相减得==,又双曲线的离心率为3,所以==e2-1=8,所以b2=8a2,代入可得=,得y2+y1=-7,所以y1=,将代入双曲线方程可得-=1,得a=,所以2a=,即冷却塔的最小直径为 cm,故选C.
11.AD [解析] 双曲线的渐近线方程为y=±x,设y=x的倾斜角为θ.若θ=,则两渐近线的夹角为,∴tan θ==,∴a=,又∵c==2,∴e===.若θ=,则两渐近线的夹角为,∴tan θ==,∴a=,又∵c==,∴e===2.故选AD.
12. [解析] 因为|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,所以不妨令|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5.因为|AB|2+|BF2|2=|AF2|2,所以∠ABF2=90°.又由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF1|+|AB|-|BF2|=5-|AF1|,所以|AF1|=3,所以|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a,所以a=1.在直角三角形BF1F2中,|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=52,又|F1F2|2=4c2,所以c=,所以双曲线的离心率e==.
13. [解析] 设P(x,y),则由|PB|≥b得≥b,整理得x2+y2-2by≥0(*).由-=1得x2=a2,代入不等式(*)中,化简得y2-2by+a2≥0恒成立,则Δ=4b2-≤0,即b4≤a2c2,即b2≤ac,即c2-a2≤ac,可得e2-e-1≤0,解得≤e≤,又e>1,所以114.解:(1)因为A(0,b),△AF1F2的面积为a2,
所以×2c×b=a2,即(a2+b2)b2=2a4,所以+=2,解得=1或=-2(舍去),
所以=1,所以双曲线C的渐近线方程是x±y=0.
(2)因为以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,
所以|F1O|=|OP|=c,所以|F1P|=|OP|=c,
在△POF1中,由余弦定理可得cos∠POF1===-,所以∠POF1=,则∠POF2=,所以=,
即b=a,所以3a2=b2=c2-a2,所以c2=4a2,所以e==2,所以双曲线C的离心率为2.
15.BCD [解析] 当PF2⊥x轴时,|PF2|==|F1F2|,此时tan∠PF1F2=,故A错误;∵|F1F2|=,∴2c==,整理得e2-e-1=0,又e>1,∴e=,故B正确;设△PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2cr=cr,∵=+λ,∴|PF1|·r=|PF2|·r+λcr,故λ====,故C正确;设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,则|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,∴T的坐标为(a,0),即I的横坐标为定值a,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)因为c1=,c2=,所以由c1=2c2,可得a2+b2=4(a2-b2),
即3a2=5b2,所以=,所以双曲线C1的渐近线方程为y=±x.
(2)设P(x0,y0),则Q(x0,-y0),x0≠±2,
因为A(-2,0),B(2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),直线QB的方程为y=(x-2),联立直线PA与直线QB的方程可得x0=,y0=,代入-=1,可得-=1,化为+=1,
所以动点M的轨迹方程为+=1(x≠±2).3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1.能类比椭圆几何性质的研究方法得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质及其代数表达.
2.能认识双曲线特征量的几何意义.
◆ 知识点一 双曲线的几何性质
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)双曲线-=1的焦点在y轴上. ( )
(2)双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)与双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)的渐近线方程相同. ( )
(3)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔. ( )
2.(1)双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗
(2)椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同
◆ 知识点二 等轴双曲线
叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等轴双曲线的离心率是. ( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ( )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )
◆ 探究点一 由双曲线方程研究其几何性质
例1 求双曲线4x2-9y2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
变式 (1)曲线+=1与曲线-=1(9A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.焦距相等 D.离心率相等
(2)[2025·榆林高二期中] 已知椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率互为倒数,则双曲线E的渐近线方程为 .
[素养小结]
由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤:
(1)把双曲线的方程化为标准形式;
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
◆ 探究点二 由双曲线的简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,离心率为,两顶点间的距离为6;
(2)与双曲线-=1有共同的渐近线,并且经过点A(2,-3).
变式 求下列双曲线的标准方程.
(1)过点(5,3)且为等轴双曲线;
(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x.
[素养小结]
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法,当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可,当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0).当双曲线的渐近线方程为y=±x时,可以将双曲线方程设为-=λ(λ≠0).
◆ 探究点三 双曲线的离心率问题
例3 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-3)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为 .
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,P为双曲线右支上异于右顶点的点,若∠OPF的平分线垂直于x轴,则双曲线C的离心率的取值范围是 .
变式 (1)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.2
(2)[2025·珠海实验中学等五校高二联考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,O为坐标原点,若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q,使得△PF1Q为正三角形,且OQ⊥F1P,则C的离心率为 .
[素养小结]
求双曲线的离心率时建立方程的一般方法:
(1)利用双曲线的几何性质得到关于a,b,c的等式;
(2)利用焦点三角形,借助图形特点得到关于a,b,c的等式;
(3)将已知条件采用代数法转化得到关于a,b,c的等式.
由a,b,c的等式运用解方程的方法得到离心率的值,解题时要注意离心率的取值范围.
拓展 (1)已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A.(+1,+∞) B.(1,)
C.(1,1+) D.(,+∞)
(2)已知F1,F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1⊥PF2,若C1和C2的离心率分别为e1,e2,则+的取值范围是 . 3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
1.已知双曲线的方程为x2-8y2=32,则该双曲线的 ( )
A.实轴长为4,虚轴长为2
B.实轴长为8,虚轴长为4
C.实轴长为2,虚轴长为4
D.实轴长为4,虚轴长为8
2.[2025·南通高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为2,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
3.[2025·武汉六中高二月考] 已知等轴双曲线过点(2,1),则该双曲线的方程为 ( )
A.x2-y2=1 B.x2-y2=5
C.x2-y2=3 D.y2-x2=3
4.已知双曲线C:-=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有 ( )
A.相同的焦点 B.相同的实轴长
C.相同的离心率 D.相同的渐近线
5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为e,则下列说法中正确的为 ( )
A.越大,双曲线开口越小
B.越小,双曲线开口越大
C.e越大,双曲线开口越大
D.e越小,双曲线开口越大
6.(多选题)已知双曲线-=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,则下列结论正确的是 ( )
A.双曲线的离心率为2
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为9
D.点P到两条渐近线的距离的乘积为
7.已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为 ,C的焦点到其渐近线的距离是 .
8.[2025·重庆巴蜀中学、育才中学高二联考] 写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为 .
①中心在原点,焦点在y轴上;②两条渐近线互相垂直;③焦距大于2.
9.(13分)求下列双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,并且经过点(,-1);
(2)等轴双曲线C与椭圆+=1有公共的焦点;
(3)双曲线C的渐近线方程为y=±x,两顶点间的距离为6.
10.如图所示的冷却塔的侧面是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该冷却塔的上口半径为3 cm,下口半径为4 cm,高为8 cm,则冷却塔的最小直径为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
11.(多选题)[2025·黄冈高二期中] 已知双曲线-=1(a>0)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率可能为 ( )
A. B. C. D.2
12.[2025·东莞五校高二月考] 已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与C的左、右两支分别交于A,B两点.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为 .
13.[2025·深圳中学高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是 .
14.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.
15.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2的内心,若=+λ,则下列结论正确的是 ( )
A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°
B.双曲线的离心率e=
C.λ=
D.点I的横坐标为定值a
16.(15分)对于双曲线C1:-=1(a>0,b>0),定义C2:+=1为其伴随曲线,记双曲线C1的左、右顶点分别为A,B.
(1)当a>b时,记双曲线C1的焦距为2c1,其伴随曲线C2的焦距为2c2,若c1=2c2,求双曲线C1的渐近线方程;
(2)若双曲线C1:-=1,C1的弦PQ⊥x轴,记直线PA与QB的交点为M,求动点M的轨迹方程.
