(共73张PPT)
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 直线与双曲线的综合应用
探究点一 直线与双曲线的位置关系
探究点二 弦长及中点弦问题
探究点三 与双曲线有关的综合问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.由直线与双曲线的方程,利用代数方法解决与直线和双曲线位
置关系有关的问题.
2.能初步运用双曲线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
知识点一 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线 ,
双曲线 ,
把①代入②得 .
（1）当,即时,直线与双曲线 的渐近线______,
直线与双曲线____________.
平行
相交于一点
（2）当,即 时,
.
判别式 位置关系 交点情况
直线与双曲线______ ____________
直线与双曲线______ ____________
直线与双曲线______ __________
相交
有两个交点
相切
有一个交点
相离
没有交点
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切.( )
×
[解析] 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，
但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个
公共点.
（2）直线与双曲线最多有两个公共点.( )
√
（3）直线与双曲线 有两个公共点.( )
√
知识点二 弦长公式
若斜率为的直线与双曲线相交于, 两点,则
____________________________
_ ___________________________.
探究点一 直线与双曲线的位置关系
例1 已知双曲线的方程为，直线过点，斜率为 .
当为何值时，直线 与双曲线有一个公共点，有两个公共点，无公
共点？
解：由题知直线，即 .
由 得 .
当，即时，方程（*）只有一个解，直线 与双曲
线只有一个公共点.
当时， .
若，即，则方程（*）只有一个解，直线 与双曲线只有一
个公共点；
若，即，则方程（*）有两个解，直线 与双曲线有两个公
共点；
若，即，则方程（*）无解，直线 与双曲线无公共点.
综上所述，当或时，直线 与双曲线只有一个公共点；
当，且时，直线 与双曲线有两个公共点；
当时，直线 与双曲线无公共点.
变式 已知双曲线，直线 .
（1）若直线与双曲线有交点，求 的取值范围；
解：将代入 中，整理可得
.
当，即时，解得 ，满足题意；
当时，则，解得 ，
且 .
综上所述，的取值范围为， .
变式 已知双曲线，直线 .
（2）若直线与双曲线有两个交点且都在右支上，求 的取值范围；
解：直线与双曲线有两个交点且都在右支上，则且，
且，解得，即 的取值范围为 .
（3）若直线与双曲线有两个交点且在两支上，求 的取值范围.
解：直线与双曲线有两个交点且在两支上，则 ，
解得，即的取值范围为 .
［素养小结］
直线与双曲线位置关系的判断方法：
1.代数法：把直线的方程与双曲线的方程联立，通过消元后化为
的形式.
（1）当时，考察方程的判别式.
①时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
②时，直线与双曲线只有一个公共点；
③时，直线与双曲线没有公共点.
（2）当 时，直线（不过双曲线的中心）与双曲线的渐近线平
行，直线与双曲线只有一个公共点.
2.几何法：求出渐近线的斜率，结合直线的斜率，作出图形，利用图
形判断直线与双曲线的位置关系.
注意，直线与双曲线有一个公共点包含两种情况：一是相切，二是
直线平行于渐近线.
探究点二 弦长及中点弦问题
例2 已知双曲线，直线与交于, 两点.
解：设， .由得 ，
，则， ，
故
.
（1）若的方程为，求 ；
例2 已知双曲线，直线与交于, 两点.
（2）若，且，求 的斜率.
解：由，得为线段的中点，
故 .
由两式相减可得 ，
故，得 ，
则直线的斜率为1，此时直线方程为，即 ，
由得 ，
则 ，所以直线 的斜率为1.
变式1 若直线与双曲线相交于,两点,且线段
的中点为,求直线 的方程.
解：设, ,则, ,两式相减,得
,则 ,
因为线段的中点为 ,所以,得 ,
则直线的方程为,即 .
变式2 已知过点的直线与双曲线 相交于不同的
两点，，为坐标原点，若的面积为,求直线 的方程.
解：由题意知，直线的斜率存在，故设直线的方程为 ，
由得，
设， ，则， 是上述方程的两个不等实根，
且，即且 ，
此时， ，
又 ，
即 ， ，
，即， ，
又，，，满足且 ，
直线的方程为或 .
［素养小结］
双曲线的弦长公式：
（1）设直线与双曲线交于点，，
则或
.
（2）在方程中，设判别式为 ，当
时，设方程的两根分别为，，则.
拓展 ［2025·河北沧衡名校联盟高二期中］已知双曲线 .
（1）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于 ，
两点，求 ；
解：根据题意可得，则 ，
则直线的方程为 .
设, ，由得 ，
，则, ，
所以 .
拓展 ［2025·河北沧衡名校联盟高二期中］已知双曲线 .
（2）若，是双曲线上不同的两点，且直线 的斜率为2，线
段的中点为，证明：点在直线 上.
证明：设, ，则 两式相减得
，
设，则 所以 ，
即，所以 ，即 ，
所以点在直线 上.
探究点三 与双曲线有关的综合问题
例3 已知平面内两个定点，，过动点作直线 的垂
线，垂足为，且 .
（1）求动点的轨迹 的方程；
解：设点的坐标为，则，可得 ，
， ，
因为，所以，即 ，
所以动点的轨迹的方程为 .
例3 已知平面内两个定点，，过动点作直线 的垂
线，垂足为，且 .
（2）若直线与交于,两点，且 ，
，求实数 的值.
解：由消去整理得 ，
因为直线与交于, 两点，所以
解得且 .
设，，则， ，
由, ，
且，可得 ，
因为, ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，化简得
,即，解得或 ，
又因为且，所以 .
变式 已知双曲线的方程为 ，离心率为2，
右顶点为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
解：因为离心率,,所以 ，
又右顶点为 ，所以，所以 ，
故双曲线的标准方程为 .
变式 已知双曲线的方程为 ，离心率为2，
右顶点为 .
（2）过的直线与双曲线的一支交于，两点，求 的
取值范围.
解：由题意设直线的方程为，, ，
由得 ，因为直线与双曲线的一支
交于， 两点，所以解得 ，
则， ，
因此 .
因为，所以 ，
所以，所以 ，
故的取值范围为 .
［素养小结］
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及
参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数
为零的情况. 另外，设而不求、消参也是常用的方法，在解题时，应
有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
1.特殊的弦—双曲线的通径
过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通
径．对于双曲线，将 代入双曲线的方
程可得，所以直线 与双曲线的两个交
点为，，计算得通径长为 .同理，可求得双曲线
的通径长也是 .
注意：若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是 ；若
焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是 .
2.直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
3.涉及直线与双曲线相交弦的问题主要有:相交弦的长（可用弦长公
式 求解）;弦所在直线的方程（如中点弦、
相交弦等）；弦的中点的轨迹等.
4.根与系数的关系的运用
二次曲线和二次方程有密切关系,在解决二次曲线问题时要充分重视
一元二次方程根与系数的关系的运用.
1.直线与双曲线位置关系的判断方法:一般联立方程结合一元二次方
程根的情况解决,有时候利用直线与渐近线的位置关系直观判断.
例1 判断直线与双曲线 的位置关系.
解：由可得 ，
当，即时，方程或 有一解，
此时直线与双曲线相交且只有一个公共点；
当即 时，直线与双曲线相
切，只有一个公共点；
当即且 时，
直线与双曲线相交，有两个公共点；
当即或 时，直线与
双曲线没有公共点.
2.直线与双曲线交点个数的问题一般利用代数方法或几何方法求解.
例2 直线与双曲线 的交点情况是( )
A.恒有一个交点 B.存在 有两个交点
C.至多有一个交点 D.存在 有三个交点
[解析] 将代入得 ，
当时，方程无解；
当时， ，所以至多有一个交点．故选C.
√
3.求解直线被双曲线所截弦长问题时,要先说明直线与双曲线相交,再
利用代数方法求出弦长.
解：因为直线经过双曲线在 轴上的右焦点，所以该双曲线的焦点
在轴上.
因为双曲线的两焦点之间的距离为4，所以, .
又因为离心率为2，所以，解得，可得 ，
故双曲线的标准方程为 .
例3 ［2025·盐城高二期中］已知中心在原点的双曲线 的两焦点之
间的距离为4，离心率为2，直线经过双曲线在 轴上的右焦点，且
与双曲线相交于, 两点.
（1）求双曲线 的标准方程；
例3 ［2025·盐城高二期中］已知中心在原点的双曲线 的两焦点之
间的距离为4，离心率为2，直线经过双曲线在 轴上的右焦点，且
与双曲线相交于, 两点.
（2）若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段 的长度.
解：由（1）可知，该双曲线的渐近线方程为，所以直线 的斜率为.
不妨设直线的斜率为，则其方程为 ，设, ，
由消去得 ，则, ，
故 .
练习册
1.若直线平行于双曲线的一条渐近线，则 与双曲线的公共点的个数
为( )
A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2
[解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点，所以若直线 平行于双曲线
的一条渐近线，则 与双曲线的公共点的个数为1，故选B.
√
2.过双曲线的焦点且与 轴垂直的弦长为( )
A. B. C. D.
[解析] ，将代入，可得 ，
则过双曲线的焦点且与轴垂直的弦长为 .
√
3.直线被双曲线 所截得的弦的中点坐标是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线与双曲线 的交点的坐标为
，，将代入 ，得，
所以， ，
故所得弦的中点的横坐标为，纵坐标为 ，
所以所得弦的中点坐标是 .故选C.
√
4.若直线与双曲线 的左、右两支各有一个交点,
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当直线与双曲线的渐近线 平行
时, ,此时直线与双曲线的其中一支有一个交点.
若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,
则 的取值范围为 ,故选D.
√
5.已知双曲线，过点的直线与双曲线 交于
，两点，若为线段的中点，则 等于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，直线的斜率必存在，
设直线 ，与双曲线方程联立，
得，则 ，
且，所以且.
设， ，则，
所以，解得 ，则， ，
所以 .
故选D.
6.已知直线与双曲线 无公共
点，则 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 双曲线 的一条渐近线的方程为
，因为直线与无公共点，所以 ，
即，所以，
又，所以 的离心率的取值范围为 .故选D.
√
7.已知双曲线的右焦点为 ，过点
的直线交双曲线于，两点.若的中点坐标为，则 的
方程为_ __________.
[解析] 设,，则 两式相减得
，即，化简得 ，
又,，所以,，
所以双曲线 的方程为 .
8.已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于 ，
两点，若，则满足条件的 的条数为___.
3
[解析] ，，，.
若， 都在右支上，则当垂直于轴时，将代入
得 ，则，满足题意；
若，分别在两支上，， 两顶点间的距离为，
满足的直线有2条，且关于 轴对称.
综上，满足条件的 的条数为3.
9.（13分）已知双曲线的中心在原点，过点 ，且与双曲线
有相同的渐近线．
（1）求双曲线 的标准方程；
解：因为双曲线与双曲线 有相同的渐近线，所以可设其
方程为，将点的坐标代入得 ，则双曲线
的标准方程为 .
9.（13分）已知双曲线的中心在原点，过点 ，且与双曲线
有相同的渐近线．
（2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为 ，
求直线 的方程．
解：设，，
因为的中点为 ，所以， .
由 两式相减得 ，
即，则 ，
所以 ，
所以直线的方程为，即 .
当直线的方程为时，由消去 整理
得， ，符合题意，
故直线的方程为 .
10.已知点为双曲线的右焦点，过 作
直线与双曲线相交于，两点，若满足的直线 有且仅有
2条，则双曲线 的方程可以是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，由，可得，，当垂直于 轴
时，弦长，由 ，可得与双曲线的交点在左、
右支上的直线有1条，交点均在右支上的直线 有2条，满足条件的直
线共有3条，故A错误.
对于B，由，可得， ，当垂直于轴时，
弦长，由 ，可得与双曲线的交点在左、右支上
的直线有1条，交点均在右支上的直线 有0条，满足条件的直线共
有1条，故B错误.
对于C，由
，可得与双曲线的交点在左、右支上的直线 有1条，交点均
在右支上的直线有1条，满足条件的直线 共有2条，故D正确.故选D.
11.（多选题）已知焦点在 轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲
线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线 与
双曲线交于,两点，点关于轴的对称点为 ，则下列说法正确的
是( )
A.双曲线的标准方程为
B.若直线的斜率为2，则
C.若点,,依次从左到右排列，则存在直线使得为线段 的中点
D.直线过定点
√
√
√
[解析] 设等轴双曲线的标准方程为，由双曲线
的实轴长为，可得，所以双曲线 的标准方程为，
故A选项正确.
设,两点的坐标分别为, ，由上知，则直线的方程
为,由 消去整理得，
所以 ，, ，
所以，故B选项正确；
由点, ,依次从左到右排列知,，
所以 ，故不存在直线使得为线段的中点，
故C选项错误；
设直线 的方程为，由消去 整理得
，所以 ，
,，由题知，点的坐标为 ，，
所以直线，
假设直线过定点，则 ，即 ，
而 恒成立，所以假设成立，
即直线过定点，故D选项正确.故选 .
12.若等轴双曲线的左顶点、右顶点 分别为椭圆
的左、右焦点，点是双曲线上异于， 的点，
直线，的斜率分别为，，则 ___.
1
[解析] 由题意知，椭圆 的左、右焦点分别为
，，所以以，分别为左、右顶点的等轴双曲线 的
方程为.
设双曲线上异于，的点的坐标为 ，则直线，的斜率
分别为， ，所以 .
13.［2025·苏州六校高二联考］已知双曲线
的左、右焦点分别为,，点 在双曲线
上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段 交于
点，且，则 的值为__.
[解析] 设双曲线的半焦距为，故, .
由，得，即直线与双曲线交于点 ，
不妨设点在第一象限.
由得点 ，由，，
得，代入得 ，即.
不妨设,，则 ，故，
则，故 .
14.（15分）已知双曲线的离心率为 ，
实轴长为2.
（1）求双曲线 的标准方程.
解：因为, ，
所以，，所以 ，
故所求双曲线方程为 .
14.（15分）已知双曲线的离心率为 ，
实轴长为2.
（2）设直线与双曲线交于，两点，是否存在 满足
（其中为坐标原点）？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由.
解：设, ，
由消去可得 ，
所以，解得 ，
则， ，
所以 ，
所以，解得 ，此时不
满足，故不存在，使得 成立.
15.（多选题）［2025·徐州高二期中］ 已知曲线 ，
点， ，则下列结论正确的是( )
A.曲线关于点 对称
B.曲线上存在点，使
C.直线与曲线 无公共点
D.点为曲线在第二象限内的点，过点向直线 ，
作垂线，垂足分别为，，则为定值
√
√
√
[解析] 当,时，曲线 表示
焦点在轴上的椭圆在第一象限内的部分.
当 ,时，曲线表示焦点在 轴
上的双曲线在第四象限内的部分，其渐近线方程为
，焦点为，.
当 ,时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线在
第二象限内的部分，其渐近线方程为.
当 , 时，曲线不表示任何图形.
作出曲线 如图所示.
对于A，因为 ，
所以点不在曲线上，所以曲线 不关于点
对称，故A错误；
对于B，当点 在第四象限时， ，故B正确；
对于C，由上可知直线与曲线 无公共点，故C正确；
对于D，设，则 ，则
，故D正确.故选 .
16.（15分）已知双曲线，，斜率为的直线 过
点 .
（1）若，且直线与双曲线只有一个交点，求 的值;
解：由已知得直线的方程为.由消去 得
，
要使直线与双曲线 只有一个交点，则方程（*）只有一个解.
①当，即 时，满足题意;
②当，即时， ，
解得 .综上所述，或 .
16.（15分）已知双曲线，，斜率为的直线 过
点 .（2）已知点，直线与双曲线有两个不同的交点， ，直线
，的斜率分别为，，若为定值，求实数 的值.
解：设，，由题知直线的方程为 ，
即 .由消去 得
，
所以,， .
所以，
，
从而 ，
要使 为定值，则解得
快速核答案（导学案）
课前预习 知识导学 知识点一 （1）平行,相交于一点 （2）相交,有两个交点,相切,有一个交点,相离,没有交点 【诊断分析】（1）×（2）√（3）√
知识点二 ,
课中探究 例1.当或时，直线与双曲线只有一个公共点；当，且时，直线与双曲线有两个公共点；当时，直线与双曲线无公共点.
变式.（1），.（2）.（3）.
例2.（1）.（2）1.变式1..变式2.或.
拓展.（1）.（2）证明略
例3.（1）.（2）. 变式.（1）.（2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D 6.D 7. 8.3
9.（1）. （2）
10.D 11.ABD 12.1 13.
14.（1）.（2）不存在
15.BCD 16.（1）或.（2）第2课时 直线与双曲线的综合应用
【课前预习】
知识点一
(1)平行 相交于一点
(2)相交 有两个交点 相切
有一个交点 相离 没有交点
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个公共点.
知识点二
【课中探究】
探究点一
例1 解:由题知直线l:y-1=k(x-1),即y=kx+(1-k).
由得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0(*).
当k2-2=0,即k=±时,方程(*)只有一个解,直线l与双曲线只有一个公共点.
当k2-2≠0时,Δ=24-16k.
若Δ=0,即k=,则方程(*)只有一个解,直线l与双曲线只有一个公共点;
若Δ>0,即k<,则方程(*)有两个解,直线l与双曲线有两个公共点;
若Δ<0,即k>,则方程(*)无解,直线l与双曲线无公共点.
综上所述,当k=±或k=时,直线l与双曲线只有一个公共点;
当k<,且k≠±时,直线l与双曲线有两个公共点;
当k>时,直线l与双曲线无公共点.
变式 解:(1)将y=kx-1代入x2-y2=1中,整理可得(1-k2)x2+2kx-2=0.
当1-k2=0,即k=±1时,解得x=±1,满足题意;
当1-k2≠0时,则Δ=4k2+8(1-k2)≥0,解得-≤k≤,且k≠±1.
综上所述,k的取值范围为[-,].
(2)直线与双曲线有两个交点且都在右支上,
则Δ>0且>0,且>0,解得1(3)直线与双曲线有两个交点且在两支上,则<0,解得-1探究点二
例2 解:设M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)由得2x2+6x-15=0,Δ=62-4×2×(-15)=156>0,
则x1+x2=-3,x1x2=-,
故|MN|=|x1-x2|==×=.
(2)由=,得P(1,3)为线段MN的中点,故x1+x2=2,y1+y2=6.
由两式相减可得-=0,
故==3,得=1,
则直线l的斜率为1,此时直线方程为y-3=x-1,即y=x+2,
由得x2-2x-5=0,
则Δ=(-2)2-4×(-5)=24>0,
所以直线l的斜率为1.
变式1 解:设M(x1,y1),N(x2,y2),
则-=1,-=1,两式相减,得-(y1+y2)(y1-y2)=0,
则=,
因为线段MN的中点为P(4,3),
所以·kMN=,得kMN=,
则直线l的方程为y-3=(x-4),即x-3y+5=0.
变式2 解:由题意知,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx+2,
由得 (1-k2)x2-4kx-6=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个不等实根,
∴1-k2≠0且Δ=16k2+24(1-k2)>0,即k2<3且k2≠1,此时x1+x2=,x1·x2=-,
又S△OEF=|OQ|·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=2,
即(x1+x2)2-4x1x2=8,
∴+=8,
∴3-k2=(k2-1)2,即k4-k2-2=0,∴(k2+1)(k2-2)=0,
又k2+1>0,∴k2-2=0,∴k=±,满足k2<3且k2≠1,
∴直线l的方程为y=x+2或y=-x+2.
拓展 解:(1)根据题意可得c2=3+1=4,则F(2,0),
则直线l的方程为y=x-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得2x2-12x+15=0,
Δ=122-4×2×15=24>0,则x1+x2=6,x1x2=,
所以|AB|=×=2.
(2)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),
则两式相减得(x3-x4)(x3+x4)-3(y3-y4)(y3+y4)=0,
设P(x0,y0),则所以2x0(x3-x4)-3×2y0(y3-y4)=0,
即x0-3×y0×=0,所以x0-3×y0×2=0,即x0-6y0=0,
所以点P在直线x-6y=0上.
探究点三
例3 解:(1)设点M的坐标为(x,y),则N(x,0),可得=(0,-y),=(x+2,0),=(x-2,0),
因为||2=·,所以y2=x2-4,即x2-y2=4,
所以动点M的轨迹E的方程为x2-y2=4.
(2)由消去y整理得(1-k2)x2-2kx-6=0,
因为直线l与E交于P,Q两点,
所以解得k2<且k2≠1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
由=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
且·=0,可得x1x2-2(x1+x2)+8+y1y2=0,
因为y1=kx1+,y2=kx2+,
所以x1x2-2(x1+x2)+8+(kx1+)(kx2+)=0,
所以(k2+1)x1x2+(k-2)(x1+x2)+10=0,
所以(k2+1)+(k-2)+10=0,化简得3k2+2k-1=0,即(3k-1)(k+1)=0,解得k=或k=-1,
又因为k2<且k2≠1,所以k=.
变式 解:(1)因为离心率e==2,c2=a2+b2,所以b2=3a2,
又右顶点为(1,0),
所以a2=1,所以b2=3,
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)由题意设直线l的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),
由得(3-k2)x2-4kx-7=0,
因为直线l与双曲线的一支交于M,N两点,
所以解得3则x1+x2=,x1x2=,因此·=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)·(y2-2)=x1x2+k2x1x2=(k2+1)x1x2=7·=7.
因为3所以>1,所以·=7>14,
故·的取值范围为(14,+∞).第2课时 直线与双曲线的综合应用
1.B [解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点,所以若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为1,故选B.
2.A [解析] c==,将x=代入-=1,可得y2=,则过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的弦长为2=.
3.C [解析] 设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3的交点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,所以x1+x2=-2,y1+y2=(x1+x2)-2=-4,故所得弦的中点的横坐标为=-1,纵坐标为=-2,所以所得弦的中点坐标是(-1,-2).故选C.
4.D [解析] 当直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的其中一支有一个交点.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则k的取值范围为(-1,1),故选D.
5.D [解析] 由题意知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,则2-k2≠0,且Δ=4(12-8k)>0,所以k<且k≠±.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-=2xP,所以-=2,解得k=1,则x1+x2=2,x1x2=-3,所以|MN|=·=×=4.故选D.
6.D [解析] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=-x,因为直线l:2x+3y=0与C无公共点,所以-≥-,即≤,所以e==≤,又e>1,所以C的离心率的取值范围为.故选D.
7.-=1 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得=·,即=·,化简得3b2=2a2,又c=5,c2=a2+b2,所以a2=15,b2=10,所以双曲线E的方程为-=1.
8.3 [解析] ∵a2=4,b2=5,∴c2=9,F(3,0).若A,B都在右支上,则当AB垂直于x轴时,将x=3代入-=1得y=±,则|AB|=5,满足题意;若A,B分别在两支上,∵a=2,∴两顶点间的距离为2+2=4<5,∴满足|AB|=5的直线有2条,且关于x轴对称.综上,满足条件的l的条数为3.
9.解:(1)因为双曲线 C 与双曲线 x2-=1有相同的渐近线,所以可设其方程为x2-=λ(λ≠0),将点(2,0)的坐标代入得λ=4,则双曲线C的标准方程为-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点为 M(3,3),所以x1+x2=6,y1+y2=6.
由两式相减得 (y1+y2)(y1-y2)=(x1+x2)(x1-x2),
即×6×(y1-y2)=×6×(x1-x2),则(y1-y2)=(x1-x2),所以=2,
所以直线AB的方程为y-3=2(x-3),即2x-y-3=0.
当直线AB的方程为2x-y-3=0时,由消去y整理得2x2-12x+17=0,Δ=(-12)2-4×2×17>0,符合题意,故直线AB的方程为 2x-y-3=0.
10.D [解析] 对于A,由x2-=1,可得a=1,b=,当AB垂直于x轴时,弦长|AB|==<2,由2a=2,可得与双曲线的交点在左、右支上的直线l有1条,交点均在右支上的直线l有2条,满足条件的直线l共有3条,故A错误.对于B,由x2-=1,可得a=1,b=,当AB垂直于x轴时,弦长|AB|==4>2,由2a=2,可得与双曲线的交点在左、右支上的直线l有1条,交点均在右支上的直线l有0条,满足条件的直线l共有1条,故B错误.对于C,由-=1,可得a=b=,当AB垂直于x轴时,弦长|AB|==<2,由2a=<2,可得与双曲线的交点在左、右支上的直线l有2条,交点均在右支上的直线l有2条,满足条件的直线l共有4条,故C错误.对于D,a=b=1,当AB垂直于x轴时,弦长|AB|==2,由2a=2,可得与双曲线的交点在左、右支上的直线l有1条,交点均在右支上的直线l有1条,满足条件的直线l共有2条,故D正确.故选D.
11.ABD [解析] 设等轴双曲线C的标准方程为-=1(t>0),由双曲线C的实轴长为2,可得t=,所以双曲线C的标准方程为-=1,故A选项正确.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由上知F(2,0),则直线l的方程为y=2(x-2),由消去y整理得3x2-16x+18=0,所以Δ=162-4×3×18=40>0,x1+x2=,x1x2=6,所以|AB|==,故B选项正确;由点B,A,F依次从左到右排列知x1>,x2<-,所以<1-<,故不存在直线l使得A为线段BF的中点,故C选项错误;设直线l的方程为x=my+2,由消去x整理得(m2-1)y2+4my+2=0,所以Δ1=16m2-8(m2-1)>0,y1+y2=-,y1y2=,由题知,点D的坐标为(x2,-y2),P(1,0),所以直线AP的斜率为=,直线DP的斜率为=,假设直线AD过定点P,则=,即2my1y2+y1+y2=0,而2my1y2+y1+y2=2m·+=0恒成立,所以假设成立,即直线AD过定点P(1,0),故D选项正确.故选ABD.
12.1 [解析] 由题意知,椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y),则直线PA,PB的斜率分别为k1=,k2=,所以k1k2=×==1.
13. [解析] 设双曲线C的半焦距为c,故F1(-c,0),F2(c,0).由·=0,得⊥,即直线x=c与双曲线C交于点P,不妨设点P在第一象限.由得点P,由=,=4,得Q,代入y=x得=,即3b=2c.不妨设b=2k(k>0),c=3k,则a=k,故|PF2|==k,则|PF1|=|PF2|+2a=k,故=.
14.解:(1)因为2a=2,e==,
所以a=1,c=,所以b2=c2-a2=2-1=1,
故所求双曲线方程为x2-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y可得(1-k2)x2-2kx-2=0,
所以Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2>0,解得-所以y1·y2=(kx1+1)·(kx2+1)=k2x1·x2+k(x1+x2)+1=++1=1,
所以·=x1x2+y1y2=+1=2,解得k=±,此时不满足-15.BCD [解析] 当x≥0,y≥0时,曲线C:x2+=1表示焦点在y轴上的椭圆在第一象限内的部分.当x≥0,y<0时,曲线C:x2-=1表示焦点在x轴上的双曲线在第四象限内的部分,其渐近线方程为y=-x,焦点为F1(-,0),F2(,0).当x<0,y≥0时,曲线C:-x2=1表示焦点在y轴上的双曲线在第二象限内的部分,其渐近线方程为y=-x.当x<0,y<0时,曲线C:-2x2-y2=2不表示任何图形.作出曲线C如图所示.对于A,因为-2x|-x|-y|-y|=-2x|x|-y|y|=-2,所以点(-x,-y)不在曲线C上,所以曲线C不关于点(0,0)对称,故A错误;对于B,当点P在第四象限时,|PF1|-|PF2|=2,故B正确;对于C,由上可知直线y=-x与曲线C无公共点,故C正确;对于D,设Q(m,n),则-2m2+n2=2,则|QA|·|QB|=·==,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)由已知得直线l的方程为y=kx+2.由消去y得(1-4k2)x2-16kx-20=0(*),
要使直线l与双曲线C只有一个交点,则方程(*)只有一个解.
①当1-4k2=0,即k=±时,满足题意;
②当1-4k2≠0,即k≠±时,Δ=(-16k)2+80(1-4k2)=0,解得k=±.
综上所述,k=±或±.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线l的方程为y-2=k(x-m),即y=kx+2-mk.
由消去y得(1-4k2)x2+8k(mk-2)x-4(m2k2-4mk+5)=0,
所以Δ>0,x1+x2=,x1x2=.
所以y1+y2=k(x1+x2)+4-2mk=+4-2mk=,y1x2+y2x1=2kx1x2+(2-mk)(x1+x2)=
+=
,从而k1+k2=+==
=
,
要使k1+k2为定值,
则解得m=2.第2课时 直线与双曲线的综合应用
【学习目标】
1.由直线与双曲线的方程,利用代数方法解决与直线和双曲线位置关系有关的问题.
2.能初步运用双曲线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
◆ 知识点一 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0)①,
双曲线C:-=1(a>0,b>0)②,
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线l与双曲线C的渐近线 ,直线与双曲线 .
(2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
判别式 位置关系 交点情况
Δ>0 直线与双曲线
Δ=0 直线与双曲线
Δ<0 直线与双曲线
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与双曲线交于一点,则直线与双曲线相切. ( )
(2)直线与双曲线最多有两个公共点. ( )
(3)直线l:y=x与双曲线C:x2-=1有两个公共点. ( )
◆ 知识点二 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=
= .
◆ 探究点一 直线与双曲线的位置关系
例1 已知双曲线的方程为x2-=1,直线l过点P(1,1),斜率为k.当k为何值时,直线l与双曲线有一个公共点,有两个公共点,无公共点
变式 已知双曲线x2-y2=1,直线y=kx-1.
(1)若直线与双曲线有交点,求k的取值范围;
(2)若直线与双曲线有两个交点且都在右支上,求k的取值范围;
(3)若直线与双曲线有两个交点且在两支上,求k的取值范围.
[素养小结]
直线与双曲线位置关系的判断方法:
1.代数法:把直线的方程与双曲线的方程联立,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式.
(1)当a≠0时,考察方程的判别式.
①Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点;
②Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;
③Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
(2)当a=0时,直线(不过双曲线的中心)与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点.
2.几何法:求出渐近线的斜率,结合直线的斜率,作出图形,利用图形判断直线与双曲线的位置关系.
注意,直线与双曲线有一个公共点包含两种情况:一是相切,二是直线平行于渐近线.
◆ 探究点二 弦长及中点弦问题
例2 已知双曲线C:-=1,直线l与C交于M,N两点.
(1)若l的方程为x-y-3=0,求|MN|;
(2)若=,且P(1,3),求l的斜率.
变式1 若直线l与双曲线C:-y2=1相交于M,N两点,且线段MN的中点为P(4,3),求直线l的方程.
变式2 已知过点Q(0,2)的直线l与双曲线C:-=1相交于不同的两点E,F,O为坐标原点,若△OEF的面积为2,求直线l的方程.
[素养小结]
双曲线的弦长公式:
(1)设直线y=kx+b(k≠0)与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·或|AB|=|y1-y2|=·.
(2)在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设判别式为Δ,当Δ>0时,设方程的两根分别为x1,x2,则|x1-x2|=.
拓展 [2025·河北沧衡名校联盟高二期中] 已知双曲线C:-y2=1.
(1)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l,l与双曲线C交于A,B两点,求|AB|;
(2)若M,N是双曲线C上不同的两点,且直线MN的斜率为2,线段MN的中点为P,证明:点P在直线x-6y=0上.
◆ 探究点三 与双曲线有关的综合问题
例3 已知平面内两个定点A(-2,0),B(2,0),过动点M作直线AB的垂线,垂足为N,且||2=·.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)若直线l:y=kx+与E交于P,Q两点,且F(2,0),·=0,求实数k的值.
变式 已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率为2,右顶点为(1,0).
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过E(0,2)的直线l与双曲线C的一支交于M,N两点,求·的取值范围.
[素养小结]
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上,直线与双曲线方程联立后,要注意二次项系数为零的情况. 另外,设而不求、消参也是常用的方法,在解题时,应有意识地运用这些方法,达到熟练掌握的程度.第2课时 直线与双曲线的综合应用
1.若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为 ( )
A.0或1 B.1
C.0或2 D.1或2
2.过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的弦长为 ( )
A. B.
C. D.
3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(2,1)
4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(-,-1) B.(1,)
C.(-,) D.(-1,1)
5.已知双曲线C:2x2-y2=2,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则|MN|等于 ( )
A. B. C.4 D.4
6.已知直线l:2x+3y=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)无公共点,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0),过点F的直线交双曲线E于A,B两点.若AB的中点坐标为(6,-2),则E的方程为 .
8.已知双曲线C:-=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,若|AB|=5,则满足条件的l的条数为 .
9.(13分)已知双曲线C的中心在原点,过点(2,0),且与双曲线x2-=1有相同的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知A,B是双曲线C上的两点,且线段AB的中点为M(3,3),求直线AB的方程.
10.已知点F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作直线l与双曲线C相交于A,B两点,若满足|AB|=2的直线l有且仅有2条,则双曲线C的方程可以是 ( )
A.x2-4y2=1 B.x2-=1
C.2x2-2y2=1 D.x2-y2=1
11.(多选题)已知焦点在x轴上,对称中心为坐标原点的等轴双曲线C的实轴长为2,过双曲线C的右焦点F且斜率不为零的直线l与双曲线交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为D,则下列说法正确的是 ( )
A.双曲线C的标准方程为-=1
B.若直线l的斜率为2,则|AB|=
C.若点B,A,F依次从左到右排列,则存在直线l使得A为线段BF的中点
D.直线AD过定点P(1,0)
12.若等轴双曲线C的左顶点A、右顶点B分别为椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2= .
13.[2025·苏州六校高二联考] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,且满足·=0,倾斜角为锐角的渐近线与线段PF1交于点Q,且=4,则的值为 .
14.(15分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A,B两点,是否存在k满足·=2(其中O为坐标原点) 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
15.(多选题)[2025·徐州高二期中] 已知曲线C:2x|x|+y|y|=2,点F1(-,0),F2(,0),则下列结论正确的是 ( )
A.曲线C关于点(0,0)对称
B.曲线C上存在点P,使|PF1|-|PF2|=2
C.直线y=-x与曲线C无公共点
D.点Q为曲线C在第二象限内的点,过点Q向直线y=x,y=-x作垂线,垂足分别为A,B,则|QA|·|QB|为定值
16.(15分)已知双曲线C:-y2=1,M(m,2),斜率为k的直线l过点M.
(1)若m=0,且直线l与双曲线C只有一个交点,求k的值;
(2)已知点T(2,0),直线l与双曲线C有两个不同的交点A,B,直线TA,TB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2为定值,求实数m的值.
