(共66张PPT)
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
探究点一 抛物线的定义及应用
探究点二 求抛物线的标准方程
探究点三 抛物线的实际应用问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会识别抛物线的定义和相关概念，知道二次函数的图象符合抛
物线的定义，能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.
2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系，根据抛
物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程，能说出
标准方程中一次项系数的意义.
4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离______的点
的轨迹叫作抛物线.点叫作抛物线的______,直线 叫作抛物线的
_______.
相等
焦点
准线
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( )
√
（2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( )
√
（3）抛物线的焦点可以在准线上.( )
×
[解析] 抛物线的焦点不可能在准线上.
（4）平面内与定点和一条定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线.
( )
×
[解析] 只有当点不在直线 上时，满足条件的点的轨迹才是抛物线.
知识点二 抛物线的标准方程
标准方程
图形 __________________________ __________________________ ___________________________________ __________________________________
焦点坐标 _ ______ ________ ______ ________
准线方程 ________ ______ ________ _ _____
的几何意义 焦点到准线的距离
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线的方程都是二次函数.( )
×
[解析] 抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标准方
程为,对任意一个, 的值不唯一,所以不是二
次函数.
（2）抛物线的原点到准线的距离是 .( )
×
[解析] 原点到准线的距离是 .
（3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )
√
[解析] 若一次项是含 的项,则当一次项系数大于0时，抛物线的开口
向右,当一次项系数小于0时，抛物线的开口向左;若一次项是含 的项,
则当一次项系数大于0时，抛物线的开口向上,当一次项系数小于0时，
抛物线的开口向下.
（4）方程 是抛物线的标准方程.( )
×
[解析] 方程 表示的抛物线的标准方程是
.
探究点一 抛物线的定义及应用
例1（1）一动圆过点且与直线： 相切，则该动圆圆心
的轨迹为( )
A.抛物线 B.椭圆 C.直线 D.圆
[解析] 设动圆圆心的坐标为，则圆心到点 的距离与到直线
的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物
线.故选A.
√
（2）抛物线上的点到焦点的距离是10,则点 的坐标为
______________.
或
[解析] 设点,易知抛物线的焦点坐标为 ,准线方
程为,由抛物线的定义得, ,代入抛物线的
方程,得，故点的坐标为或 .
变式（1）已知抛物线的焦点为，是 上一点，
，则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
[解析] 由题意知，抛物线的准线方程为.因为 ，所
以根据抛物线的定义可得，解得 .故选A.
√
（2）平面上动点到定点的距离比到直线 的距离大2，
则动点 满足的方程为__________.
[解析] 动点到定点的距离比到直线 的距离大2，
动点到定点的距离等于到直线的距离，
点 的轨迹为抛物线.
设抛物线方程为，则，即 ，
所以 动点的轨迹方程为 .
［素养小结］
利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:
（1）点的轨迹问题：利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找
到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上
的条件.
（2）抛物线的焦半径问题：利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦
点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大（小）
值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三
角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
拓展 设点是抛物线 上的一个动点.
（1）求点到的距离与点到直线 的距离之和的最小值；
解：易知抛物线的焦点为，准线方程为 ，由抛物线的
定义知点到直线的距离等于点到焦点 的距离,
所以问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点
到 的距离之和最小.
连接，易知当点为与抛物线的交点且在，之间时，点
到的距离与点到直线 的距离之和最小，最小值为
.
（2）若，求 的最小值.
解：如图，过点作垂直准线于点，
过点 作垂直准线于点 ，
此时， ，由图可知，
,
故 的最小值为4.
探究点二 求抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）焦点到准线的距离是4；
解：由题意可知，故抛物线的标准方程为或
或或 .
（2）焦点在轴上，且经过点 ；
解：设抛物线的标准方程为，将点 的坐
标代入，得,所以，所以抛物线的标准方程为 .
（3）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点.
解：双曲线的标准方程为，其左顶点的坐标为 ，
设抛物线的标准方程为，则 ,
所以，所以抛物线的标准方程为 .
变式（1）焦点在直线 上的抛物线的标准方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] 直线与坐标轴的交点为和 ，所以
抛物线的焦点为或.当焦点为 时，抛物线的标准方程为
；当焦点为时，抛物线的标准方程为 .故选C.
√
（2）已知抛物线的焦点为， 上一点
满足，则抛物线 的方程为________.
[解析] 依题意得，因为，所以 .
又，解得，所以抛物线的方程为 .
［素养小结］
（1）求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上，进而求
方程的有关参数.
（2）求抛物线的标准方程的方法：
①直接法，建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的
条件，列出对应方程，化简方程；②直接根据定义求，然后写出标
准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程（组）求系数.
探究点三 抛物线的实际应用问题
例3 如图，某河道上有一抛物线形拱桥，在正常水位时，拱圈最高
点距水面，拱圈内水面宽，一条船在水面以上部分高 ，
船顶部宽 .
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程.
解：设抛物线形拱桥与水面的两个交点分别为， ，
以的垂直平分线为 轴，拱圈最高点为坐标
原点 ，建立平面直角坐标系，
如图，则， .
设拱桥所在的抛物线的标准方程为 ，
将点的坐标代入抛物线的方程得 ，
故拱桥所在的抛物线的标准方程是 .
（2）近日水位暴涨了 ，为此，必须加重船载，降低船身，才能安全
通过桥洞，则船身至少应降低多少（精确到 ）？
解：因为，所以当时， ，故当水位暴涨
后，船身至少应降低 ，又精
确到，所以船身至少应降低 ．
例3 如图，某河道上有一抛物线形拱桥，在正常
水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面
宽，一条船在水面以上部分高 ，
船顶部宽 .
变式 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图①所示，忽略杯盏的
厚度，这只杯盏的轴截面如图②所示，其中光滑的曲线是抛物线的
一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为 ，则该抛物线的焦
点到准线的距离为___ .
[解析] 如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对
称轴为 轴，建立平面直角坐标系，依题意可得
的坐标为 .
设抛物线的标准方程为，则，解得 ，
故该抛物线的焦点到准线的距离为 .
［素养小结］
求解抛物线实际应用题的五个步骤
（1）建系：建立适当的坐标系.
（2）假设：设出合适的抛物线的标准方程.
（3）计算：通过计算求出抛物线的标准方程.
（4）求解：求出所要求出的量.
（5）还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
1.从四个方面认识抛物线的定义及标准方程
（1）定义条件:点不在定直线上,否则动点 的轨迹就不是抛物线.
（2）一动三定:一动是一个动点,设为 ,即为抛物线上的点;三定分别
是一个定点（抛物线的焦点）、一条定直线 （抛物线的准线）、一
个定值（点到定点与到定直线 的距离的比是定值1）.
（3）方程特点:抛物线的标准方程是关于, 的二元二次方程,其中一
个变量只有一次项,另一个变量只有二次项.
（4）参数在抛物线的标准方程中只有一个参数 ,它的几何
意义是焦点到准线的距离.若 越大,则抛物线开口越开阔,反之越扁狭.
2.抛物线解析式与其焦点位置及开口方向的关系
先把解析式化成抛物线的标准方程形式,再根据一次项的系数判断.
（1）若一次项含有,则说明抛物线的焦点在 轴上.系数为正,则焦点
在正半轴上,开口向右;系数为负,则焦点在负半轴上,开口向左.
（2）若一次项含有,则说明抛物线的焦点在 轴上.系数为正,则焦点
在正半轴上,开口向上;系数为负,则焦点在负半轴上,开口向下.
3.四种位置的抛物线标准方程的对比
（1）相同点:
①顶点都是原点;
②准线与抛物线的对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,焦点到准线
的距离都等于 ;
③焦点都在抛物线的对称轴上.
（2）不同点:
①抛物线方程不同;
②抛物线开口方向不同.
1.利用抛物线定义求轨迹（方程）.
例1（1）若点到直线的距离比它到点 的距离小2，则点
的轨迹方程是__________.
[解析] 点到直线的距离比它到点的距离小2，
点 到直线的距离与它到点的距离相等，
点 的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
因此，设点 的轨迹方程为，则,
解得,, 点 的轨迹方程为 .
（2）若动圆与圆外切，且与直线 相
切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由圆可得圆心，半径 ，
设所求动圆圆心为，过点作直线的垂线，垂足为 ，
则，可得，因此可得，点 的轨迹是
到定点的距离和到直线 的距离相等的点的集合，
由抛物线的定义可知点的轨迹是抛物线，定点 为焦点，定直线
是准线， 抛物线的方程为，
外切，且与直线 相切的动圆圆心的
轨迹方程是 .故选C.
2.根据抛物线定义进行到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，进
而求最大（小）值.
例2（1）已知直线和直线 ，则抛物线
上一动点到直线与直线 的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
√
[解析] 由题意可得，抛物线的焦点为 ，准线为，
设动点到直线,,的距离分别为,,，由题知点 到直线的距离
，因为 ，
所以，当且仅当点在过点 且
与直线垂直的直线上并且在与之间时，等号成立，
所以动点 到直线与直线 的距离之和的最小值是3.故选B.
（2）已知为拋物线上一个动点，为圆
上一个动点，则点到点的距离与点 到抛物线的准线的距离之和
的最小值是( )
A.5 B. C. D.
√
[解析] 圆的圆心为 ，半径，
抛物线的焦点为 ，根据抛物线的定义可知，
到抛物线准线的距离等于 到抛物线焦点的距离，
根据圆的几何性质可知，当,, 三点共线时，
点到点的距离与点 到抛物线的准线的距离之和的
最小值，最小值为 .故选C.
练习册
1.准线方程为 的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，设抛物线方程为 ，由其准线方程
为，得，则，所以抛物线的方程为 .故选D.
√
2.［2025·镇海中学高二期中］若点到直线和它到点 的
距离相等，则点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为点到直线和它到点的距离相等，所以点
的轨迹是以点为焦点，直线 为准线的抛物线，
设其方程为，则，可得，故点 的轨迹
方程为 .故选D.
√
3.若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到 轴
的距离为( )
A.7 B.10 C.8 D.9
[解析] 根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线
的距离，所以到轴的距离为 .故选C.
√
4.在平面内，“点到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点 的
轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当定点在定直线上时，点 的轨迹是经过该点且与定直线垂
直的直线.若点的轨迹为抛物线，由抛物线的定义，知点 到某定点
的距离等于其到某定直线的距离.故选B.
√
5.已知点是抛物线的焦点，点, 分
别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则
( )
A.10 B.12 C.14 D.16
√
[解析] 由抛物线的定义得，解得 ，则抛物
线的方程为，又点, 分别是抛物线上位于第
一、四象限的点，所以可得
则 .故选B.
6.（多选题）已知抛物线的焦点为，是抛物线 上的
一点，为坐标原点，若 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为抛物线,即,所以 ,准线方程为
,故A正确，B不正确；
设,则 ,由题意得,且,故,
解得 （舍去）或,所以,故C不正确，D正确.
故选 .
√
√
7.已知抛物线 ，则该抛物线的焦点坐标是______.
[解析] 抛物线的方程化成标准方程，得， ，
得， 抛物线的焦点坐标为 .
8.［2025·晋城高二期中］已知点是抛物线 上一
点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到 轴的距离为6，则
_______.
2或18
[解析] 由题意知，，则.
又点 在抛物线上，所以，将和代入可得
，解得 或18.
9.（13分）根据下列条件写出抛物线的标准方程.
（1）经过点 ；
解：当抛物线的标准方程为 时，
将代入，得，则所求抛物线的标准方程为 ；
当抛物线的标准方程为时，将 代入，得
，则所求抛物线的标准方程为 .
综上，抛物线的标准方程为或 .
（2）抛物线的焦点与双曲线 的右焦点的
连线垂直于双曲线的一条渐近线；
解：抛物线的焦点坐标为 ，
双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为 ，
根据两焦点坐标可得该直线斜率为 ，
因为两焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，
所以，解得 ，
故抛物线的标准方程为 .
（3）已知抛物线的焦点在轴上，直线过且垂直于轴， 与抛物
线交于，两点，为坐标原点， 的面积等于4.
解：由题意可设抛物线的方程为,则焦点 ,
直线,所以，两点的坐标分别为 ,
,所以 .
因为的面积为4,所以,所以 ,
故所求抛物线的标准方程为或 .
10.青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有
“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖内
部的轴截面均近似为抛物线的一部分，碗盖深为
A. B. C. D.
，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深 ，
则盖上碗盖后，碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖
的厚度忽略不计） ( )
√
[解析] 如图所示，以碗体的最低点为原点建立平
面直角坐标系，设碗体内部的轴截面所在抛物线
的方程为，将 代入，得
，解得，则 .
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，
则两抛物线在第一象限的交点为，将代入 ，
得，解得 ．故选C.
11.（多选题）已知抛物线上一点到准线的距离为 ，到直
线的距离为，则 的取值可以为( )
A.3 B.4 C. D.
[解析] 抛物线上的点到准线的距离等于到焦点 的距离，
所以过焦点作直线的垂线，
则到直线 的距离为的最小值，
因为 ，所以 ，选项A，B，D均
大于或等于3.故选 .
√
√
√
12.已知抛物线的焦点为，准线为，点在 上，
过点作的垂线交于点，且 ，，则抛物线
的方程为________.
[解析] 设与轴的交点为，由抛物线的定义知 ，
又 ，所以为等边三角形，所以 ，
则，又因为，所以 ，
故抛物线的方程为 .
13.［2025·重庆一中高二月考］已知点在圆 上，动圆
与圆内切并与直线相切，圆心为，则 的最小值为__.
[解析] 设圆的半径为，则，又到的距离为 ，
则到的距离为.
所以圆心的轨迹是以为焦点，以 为准线的抛物线，
顶点为 ，则 .
14.（15分）已知点，直线，动点到点 的距离与
它到直线 的距离相等.
（1）试判断动点的轨迹的形状，并写出 的方程；
解：因为动点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点 的轨
迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.
又因为点 ，直线，所以抛物线的开口向右，
且焦点到准线 的距离为4，所以轨迹的方程为 .
14.（15分）已知点，直线，动点到点 的距离与
它到直线 的距离相等.
（2）求动点到直线的距离与到 轴的距离之和的最小值.
解：动点到轴的距离等于动点 到焦点的距离再减去2，
所以动点到直线的距离与到 轴的距离之和的最小值为
点到直线 的距离再减去2，
即为 .
14.（15分）已知点，直线，动点到点 的距离与
它到直线 的距离相等.
（3）已知点,求的最小值,并求此时点 的坐标.
解：分别过点,作,垂直于抛物线的准线，交准线于点, ,
则,
当且仅当为 与抛物线的交点时取等号,
所以,此时 ,
代入抛物线的方程得,故取得最小值时点的坐标为 .
15.如图，是平面上一点，以 为圆心，分别画出
半径为1，2，3，4，5的同心圆.记半径为4的圆的
一条切线为，再画出与 平行的各圆的切线和一条
穿过圆心与平行的直线.若以为焦点， 为准线
A.都不在抛物线上 B.只有1个点在抛物线 上
C.有2个点在抛物线上 D.有3个点在抛物线 上
的抛物线记为，则，，，， 这5个点 ( )
√
[解析] 如图，不妨以点为坐标原点，过点
且平行于直线的直线为轴，过点 且垂直于
直线的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
可设抛物线的方程为 ，
由图可知，所以，所以抛物线 的方程为
，易知该组同心圆的方程为 ，
由解得 ，由图可知，所给5个点的
纵坐标均不小于0，故.
当，该点为点；
当时， ，该点为点；
当时，，该点不是点 ；
当时，，该点为点 .
综上所述，有3个点在抛物线 上. 故选D.
16.（15分）二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方
式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 的图象可以
由的图象沿向量平移得到，拋物线 ，即
的焦点坐标为，准线方程为 ，故二次函数
的图象的焦点坐标为，准线方程为 .
（1）求二次函数的图象的焦点 的坐标和准线方程；
解：二次函数 ，它的图象可以由抛物线
沿向量平移得到，抛物线，即 的焦
点坐标为，准线方程为 ，
所以二次函数的图象的焦点的坐标为 ，准线
方程为 .
（2）证明：二次函数的图象上任意一点到焦点 的
距离和到准线的距离相等.
证明：设为二次函数 的图象上任意一点，
则 ，故，
而到准线 的距离 ，
故二次函数的图象上任意一点与焦点 的距离和到准
线的距离相等.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 相等,焦点,准线 【诊断分析】（1）√（2）√（3）×（4）×
知识点二 ,,,,,,,
【诊断分析】（1）× （2）× （3）√（4）×
课中探究 例1.（1）A （2）或 变式.（1）A （2）
拓展.（1）.（2）4
例2.（1）或或<>或.
（2）. （3）. 变式.（1）C （2）
例3.（1）（2）． 变式.
快速核答案（练习册）
1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.AD 7. 8.2或18
9.（1）或.（2）.（3）或
10.C 11.ABD 12. 13.
14.（1）. （2）.（3）.
15.D 16.（1）焦点坐标为，准线方程为.（2）证明略3.3.1 抛物线及其标准方程
【课前预习】
知识点一
相等 焦点 准线
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)×
[解析] (3)抛物线的焦点不可能在准线上.
(4)只有当点F不在直线l上时,满足条件的点的轨迹才是抛物线.
知识点二
x=- x=
y=- y=
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
[解析] (1)抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),对任意一个x(x≠0),y的值不唯一,所以不是二次函数.
(2)原点到准线的距离是(p>0).
(3)若一次项是含x的项,则当一次项系数大于0时,抛物线的开口向右,当一次项系数小于0时,抛物线的开口向左;若一次项是含y的项,则当一次项系数大于0时,抛物线的开口向上,当一次项系数小于0时,抛物线的开口向下.
(4)方程y=ax2(a≠0)表示的抛物线的标准方程是x2=y(a≠0).
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)(6,9)或(-6,9)
[解析] (1)设动圆圆心的坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆圆心的轨迹为抛物线.故选A.
(2)设点P(x0,y0),易知抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,由抛物线的定义得y0+1=10,∴y0=9,代入抛物线的方程,得x0=±6,故点P的坐标为(6,9)或(-6,9).
变式 (1)A (2)y2=12x [解析] (1)由题意知,抛物线的准线方程为x=-.因为|AF|=x0,所以根据抛物线的定义可得|AF|=x0+=x0,解得x0=1.故选A.
(2)∵动点M到定点F(3,0)的距离比M到直线x=-1的距离大2,∴动点M到定点F(3,0)的距离等于到直线x=-3的距离,∴点M的轨迹为抛物线.设抛物线方程为y2=2px(p>0),则=3,即p=6,所以y2=12x.∴动点M的轨迹方程为y2=12x.
拓展 解:(1)易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离,
所以问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.
连接AF,易知当点P为AF与抛物线的交点且P在A,F之间时,点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,最小值为|AF|==.
(2)如图,过点P作PE垂直准线于点E,过点B作BQ垂直准线于点Q,
此时,|PE|=|PF|,由图可知,|PB|+|PF|=|PB|+|PE|≥|BQ|=4,
故|PB|+|PF|的最小值为4.
探究点二
例2 解:(1)由题意可知p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x或x2=8y或x2=-8y.
(2)设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)的坐标代入,得1=6p,所以2p=,所以抛物线的标准方程为x2=-y.
(3)双曲线的标准方程为-=1,其左顶点的坐标为(-3,0),
设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则-=-3,所以2p=12,所以抛物线的标准方程为y2=-12x.
变式 (1)C (2)y2=4x [解析] (1)直线2x+5y-10=0与坐标轴的交点为(5,0)和(0,2),所以抛物线的焦点为(5,0)或(0,2).当焦点为(5,0)时,抛物线的标准方程为y2=20x;当焦点为(0,2)时,抛物线的标准方程为x2=8y.故选C.
(2)依题意得 =2px0,因为x0≠0,所以x0=2p.又|MF|=x0+=5,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
探究点三
例3 解:(1)设抛物线形拱桥与水面的两个交点分别为A,B,
以AB的垂直平分线为y轴,拱圈最高点为坐标原点O,建立平面直角坐标系,如图,则A(-15,-9),B(15,-9).
设拱桥所在的抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),
将点A(-15,-9)的坐标代入抛物线的方程得2p=25,
故拱桥所在的抛物线的标准方程是x2=-25y.
(2)因为x2=-25y,所以当x=3时,y=-0.36,故当水位暴涨2.46 m后,船身至少应降低7+2.46-(9-0.36)=0.82(m),又精确到0.1 m,所以船身至少应降低0.9 m.
变式 [解析] 如图,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,依题意可得A的坐标为.设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则=6p,解得p=,故该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.3.3.1 抛物线及其标准方程
1.D [解析] 由题知,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由其准线方程为y=2,得=2,则p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y.故选D.
2.D [解析] 因为点P到直线x=-1和它到点(1,0)的距离相等,所以点P的轨迹是以点(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则=1,可得p=2,故点P的轨迹方程为y2=4x.故选D.
3.C [解析] 根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线x=-1的距离,所以P到y轴的距离为9-1=8.故选C.
4.B [解析] 当定点在定直线上时,点P的轨迹是经过该点且与定直线垂直的直线.若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义,知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离.故选B.
5.B [解析] 由抛物线的定义得|AF|=10=2+,解得p=16,则抛物线的方程为y2=32x,又点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,所以可得
则|y1-y2|=12.故选B.
6.AD [解析] 因为抛物线C:y=4x2,即x2=y,所以F,准线方程为y=-,故A正确,B不正确;设P(m,n),则n=4m2,由题意得=,且n≥0,故n2+-=0,解得n=-(舍去)或n=1,所以|PF|=n+=,故C不正确,D正确.故选AD.
7. [解析] 抛物线的方程x=2y2化成标准方程,得y2=x,∴2p=,得=,∴抛物线的焦点坐标为.
8.2或18 [解析] 由题意知|xA|=6,yA+=10,则yA=10-.又点A在抛物线上,所以=2pyA,将|xA|和yA代入可得62=2p,解得p=2或18.
9.解:(1)当抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)时,
将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为y2=-x;当抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)时,将(-3,-5)代入,得p=,则所求抛物线的标准方程为x2=-y.
综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y.
(2)抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为,
双曲线-=1的右焦点坐标为(5,0),渐近线方程为y=±x,
根据两焦点坐标可得该直线斜率为=-,
因为两焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线,
所以-×=-1,解得p=,
故抛物线的标准方程为x2=y.
(3)由题意可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F,直线l:x=,所以A,B两点的坐标分别为,,所以|AB|=2|a|.
因为△OAB的面积为4,所以××2|a|=4,所以a=±2,
故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.
10.C [解析] 如图所示,以碗体的最低点为原点建立平面直角坐标系,设碗体内部的轴截面所在抛物线的方程为x2=2py(p>0),将(5,6.25)代入,得52=2p×6.25,解得p=2,则x2=4y.设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm,则两抛物线在第一象限的交点为(4,h-3),将(4,h-3)代入x2=4y,得42=4(h-3),解得h=7.故选C.
11.ABD [解析] 抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小值,因为F(1,0),所以(d1+d2)min==3,选项A,B,D均大于或等于3.故选ABD.
12.y2=6x [解析] 设l与x轴的交点为H,由抛物线的定义知|PE|=|PF|,又∠PFE=60°,所以△PFE为等边三角形,所以∠FEH=30°,则|HF|=|EF|=|PF|=3,又因为|HF|=p,所以p=3,故抛物线C的方程为y2=6x.
13. [解析] 设圆C的半径为R,则|CO|=R-1,又C到l:y=4的距离为R,则C到y=3的距离为R-1.所以圆心C的轨迹是以O为焦点,以y=3为准线的抛物线,顶点为C',则|PC|≥|CO|-1≥|C'O|-1=.
14.解:(1)因为动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等,所以点P的轨迹是以F为焦点,直线l为准线的抛物线.又因为点F(2,0),直线l:x=-2,所以抛物线的开口向右,且焦点F到准线l的距离为4,所以轨迹C的方程为y2=8x.
(2)动点P到y轴的距离等于动点P到焦点的距离再减去2,
所以动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值为点F(2,0)到直线y=3x+4的距离再减去2,即为-2=-2.
(3)分别过点P,A作PN,AB垂直于抛物线的准线,交准线于点N,B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,当且仅当P为AB与抛物线的交点时取等号,所以(|PA|+|PF|)min=|AB|=3+2=5,此时yP=2,代入抛物线的方程得xP=,故取得最小值时点P的坐标为.
15.D [解析] 如图,不妨以点D为坐标原点,过点D且平行于直线l的直线为x轴,过点D且垂直于直线l的直线为y轴,建立平面直角坐标系,可设抛物线M的方程为x2=2py(p>0),由图可知=2,所以p=4,所以抛物线M的方程为x2=8y,易知该组同心圆的方程为x2+(y-2)2=r2(r>0),由解得y=-2±r,由图可知,所给5个点的纵坐标均不小于0,故y=-2+r.当r=2时,可得y=0,该点为点D;当r=3时,y=1,该点为点E;当r=4时,y=2,该点不是点A;当r=5时,y=3,该点为点B.综上所述,有3个点在抛物线M上.故选D.
16.解:(1)二次函数y=x2-x+1=(x-2)2,它的图象可以由抛物线y=x2沿向量m=(2,0)平移得到,
抛物线y=x2,即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,
所以二次函数y=x2-x+1的图象的焦点F的坐标为(2,1),准线方程为y=-1.
(2)证明:设P(x0,y0)为二次函数y=x2-x+1的图象上任意一点,
则(x0-2)2=4y0,
故|PF|====|y0+1|,而P(x0,y0)到准线y=-1的距离d=|y0-(-1)|=|y0+1|,
故二次函数y=x2-x+1的图象上任意一点与焦点F的距离和到准线的距离相等.3.3.1 抛物线及其标准方程
【学习目标】
1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.
2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.
3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出标准方程中一次项系数的意义.
4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.
◆ 知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ,直线l叫作抛物线的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0). ( )
(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1. ( )
(3)抛物线的焦点可以在准线上. ( )
(4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线. ( )
◆ 知识点二 抛物线的标准方程
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程
p的几何意义 焦点到准线的距离
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数. ( )
(2)抛物线的原点到准线的距离是p(p>0).( )
(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定. ( )
(4)方程y=ax2(a≠0)是抛物线的标准方程. ( )
◆ 探究点一 抛物线的定义及应用
例1 (1)一动圆过点A(1,0)且与直线:x=-1相切,则该动圆圆心的轨迹为 ( )
A.抛物线 B.椭圆 C.直线 D.圆
(2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则点P的坐标为 .
变式 (1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
(2)平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到直线x=-1的距离大2,则动点M满足的方程为 .
[素养小结]
利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:
(1)点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.
(2)抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大(小)值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.
拓展 设点P是抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
◆ 探究点二 求抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点到准线的距离是4;
(2)焦点在y轴上,且经过点(-1,-3);
(3)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
变式 (1)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为 ( )
A.y2=10x或x2=4y
B.y2=-10x或x2=-4y
C.y2=20x或x2=8y
D.y2=-20x或x2=-8y
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,x0)(x0≠0)满足|MF|=5,则抛物线C的方程为 .
[素养小结]
(1)求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.
(2)求抛物线的标准方程的方法:
①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求p,然后写出标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.
◆ 探究点三 抛物线的实际应用问题
例3 如图,某河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9 m,拱圈内水面宽30 m,一条船在水面以上部分高7 m,船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程.
(2)近日水位暴涨了2.46 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)
变式 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图①所示,忽略杯盏的厚度,这只杯盏的轴截面如图②所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3 cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.
[素养小结]
求解抛物线实际应用题的五个步骤
(1)建系:建立适当的坐标系.
(2)假设:设出合适的抛物线的标准方程.
(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)求解:求出所要求出的量.
(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 ( )
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=8y D.x2=-8y
2.[2025·镇海中学高二期中] 若点P到直线x=-1和它到点(1,0)的距离相等,则点P的轨迹方程为 ( )
A.x2=y B.y2=x
C.x2=4y D.y2=4x
3.若P为抛物线y2=4x上一点,且P到焦点F的距离为9,则P到y轴的距离为 ( )
A.7 B.10 C.8 D.9
4.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,y1),B分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若|AF|=10,则|y1-y2|= ( )
A.10 B.12 C.14 D.16
6.(多选题)已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,P是抛物线C上的一点,O为坐标原点,若|PO|=,则 ( )
A.F B.F(0,1)
C.|PF|=2 D.|PF|=
7.已知抛物线x=2y2,则该抛物线的焦点坐标是 .
8.[2025·晋城高二期中] 已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,若点A到抛物线焦点的距离为10,且点A到y轴的距离为6,则p= .
9.(13分)根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-5);
(2)抛物线x2=2py(p>0)的焦点与双曲线-=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线;
(3)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积等于4.
10.青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖内部的轴截面均近似为抛物线的一部分,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计) ( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8.25 cm
11.(多选题)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的取值可以为 ( )
A.3 B.4
C. D.
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作l的垂线交l于点E,且∠PFE=60°,|PF|=6,则抛物线C的方程为 .
13.[2025·重庆一中高二月考] 已知点P在圆O:x2+y2=1上,动圆C与圆O内切并与直线l:y=4相切,圆心为C,则|PC|的最小值为 .
14.(15分)已知点F(2,0),直线l:x=-2,动点P到点F的距离与它到直线l的距离相等.
(1)试判断动点P的轨迹C的形状,并写出C的方程;
(2)求动点P到直线y=3x+4的距离与到y轴的距离之和的最小值.
(3)已知点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.
15.如图,F是平面上一点,以F为圆心,分别画出半径为1,2,3,4,5的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为l,再画出与l平行的各圆的切线和一条穿过圆心F与l平行的直线.若以F为焦点,l为准线的抛物线记为M,则A,B,C,D,E这5个点 ( )
A.都不在抛物线M上
B.只有1个点在抛物线M上
C.有2个点在抛物线M上
D.有3个点在抛物线M上
16.(15分)二次函数的图象是抛物线,现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线,举例如下:二次函数y=x2+1的图象可以由y=x2的图象沿向量n=(0,1)平移得到,拋物线y=x2,即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,故二次函数y=x2+1的图象的焦点坐标为(0,2),准线方程为y=0.
(1)求二次函数y=x2-x+1的图象的焦点F的坐标和准线方程;
(2)证明:二次函数y=x2-x+1的图象上任意一点到焦点F的距离和到准线的距离相等.
