(共71张PPT)
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
探究点一 抛物线的几何性质
探究点二 焦点弦问题
探究点三 抛物线几何性质的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、
对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准 方程
图形 _________________________ __________________________ ___________________________ ___________________________
焦点 坐标
准线 方程
标准 方程
开口 方向 ______ ______ ______ ______
范围 ____________ ____________ ___________ _____________
对称 轴 _____ _____ 向右
向左
向上
向下
，
，
，
，
轴
轴
续表
标准 方程
顶点 坐标 ______ 离心 率 ______
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线关于原点对称.( )
×
[解析] 抛物线不关于原点对称.
（2）抛物线只有一个焦点、一条对称轴，无对称中心.( )
√
[解析] 抛物线只有一个焦点、一条对称轴，抛物线没有对称中心.
（3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( )
√
[解析] 抛物线的离心率均为1.
知识点二 抛物线的焦半径、焦点弦与通径
1.焦半径与焦点弦
（1）抛物线上一点与焦点 连接的线段叫作焦半径.
（2）过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段
称为抛物线的________.
设 为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公
式和焦点弦长 为
焦点弦
标准方程
_ ______ _______ _______ _______
2.通径
经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于, 两点,线段
称为抛物线的通径,通径的长 为____.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）抛物线， 的焦点到准线的距离是相同的，离心
率也相同.( )
√
[解析] 抛物线， 的焦点到准线的距离都是2，是相同
的，离心率都是1，也相同.
（2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 .( )
[解析] 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 .
（3）是抛物线上一点， 是抛物线的焦点，
则 .( )
[解析] 抛物线的焦半径长 .
×
×
探究点一 抛物线的几何性质
例1（1）已知抛物线，求出变量 的范围及该抛物线的顶点、
焦点、准线、对称轴.
解：由，得，变量的范围为 ，
该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为， ，直线
， 轴.
（2）抛物线的顶点在原点，对称轴与椭圆 的短轴所
在的直线重合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方
程及抛物线的准线方程.
解：椭圆的方程可化为，其短轴在 轴上，
抛物线的对称轴为 轴，
设抛物线的方程为或，其中 .
抛物线的焦点到顶点的距离为3，即， ，
抛物线的标准方程为或 ，其准线方程为
或 .
变式 已知等边三角形的边长为2，为坐标原点， 轴，
且点 在第一象限.
（1）求以为顶点且过点， 的抛物线的方程；
解：设与轴交于点 ，则由得， .
设抛物线的方程为 ，则， ，
抛物线的方程为 .
（2）求（1）中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率 .
解：由（1）知，， 抛物线的焦点坐标为 ，
准线方程为，离心率 .
［素养小结］
运用抛物线的几何性质要把握三个要点:
（1）定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二
次项是还是,一次项的系数是正还是负.
（2）定量:确定焦点到准线的距离.
（3）转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题
时适时转化可起到事半功倍的效果.
探究点二 焦点弦问题
例2 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，
两点．
（1）若直线的倾斜角为 ，求 的值；
解：因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率 ，
又，所以直线的方程为 .
由消去得 .
设，，则 ，而
，所以 .
（2）若，求线段的中点 到准线的距离．
解：结合（1）知
，
所以，于是线段的中点 的横坐标是3，
又准线方程是，所以点到准线的距离为 .
变式 ［2025·沧州高二期中］已知抛物线 的焦点
为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点. 若 ，
则 ( )
A.6 B.3 C. D.
√
[解析] 抛物线的焦点为，则直线 的方程
为.
由 消去得 ，
显然，
设, ，则，
所以，所以 .故选B.
［素养小结］
抛物线焦点弦长的求法：
设过抛物线的焦点的弦的端点为，
，利用弦所在直线的方程（注意方程的设法）与抛物线方
程联立、消元，由根与系数的关系求出，由公式
求出焦点弦长.
拓展（多选题）[2025·深圳高二期末] 已知抛物线的
焦点到准线的距离是4，直线过焦点且与 交于，
两点，为弦 的中点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线的焦点坐标是
B.
C.若，则
D.若以为圆心的圆与的准线相切，则 是该圆的一条直径
√
√
√
[解析] 对于选项A，抛物线 的焦点
到准线的距离是4，所以， ，故A正确.
对于选项B，当直线的斜率不存在时， ，所以
，当直线 的斜率存在时，
设，，由
得，所以 ，故B正确.
对于选项C， ，故C错误.
对于选项D，如图所示，过,,分别向准线作垂线，
垂足为,, ，因为, ，
所以 ，
即为该圆的一条直径，故D正确.故选 .
探究点三 抛物线几何性质的应用
例3（1）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛
物线 上，则这个等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
[解析] 依据抛物线的对称性，以及等边三角形的一个顶点位于原点，
另外两个顶点在抛物线 上，可设另外两个顶点的坐标分别为
,,,解得 ,
故这个等边三角形的边长为 .故选A.
√
（2）已知抛物线的焦点为,为坐标原点， 为抛物线
上一点，且满足，则 的面积为_____.
[解析] 因为抛物线的方程为，所以 ，可得
，所以焦点为，准线方程为，
又为抛物线 上一点，且，所以点到准线的
距离为 ，所以，所以，
所以 ，所以 .
变式（1）以抛物线的焦点为端点的射线与及 的准线
分别交于，两点，过且平行于轴的直线交于点，过 且平
行于轴的直线交于点，若，则 的周长为( )
A.16 B.12 C.10 D.6
√
[解析] 根据题意，可得，准线方程为 .
不妨设，，，，，
直线的方程为，即.
将 代入中，可得，.
将 代入中，可得，.
又 ，，
的周长为 .故选B.
（2）已知抛物线的顶点为，焦点为，点在上，点
与点关于轴对称.若平分，则点 的横坐标为___.
2
[解析] 由题知，设，则,连接，则 轴，
因为平分，所以，所以 ，
即，所以，所以点的横坐标为 .
［素养小结］
利用抛物线的性质可以解决的问题:
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题.
（4）焦点：解决焦点弦问题.
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线.
2.对称性:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.
3.抛物线的焦半径（其中点为抛物线的焦点,点 为抛物线上任意一
点）
抛物线, ;
抛物线, ;
抛物线, ;
抛物线, .
4.焦点弦
（1）定义:过焦点的直线被抛物线所截得的弦.
（2）焦点弦长公式:设两交点分别为, ,可以通过使
用两次焦半径公式得到.
当抛物线的焦点在 轴上时,焦点弦的长只和两交点的横坐标有关:
抛物线, ;
抛物线, .
当抛物线的焦点在 轴上时,焦点弦的长只和两交点的纵坐标有关:
抛物线, ;
抛物线, .
（3）特殊的焦点弦——通径
定义:过焦点且垂直于对称轴的弦.
直接应用抛物线的定义,得到通径， 越大,抛物线的张口越大.
（4）焦点弦的性质
若是抛物线的过焦点的一条弦.设 ，
，的中点，直线的倾斜角为 ，则可
得到以下结论：
；； ，
；为定值； .
5.在标准形式下,椭圆、双曲线和抛物线性质的比较
椭圆 双曲线 抛物线
对称轴
对称中心 无
顶点 4个 2个 1个
焦点 2个 2个 1个
准线 不研究 不研究 1条
渐近线 无 2条 无
离心率
1.抛物线的性质问题常常结合定义求解.
例1 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点， 是圆
上一动点，则 的最小值为___．
4
[解析] 由抛物线，可得焦点为，准线 ，
圆的标准方程为 ，
可得圆心为，半径，
过点作，垂足为，过点 作，垂足为，交抛物线于 ，
根据抛物线的定义，可得，要使
取得最小值，只需点 与重合，在线段上，此时与重合，
所以 的最小值为，即 的最小值为4.
2.解决抛物线与几何结合的图形，要考虑到对称性.
例2(多选题)[2025·阜阳三中高二月考]如图，曲线可以看成是
抛物线 和 所围成的，点，在
曲线上，定点 ，则下列说法中正确的是 ( )
A.任意，都存在点，，使得
B.任意，都存在点，，满足这对点关于点 对称
C.存在，当点，运动时，使得
D.任意，恰有三对不同的点，，满足每对点，关于
点 对称
√
√
√
[解析] 抛物线和的对称轴都为 轴，
因此封闭曲线关于轴对称，且抛物线与
轴的交点坐标为 .
如图①，任意，点在轴上，在曲线上
取关于 轴对称的两点，，则有 ，故A正确；
如图②，过点作垂直于轴的直线与曲线的交点
为，，则 ，关于点 对称，故B正确.
由得或所以, .
取，即，抛物线可化为，
焦点为 ，准线方程为，
点在 上运动时， ，
由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得，.
抛物线可由抛物线 向上平移5个单位而得，
抛物线可化为 ，
焦点为，准线方程为，则抛物线
的焦点为，准线方程为，点在
上运动时， ，
由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得，
，因此当点， 运动时，
，，恒有 ，
故C正确.
取，即，直线与抛物线的两个交点关于点
对称，在此抛物线上关于点 对称的两点只有一对，
在抛物线上不存在两点关于点对称.
若关于点 对称的两点分别在抛物线和
上，不妨令，则点 关于
点对称的点在抛物线 上，
而方程，即 无解，
则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，故D错误.故选 .
3.抛物线的焦点弦的性质
例3 （多选题）已知抛物线，为其焦点，直线 与抛物线
交于， 两点，则下列说法正确的是( )
A.若点为抛物线上的一点，点，则 的最小值为3
B.若直线过焦点，则以为直径的圆与直线 相切
C.若直线过焦点，当时，则
D.设线段的中点坐标为，则直线的斜率与
无关，与 有关
√
√
√
[解析] 对于A选项，抛物线的焦点为，准线为 ，设点
在直线上的射影为点，由抛物线的定义可得 ，则
，当且仅当，，三点共线，即
时，取得最小值，最小值为 ，故A错误；
对于B选项，若直线过焦点，则，线段的
中点 到直线的距离，所以，因此，以 为
直径的圆与直线相切，故B正确；
对于C选项，当
，
则，此时 ，故C正确；
对于D选项，线段的中点坐标为，若 轴，
则线段的中点在轴上，不符合题意，所以直线 的斜率存在，
由题意可得由 作差得
，所以，故D正确.故选 .
练习册
1.下列关于抛物线 的描述中正确的是( )
A.开口向上，焦点坐标为 B.开口向右，焦点坐标为
C.开口向上，焦点坐标为 D.开口向右，焦点坐标为
[解析] 抛物线，即 ，可知抛物线开口向上，焦点坐
标为 .故选A.
√
2.［2025·洛阳强基联盟高二联考］已知抛物线 的顶点在原点，关于
轴对称，且经过点，则抛物线 的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意设抛物线的方程为，将 的坐
标代入得，所以所求抛物线方程为 .故选C.
√
3.若点在抛物线 上，则下列点中一定在该抛物线上
的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由抛物线关于轴对称易知，点 一定在该抛物线上.
故选B.
√
4.［2025·广州高二期末］斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，
且与抛物线交于，两点，则线段 的长为( )
A.8 B. C. D.4
[解析] 由题知，抛物线方程为，所以抛物线的焦点为 ，
所以该直线方程为，即 .
由得，设, ，
则，所以 .故选A.
√
5.［2025·丽水发展联盟高二期中］如图，太阳灶是一种将太阳光反
射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，
镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为 ，
深度为 ，则该抛物线顶点到焦点的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
设此抛物线方程为，依题意，点 在此抛物线上，
所以，解得，则该抛物线顶点到焦点的距离为 .
故选D.
6.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲
线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直
径为通径.已知圆 的一条通径与抛物线
的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则 ( )
A. B.1 C.2 D.4
√
[解析] 因为圆 的一条通径与抛物线
的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线
的通径与轴垂直，所以圆
的这条通径与 轴垂直，且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，
因为圆的圆心为 ，半径为2，所以
该圆与轴垂直的通径的右端点为，即抛物线 经过点
，则,即 .故选C.
7.已知点在抛物线上，则到 的准线的
距离为__.
[解析] 点在抛物线上，，得，
抛物线的准线方程是，到的准线的距离为 .
8.直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，
两点，，若的中点到轴的距离为1，则 的值是___.
2
[解析] 由题意设，，由 可得，
又的中点到轴的距离为1，则 ，解得 .
9.（13分）若抛物线的开口向上，顶点在原点，为焦点， 为准线
与轴的交点，为抛物线上一点，且， ，求此
抛物线的标准方程.
解：设所求抛物线的标准方程为.
设 ，由题意知，， .
，，，代入 ，
得，解得或，
所求抛物线的标准方程为或 .
10.设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的
点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则 与
的面积之比是( )
A. B. C. D.
[解析] ,故选A.
√
11.（多选题）已知直线过抛物线 的焦点，且与
该抛物线交于，两点.若线段的长是20，的中点到 轴的距
离是8， 为坐标原点，则( )
A.抛物线的焦点是 B.抛物线的离心率为
C.直线的斜率为 D.的面积为
[解析] 记抛物线焦点为，的中点为，过，， 分别作抛物
线准线的垂线，垂足分别为，， ，则
, ，
√
√
√
又，所以,得 ，所以抛物线方程为，
焦点为 ，故选项A正确；
抛物线的离心率，故选项B正确；
显然直线 的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
与抛物线方程 联立，消去得，
设, ，则,
而 ,则，
所以，解得,所以 ，故选项C不正确；
直线的方程为，可得原点到直线 的距离
，
所以 的面积，
故选项D正确.故选 .
12.已知点在抛物线上，则 的最小值
为___，取最小值时点 的坐标为______.
[解析] ，
因为抛物线中，所以当时，，
此时点 的坐标为 .
13.［2025·亳州高二期末］已知抛物线的焦点为 ，
过点的直线与交于，两点在轴上方，且 ，
则直线 的斜率为____.
[解析] 过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，
过作直线的垂线，垂足为，
依题意， ，，
由，得 ，，
因此 ，即 ，所以的斜率为 .
14.（15分）已知抛物线的焦点为， 为坐标原点.
（1）过作垂直于轴的直线与抛物线交于,两点，若 的
面积为2，求抛物线 的标准方程；
解：由题意可知，将代入，得 ，则，
，可得，
抛物线的标准方程为 .
（2）抛物线上有,两点，若为正三角形，求 的边
长（用 表示）.
解：为正三角形， ，由抛物线的对
称性可知轴.
设直线的方程为，将 代入，得，
，，整理得 ，
，即的边长为 .
15.［2025·山西大学附中高二月考］设点是抛物线 的焦点，
过抛物线上一点，沿轴正方向作射线轴，若 的平分线
所在直线的斜率为，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，抛物线的焦点 ，准线方程为，
设直线与准线交于点 ，由抛物线定义得，，
根据题意，不妨令为与轴的交点，连接 ，，
，所以 ，则，所以，
且，所以四边形 为平行四边形，则，
得，所以点 的坐标为 .故选D.
16.（15分）［2025·南通高二期中］ 已知抛物线 的
焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点 .抛物线的准线
与轴的交点为，, .
（1）求抛物线的方程；
解：因为，所以 ，
所以抛物线的方程为 .
16.（15分）［2025·南通高二期中］ 已知抛物线 的
焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点 .抛物线的准线
与轴的交点为，, .
（2）求 的面积.
解：因为，代入抛物线方程可得，且 ，所以 ，
又因为，所以，所以直线 的方程为
，
由可得，所以 ，
所以 ，
又因为，所以到直线的距离 ，
所以 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 向右,向左,向上,向下,，,，,，,，,轴,轴,, 【诊断分析】（1）×（2）√（3）√
知识点二 1.焦点弦,,,, 2. 【诊断分析】（1）√（2）×（3）×
课中探究 例1.（1）顶点、焦点、准线、对称轴轴（2）标准方程为或，准线方程为或.
变式.（1）.（2）焦点坐标为，准线方程为，离心率.
例2.（1）.（2）. 变式.B 拓展.ABD
例3.（1）A （2） 变式.（1）B （2）2
快速核答案(练习册）
1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7. 8.2
9.或. 10.A 11.ABD 12., 13.
14.（1）. （2）. 15.D
16.（1）.（2）3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
向右 向左 向上 向下 x≥0,y∈R
x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
x轴 y轴 (0,0) e=1
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称.
(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心.
(3)抛物线的离心率均为1.
知识点二
1.(2)焦点弦 x0+ -x0 y0+
-y0
2.2p
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同.
(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.
(3)抛物线y2=2px(p>0)的焦半径长|PF|=x1+.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由y2=8x,得p=4,变量x的范围为x≥0,
∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴.
(2)椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,
∴抛物线的对称轴为x轴,
∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px,其中p>0.
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6,
∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,其准线方程为x=-3或x=3.
变式 解:(1)设AB与x轴交于点E,
则由|AB|=2得E(,0),∴A(,1).
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则1=2p·,∴2p=,
∴抛物线的方程为y2=x.
(2)由(1)知2p=,∴=,∴抛物线的焦点坐标为,准线方程为x=-,离心率e=1.
探究点二
例2 解:(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,
又F,所以直线l的方程为y=.
由消去y得x2-5x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,
所以|AB|=5+3=8.
(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,
所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,
又准线方程是x=-,所以点M到准线的距离为3+=.
变式 B [解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,则直线l的方程为y=.由
消去y得3x2-5px+p2=0,显然Δ=25p2-4×3×p2=16p2>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,所以|MN|=x1++x2+=p=8,所以p=3.故选B.
拓展 ABD [解析] 对于选项A,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,所以p=4,F(2,0),故A正确.对于选项B,当直线l的斜率不存在时,l:x=2,所以x1x2=2×2=4,当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-2),k≠0,由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1x2=4,故B正确.对于选项C,|AB|=x1+x2+p=5+4=9,故C错误.对于选项D,如图所示,过A,B,M分别向准线作垂线,垂足为A1,B1,M1,因为|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=,即AB为该圆的一条直径,故D正确.故选ABD.
探究点三
例3 (1)A (2)2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,可设另外两个顶点的坐标分别为,(m>0),∴tan 30°==,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A.
(2)因为抛物线C的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,所以焦点为F(,0),准线方程为x=-,又P为抛物线C上一点,且|PF|=3,所以点P到准线x=-的距离为3,所以xP=3-=2,所以=4×2=16,所以|yP|=4,所以S△POF=×|OF|×|yP|=××4=2.
变式 (1)B (2)2 [解析] (1)根据题意,可得F(1,0),准线方程为x=-1.不妨设A(x,y)(y>0),∵|AQ|=,∴x+1=,∴x=,∴A,∴直线AF的方程为=,即y=-(x-1).将x=-1代入y=-(x-1)中,可得y=2,∴B(-1,2).将y=2代入y2=4x中,可得x=3,∴P(3,2).又|FB|==4,|PF|=|PB|=4,∴△PBF的周长为|FB|+|PF|+|PB|=12.故选B.
(2)由题知F(2,0),设P,则Q,连接PQ,则PQ∥x轴,因为FQ平分∠PFO,所以
∠PQF=∠PFQ,所以|PQ|=|PF|,即×2=+2,所以t2=16,所以点P的横坐标为==2.3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1.A [解析] 抛物线y=2x2,即x2=y,可知抛物线开口向上,焦点坐标为.故选A.
2.C [解析] 由题意设抛物线C的方程为x2=ay(a≠0),将M(-2,1)的坐标代入得a=4,所以所求抛物线方程为x2=4y.故选C.
3.B [解析] 由抛物线关于x轴对称易知,点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B.
4.A [解析] 由题知,抛物线方程为x2=4y,所以抛物线的焦点为(0,1),所以该直线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.由得y2-6y+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6,所以|AB|=y1+y2+2=8.故选A.
5.D [解析] 以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系,如图所示,设此抛物线方程为x2=2py(p>0),依题意,点(2,0.5)在此抛物线上,所以2p×0.5=4,解得p=4,则该抛物线顶点到焦点的距离为2 m.故选D.
6.C [解析] 因为圆(x+1)2+(y-2)2=4的一条通径与抛物线y2=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,而抛物线y2=2px(p>0)的通径与x轴垂直,所以圆(x+1)2+(y-2)2=4的这条通径与y轴垂直,且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点,因为圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径为2,所以该圆与y轴垂直的通径的右端点为(1,2),即抛物线y2=2px经过点(1,2),则4=2p,即p=2.故选C.
7. [解析] ∵点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,∴5=2p,得p=,∴抛物线的准线方程是x=-,∴A到C的准线的距离为+1=.
8.2 [解析] 由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AB|=4可得x1+x2+p=4,又AB的中点到y轴的距离为1,则==1,解得p=2.
9.解:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).设A(x0,y0),由题意知M,∵|AF|=3,∴y0+=3.
∵|AM|=,∴+=17,∴=8,代入=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4,∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
10.A [解析] ===,故选A.
11.ABD [解析] 记抛物线焦点为F,MN的中点为A,过M,N,A分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为P,Q,T,则|MP|+|NQ|=|MF|+|NF|=|MN|=20,|AT|=(|MP|+|NQ|)=10,又|AT|=8+,所以=2,得p=4,所以抛物线方程为y2=-8x,焦点为(-2,0),故选项A正确;抛物线的离心率e=1,故选项B正确;显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x+2),k≠0,与抛物线方程y2=-8x联立,消去y得k2x2+(4k2+8)x+4k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,而|MN|=-x1-x2+p=-x1-x2+4=20,则x1+x2=-16,所以-=-16,解得k2=,所以k=±,故选项C不正确;直线l的方程为y=±(x+2),可得原点O到直线l的距离d==,所以△MON的面积S=|MN|·d=×20×=4,故选项D正确.故选ABD.
12.4 (0,0) [解析] z=x2+y2+4=x2+2x+4=(x+1)2+3,因为抛物线y2=4x中x≥0,所以当x=0时,zmin=4,此时点P的坐标为(0,0).
13. [解析] 过A,B分别作准线x=-的垂线,垂足分别为D,E,过A作直线BE的垂线,垂足为G,依题意,|AF|=|AD|=|EG|,|EB|=|BF|,由|BF|=3|AF|,得|AB|=4|AF|,|BG|=3|AF|-|AF|=2|AF|,因此cos∠ABG==,即∠ABG=60°,所以l的斜率为tan 60°=.
14.解:(1)由题意可知F,将x=代入y2=2px,得|y|=p,则|AB|=2p,∴S△AOB=|OF|·|AB|=××2p=p2=2,可得p=2,∴抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)∵△MON为正三角形,∴|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线的对称性可知MN⊥x轴.设直线MN的方程为x=t,将x=t代入y2=2px,得|y|=,∴|MN|=2,∴tan 30°===,整理得t=6p,
∴|MN|=4p,即△MON的边长为4p.
15.D [解析] 根据题意,抛物线y2=2x的焦点F,准线方程为x=-,设直线PQ与准线交于点A,由抛物线定义得,|PA|=|PF|,根据题意,不妨令R为PR与x轴的交点,连接AF,∠QPR=∠FPR,∠QPR=∠PRF,所以∠FPR=∠PRF,则|FR|=|PF|,所以|PA|=|RF|,且PA∥FR,所以四边形APRF为平行四边形,则kPR=kAF=-2=,得a=2,所以点P的坐标为(2,2).故选D.
16.解:(1)因为|AF|=xA+=+==,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)因为A,代入抛物线方程可得m2=,且m>0,所以m=,
又因为F(1,0),所以kAF==-2,所以直线AF的方程为y=-2(x-1),
由可得6x2-13x+6=0,所以xA+xB=,
所以|AB|=xA++xB+=xA+xB+2=,
又因为K(-1,0),所以K到直线AF的距离d==,
所以S△ABK=·|AB|·d=××=.3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
【学习目标】
能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.
◆ 知识点一 抛物线的简单几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图形
焦点 坐标
准线 方程 x=- x= y=- y=
开口 方向
范围
对称轴
顶点 坐标
离心率
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线关于原点对称. ( )
(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同. ( )
◆ 知识点二 抛物线的焦半径、焦点弦与通径
1.焦半径与焦点弦
(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.
(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的 .
设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
焦半径 |AF|
焦点 弦长 |MN| x1+x2+p -x1- x2+p y1+y2+p -y1- y2+p
2.通径
经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. ( )
(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0). ( )
(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p. ( )
◆ 探究点一 抛物线的几何性质
例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.
(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
变式 已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.
(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;
(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.
[素养小结]
运用抛物线的几何性质要把握三个要点:
(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).
(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.
◆ 探究点二 焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
变式 [2025·沧州高二期中] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于M,N两点. 若|MN|=8,则p= ( )
A.6 B.3
C. D.
[素养小结]
抛物线焦点弦长的求法:
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.
拓展 (多选题)[2025·深圳高二期末] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4,直线l过焦点F且与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,M为弦AB的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.抛物线C的焦点坐标是(2,0)
B.x1x2=4
C.若x1+x2=5,则|AB|=7
D.若以M为圆心的圆与C的准线相切,则AB是该圆的一条直径
◆ 探究点三 抛物线几何性质的应用
例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为 ( )
A.8 B.4 C.4 D.3
(2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3,则△POF的面积为 .
变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=,则△PBF的周长为 ( )
A.16 B.12 C.10 D.6
(2)已知抛物线C:y2=8x的顶点为O,焦点为F,点P在C上,点Q与点P关于y轴对称.若FQ平分∠PFO,则点P的横坐标为 .
[素养小结]
利用抛物线的性质可以解决的问题:
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1.下列关于抛物线y=2x2的描述中正确的是 ( )
A.开口向上,焦点坐标为
B.开口向右,焦点坐标为
C.开口向上,焦点坐标为
D.开口向右,焦点坐标为
2.[2025·洛阳强基联盟高二联考] 已知抛物线C的顶点在原点,关于y轴对称,且经过点M(-2,1),则抛物线C的方程为 ( )
A.y2=x B.y2=-x
C.x2=4y D.x2=-4y
3.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是 ( )
A.(-m,-n) B.(m,-n)
C.(-m,n) D.(-n,-m)
4.[2025·广州高二期末] 斜率为1的直线经过抛物线y=x2的焦点,且与抛物线交于A,B两点,则线段AB的长为 ( )
A.8 B. C. D.4
5.[2025·丽水发展联盟高二期中] 如图,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备,上面装有抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,已知太阳灶的口径(直径)为4 m,深度为0.5 m,则该抛物线顶点到焦点的距离为 ( )
A.0.25 m B.0.5 m
C.1 m D.2 m
6.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中,也称圆的直径为通径.已知圆(x+1)2+(y-2)2=4的一条通径与抛物线y2=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边,则p= ( )
A. B.1
C.2 D.4
7.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则A到C的准线的距离为 .
8.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,|AB|=4,若AB的中点到y轴的距离为1,则p的值是 .
9.(13分)若抛物线的开口向上,顶点在原点,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
10.设抛物线y2=4x的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点 A,B在抛物线上,点 C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点.若线段MN的长是20,MN的中点到y轴的距离是8,O为坐标原点,则 ( )
A.抛物线C的焦点是(-2,0)
B.抛物线C的离心率为e=1
C.直线l的斜率为
D.△MON的面积为4
12.已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+4的最小值为 ,z取最小值时点P的坐标为 .
13.[2025·亳州高二期末] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点(B在x轴上方),且|BF|=3|AF|,则直线l的斜率为 .
14.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.
(1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,若△AOB的面积为2,求抛物线C的标准方程;
(2)抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,求△MON的边长(用p表示).
15.[2025·山西大学附中高二月考] 设点F是抛物线y2=2x的焦点,过抛物线上一点P,沿x轴正方向作射线PQ∥x轴,若∠FPQ的平分线PR所在直线的斜率为-2,则点P的坐标为 ( )
A. B.
C.(2,-2) D.(2,2)
16.(15分)[2025·南通高二期中] 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线上一点,延长AF交抛物线于点B.抛物线的准线与x轴的交点为K,A(m>0),|AF|=.
(1)求抛物线的方程;
(2)求△ABK的面积.
