(共67张PPT)
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 直线与抛物线的位置关系
探究点一 直线与抛物线的位置关系
探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦
问题
探究点三 抛物线的综合问题
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.由直线与抛物线的方程，利用代数方法解决与直线和抛物线位
置关系有关的问题.
2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
知识点一 直线与抛物线的位置关系
设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方
程联立,整理成关于的方程 .
（1）若 ,则有
判别式 位置关系 交点情况
直线与抛物线______ __________
直线与抛物线______ __________
直线与抛物线______ __________
相交
两个交点
相切
一个交点
相离
没有交点
（2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对
称轴____________.
一个
平行或重合
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( )
×
[解析] 直线与抛物线只有一个公共点,除了相切的情况外,还有直线与
抛物线的对称轴平行或重合的情况.
（2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充
分条件.( )
√
知识点二 弦长公式
若直线（斜率为且）与抛物线交于 ,
两点,则________ ________.
（1）若直线过抛物线的焦点,则___________, _ ___,
_____.
（2）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____.
（3）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则
_____.
探究点一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知抛物线，过点的直线的斜率为，当
取何值时，与 有一个公共点，有两个公共点，无公共点？
解：由题知直线的方程为，将 代入整理得
.
当时，把代入，得 ，
所以直线与抛物线只有一个公共点 .
当时， ，
由，得.
所以当或时，，与 无公共点；
当时，，与 只有一个公共点；
当且时，，与 有两个公共点.
综上，当或时，与 无公共点；
当或时，与 只有一个公共点；
当或时，与 有两个公共点.
变式 已知点和抛物线，求过点且与抛物线 有且
仅有一个公共点的直线 的方程．
解：当直线的斜率不存在时，由直线过点可知，直线 的方程为
.由得，此时直线与抛物线只有一个公共点 ．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为 ，
由消去，得 .
当时，得，即，可知此时直线与抛物线
交于点；
当时，判别式 ,由得，可知此时直线与
抛物线 有且仅有一个公共点，直线的方程为，
即 .
综上，直线的方程为或或 .
［素养小结］
当直线与抛物线有两个交点时，设直线方程的方法如下：
若抛物线的方程为，则设直线的方程为
；
若抛物线的方程为，则设直线的方程为.
探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题
例2 已知抛物线的焦点为，直线与交于， 两点.
（1）若的倾斜角为且过点，求 ；
解：设, .
因为的倾斜角为，，所以直线 的方程为 .
由可得 ，
则，所以 .
例2 已知抛物线的焦点为，直线与交于， 两点.
（2）若线段的中点坐标为，求 的方程.
解： 由,均在抛物线上，
得 , ，所以 .
因为线段的中点坐标为，所以 ，
所以，所以的斜率为 ，
所以的方程为，即 .
变式（1）若直线与抛物线交于， 两点，且
，求实数 的值．
解：设， ，
由消去化简得，
，则 ，
， ，
又，， .
（2）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，
两点，试求弦 中点的轨迹方程．
解：设弦的中点为，并设，，的坐标分别为 ，
， ．
当直线的斜率不存在时，易得 ．
当直线的斜率存在时，，由题意得，
得 ，
又 ，所以 .
因为，即,所以 ，
即，所以（除去点 ）．
又点的坐标满足上式，故弦 中点的轨迹方程为 .
［素养小结］
“中点弦”问题的两种解题策略
（1）点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由
求斜率，再由点斜式求解.
（2）传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去（或）
得关于（或）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和
即为中点纵（或横）坐标的2倍，进而求解.
探究点三 抛物线的综合问题
例3 ［2025·湖南长郡中学高二月考］已知抛物线 的焦点
为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点 满足
，求直线 的方程.
解：由题可知抛物线的焦点为，显然直线 的斜率不为0，
设直线的方程为，， ，
由消去整理得 ，
所以 ，则， ，
所以 ，
，
又，所以， .
因为 ，
所以 ，
即 ，
即，解得 ，
所以直线的方程为，即 .
变式 已知抛物线的焦点为，点 为抛物线上
一点.
（1）求抛物线的方程与焦点坐标；
解：因为点在抛物线 上，
所以，解得，所以抛物线方程为 ，焦点为 .
变式 已知抛物线的焦点为，点 为抛物线上一点.
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点， ，
若，求 的值.
解：设,，由 得 ，
由，得 ，
所以, .
因为，所以 ，
则
，
所以，即，
解得 ，
又当时，直线过原点 ，不符合题意，故舍去，
所以实数的值为 .
［素养小结］
与抛物线有关的综合问题，体现在最值、定点和定值方面，解决这
类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决
这些问题的关键是代换和转化.
1.直线与抛物线公共点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得
到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数
为0的情况.
2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是
不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、
弦所在直线的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转
化为关于或 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避
免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.
3.直线与抛物线相交所得弦的长
弦长公式:,其中和 分别是直线方程与抛物线方程联
立后得到的方程中的二次项系数和判别式,
为直线 的斜率.
当代入消元消掉的是时,得到 ,此时弦长公式相应地
变为 .
1.直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线,抛物线: ,将直线方程与抛物线
方程联立整理成关于的方程 的形式.
①若 ,
则当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个交点;
当 时,直线与抛物线相离,无交点.
②若 ,则直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对
称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线
相切的必要不充分条件.
例1 已知直线,抛物线,当为何值时,直线 与
抛物线 满足下列条件？
①有一个公共点;
②有两个公共点;
③没有公共点.
解：由 消去,整理得 .
当时,方程（*）只有一个解,为,此时 .
当时,方程（*）为一元二次方程, .
当,即且时,直线与抛物线有两个公共点,此时直线
与抛物线 相交;
当,即时,直线与抛物线有一个公共点,此时直线 与抛物
线 相切;
当,即时,直线与抛物线没有公共点,此时直线与抛物线 相离.
综上所述,①当或时,直线与抛物线 有一个公共点;②当
且时,直线与抛物线有两个公共点;③当时,直线 与
抛物线 没有公共点.
2.应用抛物线性质解题的常用技巧
（1）抛物线的中点弦问题用点差法比较简便.
（2）轴对称问题,一是抓住以两对称点为端点的连线的中点在对称轴
上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴的斜率的关系.
（3）在直线和抛物线的综合题中,对于设直线和设点体现得比较明显.
（4）圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一个参数来表示要研究问
题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值
法找定点、定值.
例2 已知动点到点的距离与点到直线 的距离相等.
（1）求点的轨迹 的方程；
解：设点，根据题意有 ，
上式两边同时平方得，化简得 ，
点的轨迹的方程为 .
例2 已知动点到点的距离与点到直线 的距离相等.
（2）设点，为轨迹上不同的两点，若线段 的中垂线方程为
，求线段 的长.
解：设，，线段 的中点为 ，
线段的中垂线方程为 ，
直线的斜率 ，
由点，在抛物线上，可知
两式相减得 ，
又，故 ，，故 ，
直线的方程为 ，即 .
由消去整理得 ，
易知，, ，
,
即线段的长为 .
例3 已知抛物线的焦点为，点在上，且
的最小值为1.
（1）求 的方程.
解：设，则，又 ,
所以 ，
则的最小值为，所以，得，所以的方程为 .
例3 已知抛物线的焦点为，点在上，且
的最小值为1.
（2）过点的直线与相交于，两点，过点 的直
线与相交于，两点，且，不重合，判断直线 是否过定点？
若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
解：因为，不重合，所以直线，， 的斜率必然存在.
设，，.
直线 的斜率 ，
可得.
直线 的斜率 ，
可得.
由 ，可得 .
因为直线的斜率 ，所以直线 的方程为
.
故直线过定点 .
练习册
1.过点且与抛物线 只有1个公共点的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
[解析] 因为点在上，所以过点且与 相切的直线只有1条，该切
线满足题意.过点且斜率为0的直线与 也只有1个公共点，所以满足
题意的直线有2条.故选C.
√
2.当抛物线上的点到直线 的距离最短时，该点的
坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：设抛物线上一点的坐标为，其中 ，则
该点到直线的距离 ，所以当
时，取得最小值，此时该点的坐标为 .
√
方法二：设与直线平行的抛物线 的切线的方程为
，由得 .
由，得.易知切点为 ，
切点到直线 的距离最短.
3.若抛物线与直线交于，两点， 是抛物
线的焦点，则 ( )
A.2 B.9 C.5 D.13
[解析] 设，，则 .
由得， ，
，故选D.
√
4.过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线与抛物线交于 ,
两点，则 ( )
A. B.4 C. D.
[解析] 抛物线的焦点，直线的方程为 ，
由得，，
设，则， .故选D.
√
5.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若 ，
两点到直线 的距离之和等于11，则这样的直线( )
A.不存在 B.有且仅有一条 C.有且仅有两条 D.有无穷多条
[解析] 由题意知，，两点到准线 的距离之和等于9，由抛
物线定义得，而在抛物线 过焦点的弦中，弦长的最
小值为，而 ，根据过焦点的弦的对称性知，这样的
弦有且仅有两条.故选C.
√
6.（多选题）已知抛物线，且直线 被抛物
线所截得的弦长为 ，则( )
A.抛物线的焦点坐标为 B.抛物线的准线方程为
C.抛物线的方程为 D.抛物线的方程为
√
√
[解析] 由可得 或所以直线与抛物线的
交点坐标为和 ，所以，
解得（负值舍去），
故抛物线 的方程为，焦点坐标为，准线方程为 ．
故A，C正确，B，D错误.故选 .
7.已知抛物线与直线相切，则 的准
线方程为________.
[解析] 由得 .
因为抛物线与直线 相切，
所以，解得或（舍去），
所以抛物线 的方程为，其准线方程为 .
8.已知抛物线的焦点为,过的动直线 与抛物线交
于,两点，满足的直线有且仅有一条，则 ___．
2
[解析] 设,,过的直线的方程为 ,与抛物
线方程联立可得 ,
故 ,
故当时，动直线有且仅有一条，即,故 .
9.（13分）在平面直角坐标系中，过点的直线 与抛物线
相交于点， .
（1）若直线的斜率为1，求 ;
解：设点 . 由题意知，直线的方程为，
由 得，则， ，
所以 .
9.（13分）在平面直角坐标系中，过点的直线 与抛物线
相交于点， .
（2）求证： .
证明：设的方程为，
由消去 得 ，则，
所以 ，所以，
所以，即 .
10.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，则线段
的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 抛物线的焦点为，设点， ，若直
线与轴重合，则直线与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由 可得，
，由根与系数的关系可得，
所以 ，
设线段的中点为，则，，则 ，
所以，化简可得.因此，线段 的中点的轨
迹方程为 .故选D.
11.（多选题）已知为抛物线的焦点，直线与交于，
两点，弦中点的横坐标为4， ，则( )
A.的斜率为1 B.在轴上的截距为
C.弦中点的纵坐标为 D.
√
√
√
[解析] 易得的斜率存在，设，， ，
由得，则
由，得 .
由 ，
得，所以，弦中点的纵坐标为 ，
.
故A，C，D正确，B错误，故选 .
12.已知，在拋物线 上存在两个不同的点关于直线
对称，则 的取值范围是__________.
[解析] 设抛物线上关于直线对称的两点为 ，
，则两式相减得 ，
由条件可知，，即，所以 中点的纵坐标
为，横坐标为，即中点坐标为 ，
由题意可知，的中点应在抛物线内，即 ，
解得 .
13.抛物线的焦点为，点和点， 在抛物线
上，且，则过点， 的直线方程为____________.
[解析] 由点在抛物线上，得，解得 ，则抛物线
方程为，，
设点，的坐标分别为， ，由，
得 故的中点坐标为.
过点， 的直线的斜率，
则过点 的直线方程为，即 .
14.（15分）已知是抛物线的焦点，在 上且位
于第一象限，点在轴上，轴，， ．
（1）求 的方程；
解：由题知， ，由抛物线的定义知，，
，的方程为 ．
14.（15分）已知是抛物线的焦点，在 上且位
于第一象限，点在轴上，轴，， ．
（2）过作斜率为的直线与交于，两点， 的面积为
为坐标原点，求直线 的方程．
解：由（1）知，设，，由题知直线 的
方程为，
与 联立，整理得 ，
由题易知，， ，
，
又 原点到直线的距离 ，
，解得 ，
直线的方程为或 ．
15.（多选题）已知抛物线 ，过其准线上的点
作抛物线的两条切线，切点分别为， ，则下列说法正确
的是( )
A. B.当时，
C.当时，直线的斜率为2 D. 面积的最小值为4
[解析] 对于A，易知准线方程为， ，故A正确；
对于B，，设过点的直线方程为 ，
√
√
√
代入，得，当直线与相切时，有 ，
即，设，的斜率分别为，，易知，
是的两根，则，故 ，故B正确；
对于C,设,,其中, ,则
，即，代入 得，同理
可得 ，故，故 ，故C错误；
对于D，同C，切线，切线，
代入 得，，
故直线的方程为 ，即，与联立得
，则， ，
故，
又点 到直线的距离 ，
故，
故当时， 面积的最小值为，故D正确.故选 .
16.（15分）已知定点，动点在直线上，过点作
的垂线与的中垂线交于点，记点的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
解：连接，由已知得，故的轨迹 是以
为焦点， 为准线的抛物线，
设抛物线的方程为，则 ，故 ，
抛物线的方程为 .
16.（15分）已知定点，动点在直线上，过点作
的垂线与的中垂线交于点，记点的轨迹为 .
（2）过作直线与曲线相交于，两点，求 的
取值范围.
解：由题意得，直线的斜率存在且不为0.设 的方程为
，与联立消去得 ，
由得 ，
斜率的取值范围为.
设， ，则， ，
，
， ，故，
的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一（1）相交,两个交点,相切,一个交点,相离,没有交点（2）一个,平行或重合
【诊断分析】（1）×（2）√
知识点二 （1）,,（2）（3）
课中探究 例1.当或时，与无公共点；当或时，与只有一个公共点；
当或时，与有两个公共点. 变式.或或.
例2.（1）.（2）. 变式.（1） （2）.
例3.. 变式.（1）抛物线方程为，焦点为.（2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.D 4.D 5.C 6.AC 7. 8.2 9.（1）（2）证明略
10.D 11.ACD 12. 13.
14.（1）． （2）或
15.ABD 16.（1） （2）第2课时 直线与抛物线的位置关系
【课前预习】
知识点一
(1)相交 两个交点 相切 一个交点
相离 没有交点
(2)一个 平行或重合
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)直线与抛物线只有一个公共点,除了相切的情况外,还有直线与抛物线的对称轴平行或重合的情况.
知识点二
·
·
(1)x1+x2+p -p2 (2)2p
(3)
【课中探究】
探究点一
例1 解:由题知直线l的方程为y-1=k(x-1),将x=-代入整理得ky2+2y+2k-2=0.
当k=0时,把y=1代入y2=-2x,得x=-,
所以直线l与抛物线C只有一个公共点.
当k≠0时,Δ=4-4k(2k-2)=-8k2+8k+4,
由Δ=0,得k=.所以当k<或k>时,Δ<0,l与C无公共点;当k=时,Δ=0,l与C只有一个公共点;
当0,l与C有两个公共点.
综上,当k<或k>时,l与C无公共点;
当k=或k=0时,l与C只有一个公共点;
当变式 解:当直线l的斜率不存在时,由直线l过点A(0,2)可知,直线l的方程为x=0.
由得y=0,此时直线l与抛物线C只有一个公共点O(0,0).
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=kx+2,由消去x,得ky2-6y+12=0.
当k=0时,得-6y+12=0,即y=2,可知此时直线l与抛物线C交于点;当k≠0时,判别式Δ=36-48k,
由Δ=0得k=,可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点,直线l的方程为y=x+2,即3x-4y+8=0.
综上,直线l的方程为x=0或3x-4y+8=0或y=2.
探究点二
例2 解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为l的倾斜角为,F(1,0),所以直线l的方程为y=(x-1).
由可得x2-14x+1=0,
则x1+x2=14,所以|AB|=x1+x2+p=16.
(2)由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线C:y2=4x上,得=4x1,=4x2,
所以-=(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).
因为线段AB的中点坐标为(3,-2),所以y1+y2=-4,
所以-4(y1-y2)=4(x1-x2),所以l的斜率为=-1,
所以l的方程为y+2=-(x-3),即x+y-1=0.
变式 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y化简得x2-2kx-2=0,∴Δ=4k2+8>0,则x1+x2=2k,x1x2=-2.∵|AB|=·=·=2,∴k4+3k2-4=0,
又k2≥0,∴k2=1,∴k=±1.
(2)设弦AB的中点为M,并设A,B,M的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x,y).
当直线的斜率不存在时,易得M(2,0).当直线的斜率存在时,x1≠x2,由题意得①-②,得-=2(x1-x2),又y1+y2=2y,
所以=(y≠0).
因为kAB=kMQ,即=(x≠2),所以=,
即y2-y=x-2,所以=x-(除去点(2,0)).
又点(2,0)的坐标满足上式,故弦AB中点的轨迹方程为=x-.
探究点三
例3 解:由题可知抛物线的焦点为F(1,0),显然直线l的斜率不为0,
设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x整理得y2-4my-4=0,
所以Δ=16m2+16>0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
又B(-1,2),所以=(x1+1,y1-2),=(x2+1,y2-2).
因为∠MBN=90°,所以·=(x1+1)(x2+1)+(y1-2)(y2-2)=0,
即x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0,
即1+4m2+2+1-4-8m+4=0,解得m=1,
所以直线l的方程为x=y+1,即x-y-1=0.
变式 解:(1)因为点A(2,4)在抛物线y2=2px(p>0)上,
所以42=4p,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x,焦点为F(2,0).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得x2+(2m-8)x+m2=0,
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2,
所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2.
因为OP⊥OQ,所以·=0,
则x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
所以2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8,
又当m=0时,直线l过原点O,
不符合题意,故舍去,
所以实数m的值为-8.第2课时 直线与抛物线的位置关系
1.C [解析] 因为点A在C上,所以过点A且与C相切的直线只有1条,该切线满足题意.过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点,所以满足题意的直线有2条.故选C.
2.A [解析] 方法一:设抛物线上一点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,则该点到直线y=4x-5的距离d==,所以当x=时,d取得最小值,此时该点的坐标为.
方法二:设与直线y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线的方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0.由Δ=16-4×4×(-m)=0,得m=-1.易知切点为,切点到直线y=4x-5的距离最短.
3.D [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|+|FB|=x1+x2+6.由得x2-7x+4=0,∴x1+x2=7,∴|FA|+|FB|=13,故选D.
4.D [解析] 抛物线x2=4y的焦点F(0,1),直线l的方程为y=x+1,由得3y2-10y+3=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,|AB|=y1+y2+2=.故选D.
5.C [解析] 由题意知,M,N两点到准线x=-2的距离之和等于9,由抛物线定义得|MN|=9,而在抛物线y2=8x过焦点的弦中,弦长的最小值为2p=8,而|MN|=9,根据过焦点的弦的对称性知,这样的弦有且仅有两条.故选C.
6.AC [解析] 由可得
或所以直线y=2x与抛物线C的交点坐标为(0,0)和(4p,8p),所以=4,解得p=1(负值舍去),故抛物线C的方程为x2=2y,焦点坐标为,准线方程为y=-.故A,C正确,B,D错误.故选AC.
7.x=- [解析] 由得y2-4py+4p=0.因为抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:y=x+1相切,所以Δ=16p2-16p=0,解得p=1或p=0(舍去),所以抛物线C的方程为y2=2x,其准线方程为x=-.
8.2 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),过F的直线l的方程为x=my+,与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,故y1+y2=2pm.|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=my1++my2++p=m(y1+y2)+2p=2pm2+2p≥2p,故当|AB|=2p时,动直线l有且仅有一条,即2p=4,故p=2.
9.解:设点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题意知,直线l的方程为y=x-3,由得x2-9x+9=0,则x1+x2=9,x1x2=9,所以|AB|=·=×=3.
(2)证明:设l的方程为x=3+my,由消去x得y2-3my-9=0,
则y1y2=-9,所以x1x2=·=9,所以·=x1x2+y1y2=0,所以⊥,即OA⊥OB.
10.D [解析] 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),设点P(x1,y1),Q(x2,y2),若直线PQ与x轴重合,则直线PQ与抛物线y2=8x只有一个交点,不合乎题意,设直线PQ的方程为x=my+2,由可得y2-8my-16=0,Δ=64m2+64>0,由根与系数的关系可得y1+y2=8m,所以x1+x2=m(y1+y2)+4=8m2+4,设线段PQ的中点为E(x,y),则x=4m2+2,y=4m,则m=,所以x=4×+2,化简可得y2=4(x-2).因此,线段PQ的中点的轨迹方程为y2=4(x-2).故选D.
11.ACD [解析] 易得l的斜率存在,设l:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-8kx-8b=0,则由x1+x2=8k=2×4,得k=1.由|AB|=·=·=4,得b=-,所以l:y=x-,弦AB中点的纵坐标为4-=,|AF|+|BF|=y1+y2+4=x1-+x2-+4=8-3+4=9.故A,C,D正确,B错误,故选ACD.
12.(-∞,-3) [解析] 设抛物线上关于直线y=x+m对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),由条件可知,=-1,即y1+y2=-4,所以AB中点的纵坐标为-2,横坐标为-2-m,即中点坐标为(-2-m,-2),由题意可知,AB的中点应在抛物线内,即(-2)2<4×(-2-m),解得m<-3.
13.4x+y-20=0 [解析] 由点A(1,4)在抛物线上,得16=2p,解得p=8,则抛物线方程为y2=16x,F(4,0),设点B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由++=0,得
故BC的中点坐标为.过点B,C的直线的斜率k====-4,则过点B,C的直线方程为y+2=-4,即4x+y-20=0.
14.解:(1)由题知,xA=2,由抛物线的定义知,|AF|=xA+=2+=3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),由题知直线MN的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由题易知k≠0,∴x1+x2=,x1x2=1,
∴|MN|=|x1-x2|=
=
=,
又∵原点O到直线MN的距离d=,∴S△MON=|MN|·d=××==,解得k=±2,
∴直线MN的方程为y=2x-2或y=-2x+2.
15.ABD [解析] 对于A,易知准线方程为y=-1,∴p=2,故A正确;对于B,C:x2=4y,设过点T(1,-1)的直线方程为y+1=k(x-1),代入y=,得-kx+k+1=0,当直线与C相切时,有Δ=0,即k2-k-1=0(*),设TA,TB的斜率分别为k1,k2,易知k1,k2是(*)的两根,则k1k2=-1,故TA⊥TB,故B正确;对于C,设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=,则TA:y-=(x-x1),即y=x-y1,代入(1,-1)得x1-2y1+2=0,同理可得x2-2y2+2=0,故AB:x-2y+2=0,故kAB=,故C错误;对于D,同C,切线TA:y=x-y1,切线TB:y=x-y2,代入(t,-1)得-1=t-y1,-1=t-y2,故直线AB的方程为-1=t-y,即y=x+1,与x2=4y联立得x2-2tx-4=0,则x1+x2=2t,x1x2=-4,故|x1-x2|==2,又点T(t,-1)到直线tx-2y+2=0的距离d==,故S△TAB=|x1-x2|d=(t2+4,故当t=0时,△TAB面积的最小值为×=4,故D正确.故选ABD.
16.解:(1)连接MF,由已知得|MF|=|MN|,故M的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线,
设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),则=2,故p=4,
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由题意得,直线m的斜率存在且不为0.设l的方程为y=k(x+2)(k≠0),与y2=8x联立消去x得ky2-8y+16k=0,
由Δ=64-4×16k2>0得-1∴斜率k的取值范围为(-1,0)∪(0,1).设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=16,
∴|TA||TB|=·=·=·=|y1y2|=16,
∵k∈(-1,0)∪(0,1),∴>1,
故16>32,∴|TA|·|TB|的取值范围为(32,+∞).第2课时 直线与抛物线的位置关系
【学习目标】
1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题.
2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
◆ 知识点一 直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,则有
判别式 位置关系 交点情况
Δ>0 直线与抛物线
Δ=0 直线与抛物线
Δ<0 直线与抛物线
(2)若k=0,则直线与抛物线有 交点,此时直线与抛物线的对称轴 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. ( )
(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. ( )
◆ 知识点二 弦长公式
若直线(斜率为k且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=
= .
(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则|AB|= ,x1x2= ,y1y2= .
(2)若直线AB过抛物线的焦点F且垂直于x轴,则|AB|= .
(3)若直线AB过抛物线的焦点F且直线的倾斜角为α,则|AB|= .
◆ 探究点一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l的斜率为k,当k取何值时,l与C有一个公共点,有两个公共点,无公共点
变式 已知点A(0,2)和抛物线C:y2=6x,求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.
[素养小结]
当直线与抛物线有两个交点时,设直线方程的方法如下:
若抛物线的方程为y2=±2px(p>0),则设直线l的方程为x=my+n;
若抛物线的方程为x2=±2py(p>0),则设直线l的方程为y=kx+m.
◆ 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题
例2 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与C交于A,B两点.
(1)若l的倾斜角为且l过点F,求|AB|;
(2)若线段AB的中点坐标为(3,-2),求l的方程.
变式 (1)若直线l:y=kx+1与抛物线x2=2y交于A,B两点,且|AB|=2,求实数k的值.
(2)已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB中点的轨迹方程.
[素养小结]
“中点弦”问题的两种解题策略
(1)点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=求斜率,再由点斜式求解.
(2)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,进而求解.
◆ 探究点三 抛物线的综合问题
例3 [2025·湖南长郡中学高二月考] 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线l与抛物线C交于M,N两点,若点B(-1,2)满足∠MBN=90°,求直线l的方程.
变式 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,4)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的方程与焦点坐标;
(2)不过原点O的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.
[素养小结]
与抛物线有关的综合问题,体现在最值、定点和定值方面,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这些问题的关键是代换和转化.第2课时 直线与抛物线的位置关系
1.过点A(1,1)且与抛物线C:y2=x只有1个公共点的直线有 ( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
2.当抛物线y=4x2上的点到直线y=4x-5的距离最短时,该点的坐标是 ( )
A. B.(0,0)
C.(1,2) D.(1,4)
3.若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A,B两点,F是抛物线的焦点,则|FA|+|FB|= ( )
A.2 B.9
C.5 D.13
4.过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于A,B两点,则|AB|= ( )
A. B.4
C. D.
5.过抛物线y2=8x的焦点的直线与抛物线相交于M,N两点,若M,N两点到直线x=-3的距离之和等于11,则这样的直线 ( )
A.不存在
B.有且仅有一条
C.有且仅有两条
D.有无穷多条
6.(多选题)已知抛物线C:x2=2py(p>0),且直线y=2x被抛物线所截得的弦长为4,则 ( )
A.抛物线C的焦点坐标为
B.抛物线C的准线方程为y=-
C.抛物线C的方程为x2=2y
D.抛物线C的方程为x2=y
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:y=x+1相切,则C的准线方程为 .
8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的动直线l与抛物线交于A,B两点,满足|AB|=4的直线l有且仅有一条,则p= .
9.(13分)在平面直角坐标系xOy中,过点T(3,0)的直线l与抛物线C:y2=3x相交于点A,B.
(1)若直线l的斜率为1,求|AB|;
(2)求证:OA⊥OB.
10.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,则线段PQ的中点的轨迹方程为 ( )
A.y=4x-1 B.y2=-+1
C.y2=-1 D.y2=4(x-2)
11.(多选题)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,直线l与C交于A,B两点,弦AB中点的横坐标为4,|AB|=4,则 ( )
A.l的斜率为1
B.l在y轴上的截距为
C.弦AB中点的纵坐标为
D.|AF|+|BF|=9
12.已知m∈R,在拋物线y2=4x上存在两个不同的点关于直线y=x+m对称,则m的取值范围是 .
13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(1,4)和点B,C在抛物线上,且++=0,则过点B,C的直线方程为 .
14.(15分)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,A在C上且位于第一象限,点B在y轴上,AB⊥y轴,|AB|=2,|AF|=3.
(1)求C的方程;
(2)过F作斜率为k的直线与C交于M,N两点,△MON的面积为(O为坐标原点),求直线MN的方程.
15.(多选题)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(t,-1)作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则下列说法正确的是 ( )
A.p=2
B.当t=1时,TA⊥TB
C.当t=1时,直线AB的斜率为2
D.△TAB面积的最小值为4
16.(15分)已知定点F(2,0),动点N在直线l:x=-2上,过点N作l的垂线与NF的中垂线交于点M,记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)过T(-2,0)作直线m与曲线C相交于A,B两点,求|TA|·|TB|的取值范围.
