(共52张PPT)
拓展微课（一） 圆锥曲线的离心率
类型一 求离心率的值
类型二 求离心率的取值范围
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
圆锥曲线的离心率是圆锥曲线重要的几何性质之一，也是考试命
题的热点.圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切，容易产生知识交
汇，也可以与非解析几何知识结合检测综合分析能力，椭圆与双曲线
也可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合.圆锥曲线的离心率
问题主要包括:①已知圆锥曲线满足某一条件,求圆锥曲线离心率的值;
②已知圆锥曲线满足某一条件,求圆锥曲线离心率的取值范围.
类型一 求离心率的值
求解离心率的值的方法主要有：
①通过已知条件列出方程组，解出, 的值；
②由,的关系求离心率（椭圆）或 （双曲线）；
③由已知条件得关于,的齐次式，再转化为关于 的一元二次方程；
④通过特殊值或特殊位置求离心率；
⑤在焦点三角形内求离心率.
角度1 利用圆锥曲线基本量求离心率
例1 已知双曲线过点 ，且其顶点与
椭圆 的左、右顶点相同，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 因为双曲线的焦点在 轴上，所以顶
点在轴上.
因为椭圆的左、右顶点分别为， ，所以.
因为双曲线过点，所以，所以 ，
所以，所以 ，故选B.
变式 已知椭圆的一个焦点为,则 的离心
率为___.
[解析] 由题知，椭圆的焦点在轴上，故 ,
所以,所以 .
角度2 结合焦点三角形利用定义求离心率
例2（1）已知，分别是双曲线 的左、
右焦点，为上一点，且 ， ，则双曲
线 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ，结合双曲线的定义可得
，所以， .
因为 ，所以由余弦定理可得
，
即 ，整理得 ，
所以，则双曲线的离心率 .故选B.
（2）如图，椭圆 的左、右焦点
分别为，，以 为边作正三角形，
且的边与椭圆交于 , 两点，若， 分别为
所在边的中点，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接,因为正三角形 的边的中点
为， ,所以,,
，所以 ，
由椭圆的定义可得，即 ，
则离心率 .故选D.
变式（1）已知,分别是椭圆的左、右焦点，是
上的一点，若，且，则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由得 ，则，
设椭圆的长半轴长为 ，则由椭圆的定义可知，
所以 ，即 ，
所以，
又 ，所以，即，
所以的离心率为 .故选C.
（2）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，，为以 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点，若
，则双曲线 的离心率为_______.
[解析] 由题意， ，因为 ， ，
所以， ，
又由双曲线的定义得，
则双曲线 的离心率 .
角度3 利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率
例3(1)[2025·宁波中学高二期中]已知椭圆，
点为左焦点，点为下顶点，平行于 的直线交椭圆于,两点，
且的中点为 ，则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 椭圆的左焦点为 ，下顶点为
，设，，的中点为 ，
，， .
由， ，两式相减得
，可化为 ，得
，即，两边平方得 ，
化为，解得，又， .故选A.
（2）已知右焦点为的椭圆上的三点 ，
，满足直线过坐标原点，若于点，且 ，
则 的离心率是___.
[解析] 设椭圆的左焦点为，如图，连接, , ，
因为点平分,，所以四边形 为平行四边形，
又因为，所以四边形 为矩形.
设，则 ,
,，
在 中，，
所以 ，
整理可得，所以，
在 中， ，
所以，所以，所以 .
变式 已知双曲线，斜率为的直线与
的左、右两支分别交于点，，点的坐标为，直线交
于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则 的
离心率为____.
[解析] 设，，线段的中点为 ，
由两式相减得 ，
.
设，
同理可得.
， ，易知,,三点共线， ，
将①②代入得，即 ，
即，
又，，即 ， .
类型二 求离心率的取值范围
求解离心率的取值范围的常见思路：
①通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为求
离心率的取值范围.
②通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围.
例4(1)[2025·重庆巴蜀中学高二期中]已知双曲线
的两条渐近线之间的夹角小于 ，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由知，又两条渐近线之间的夹角小于 ，所以
，故离心率 .故选B.
（2）已知，是椭圆长轴的两个端点， 是
椭圆上的一点，直线与的斜率之积 ，则此椭
圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设点，则，且 ，可得，
令， ，
所以，
所以 ，可得，
故 .故选D.
（3）［2025·沈阳东北育才学校高二期中］已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点，，点 为两曲线的一个公共点，且
，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为 ，那么
的最小值为_____.
[解析] 设两曲线的半焦距为 ，由余弦定理得
，
在椭圆中， ，得 ，
在双曲线中， ，得，从而，得 ，
则，，所以 ，则，即 ，
所以，当且仅当 时等号成立.
变式（1）［2025·浙江强基联盟高二联考］已知椭圆
的左、右焦点分别为， ，若总存在一
条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆
的离心率 的取值范围是______.
[解析] 设点关于直线的对称点为，则 ，
，，，即，
又 椭圆的离心率的取值范围是 .
（2）已知双曲线，点 是直线
上任意一点，若圆 与双曲
线 的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，双曲线 的一条渐近线
方程为，即，则直线 与直线
间的距离，
是直线上任意一点，
圆 与双曲线的右支没有公共点，
，即，即，
又 ，故的取值范围为 ，故选B.
（3）［2025·厦门双十中学高二期中］已知， 是椭圆与双曲线的
公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段 的中
垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为 ，它们的公共
焦距为，不妨设点在第一象限.
在 的中垂线上， .
由椭圆、双曲线的定义得， ，
，整理得， ，
即，， .
令，则在 上单调递增，
且，， .故选B.
练习册
1.［2025·北京101中学高二期中］椭圆 的离心率为( )
A.2 B. C. D.
[解析] 由椭圆可得，，故 ，
故离心率 .故选C.
√
2.［2025·六安高二期中］已知椭圆 ，若
，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得该椭圆的离心率
.故选A.
√
3.[2025·天津滨海新区高二期中]已知双曲线的
一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的离心率为( )
A.5 B. C. D.
[解析] 因为双曲线 的一条渐近线的方程为
，所以，所以该双曲线的离心率为 .
故选B.
√
4.［2025·阜阳一中高二期中］已知椭圆 的一
个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为 ，则椭圆的离
心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，焦点三角形的周长为，面积为 ，又其内
切圆的半径为，所以，可得 ，
则 .故选A.
√
5.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点， ，
，则 的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，， ，
, ，由椭圆的定义得
，即，
，故椭圆的离心率为 .故选D.
√
6.已知过点可作出双曲线 的两条切
线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线 的离心率的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，点必在渐近线, 轴和双曲线
右支围成的区域内（不包括边界），如图， ，
得，，， ，
.故选D.
√
7.［2025·温州十校高二期中］已知椭圆 的
左、右焦点分别为,，为坐标原点，以为圆心， 为半径的
圆与椭圆交于，两点，若，则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接，由题意得， ，由椭圆的定义得
，故，
取的中点 ，连接，则 ，
可得，即，所以 ，
故选B.
8.［2025·湖北武钢三中高二月考］已知双曲线
的左焦点为，过坐标原点作的一条渐近线的垂线，直线与 交
于，两点，若的面积为，则 的离心率为( )
A.3 B. C.2 D.
√
[解析] 由题意可知，， ，不妨
取与垂直的渐近线方程为，则，
由 可得，
由，可得 ，所以，
由对称性可知为线段 的中点，则
，即 ，可得
，则，所以的离心率 .故选B.
9.已知直线与双曲线 的右支
交于点，若是坐标原点的垂直平分线经过的右焦点 ，则
的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接 ，则 ，
则 ，所以，所以 ，
结合，可得 ，
所以，可得 ，则 .故选C.
10.［2025·杭州高二期末］设是双曲线
的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为 ，
若的内切圆的半径，则双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，， ，
所以 ，
可得，两边平方可得，
可得 ，所以 .故选A.
√
11.设是等腰三角形， ，则以， 为焦点且过
点 的双曲线的离心率为_ ____.
[解析] 由题意得，所以 ，
由双曲线的定义，有 ，
所以，所以离心率 .
12.［2025·安徽江淮十校高二联考］装有水的圆柱体茶杯，适当倾斜
能得到椭圆形水面，则当椭圆形水面与圆柱底面的夹角为 时，
椭圆的离心率为__.
[解析] 如图，设椭圆的长轴长为，短轴长为 ，则圆
柱底面圆的直径，， 椭圆形水面与圆
柱底面的夹角为 ，，即 ，
.
13.过点作直线与椭圆 相
交于,两点，若是线段 的中点，则该椭圆的离心率是___.
[解析] 设，，由直线的斜率为 可得，
由线段的中点为可得， ，
由点,在椭圆上可得两式作差得 ，
即，所以 ，
所以，所以该椭圆的离心率 .
14.［2025·重庆南开中学高二期中］已知 为椭圆
的右焦点，，为圆 上关于原
点对称的两个点，若恒成立，则该椭圆的离心率 的取值
范围是_______.
[解析] 由题知，当且仅当,为椭圆短轴的两个端点时， 取得
最大值，所以只需此时的，
显然，此时 为等腰三角形，且, ，
所以，则 ，
故，又，所以该椭圆的离心率 的取值范
围是 .
快速核答案（导学案)
例1.B 变式.
例2.（1）B （2）D 变式.（1）C （2）
例3.（1）A （2） 变式.
类例4.（1）B （2）D （3） 变式.（1） （2）B （3）B
快速核答案（练习册)
1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A 11. 12. 13.
14.拓展微课(一) 圆锥曲线的离心率
类型一
例1 B [解析] 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,所以顶点在x轴上.因为椭圆+=1的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),所以a=2.因为双曲线过点(2,1),所以-=1,所以b=1,所以c==,所以e==,故选B.
变式 [解析] 由题知,椭圆的焦点在x轴上,故c==2,所以a=2,所以e===.
例2 (1)B (2)D [解析] (1)由|PF1|=3|PF2|,结合双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=3a.因为∠F1PF2=120°,所以由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 120°,即4c2=9a2+a2-2·3a·a·cos 120°,整理得4c2=13a2,所以=,则双曲线C的离心率e==.故选B.
(2)如图,连接BF2,因为正三角形AF1F2的边AF1的中点为B,|F1F2|=2c,所以|BF1|=c,∠AF1F2=,∠F1BF2=,所以|BF2|=c,由椭圆的定义可得|BF1|+|BF2|=2a,即c+c=2a,则离心率e===-1.故选D.
变式 (1)C (2)+1 [解析] (1)由·=0得⊥,则|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2=4c2,设椭圆E的长半轴长为a,则由椭圆的定义可知|F1P|+|F2P|=2a,所以(|F1P|+|F2P|)2=4a2,即|F1P|2+|F2P|2+2|PF1|·|PF2|=4a2,所以|PF1|·|PF2|=2a2-2c2,又=|PF1|·|PF2|=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以E的离心率为=.故选C.
(2)由题意,∠F1PF2=90°,因为∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=c,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=c-c=2a,则双曲线C的离心率e===+1.
例3 (1)A (2) [解析] (1)椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),下顶点为P(0,-b),设A(x1,y1),B(x2,y2),∵AB的中点为M,∴x1+x2=2,y1+y2=1.∵PF∥l,∴kPF=kl=-=.由+=1,+=1,两式相减得+=0,可化为=-·,得-=-,即2bc=a2,两边平方得4b2c2=4c2(a2-c2)=a4,化为4e4-4e2+1=0,解得e2=,又0(2)设椭圆的左焦点为F',如图,连接AF',BF',CF',因为O点平分FF',AB,所以四边形FAF'B为平行四边形,又因为BF⊥AC,所以四边形FAF'B为矩形.设|CF|=m(m>0),则|BF|=|AF'|=4m,|BF'|=|AF|=2a-4m,|CF'|=2a-m,在Rt△ACF'中,|AF'|2+|AC|2=|CF'|2,所以(4m)2+(2a-3m)2=(2a-m)2,整理可得am=3m2,所以m=,在Rt△AFF'中,|AF'|2+|AF|2=|FF'|2,所以+=4c2,所以=,所以=.
变式 [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(xM,yM),由两式相减得=·=·=-,∴yM=-·xM①.设C(x3,y3),D(x4,y4),线段CD的中点为N(xN,yN),同理可得yN=-·xN②.∵kAB=kCD,∴AB∥CD,易知P,M,N三点共线,∴=,将①②代入得=,即xM+3xN=xN+3xM,即(xM-xN)=0,又xM≠xN,∴-3=0,即a2=b2,∴e=.
类型二
例4 (1)B (2)D (3)
[解析] (1)由a>b知<1,又两条渐近线之间的夹角小于,所以∈=,故离心率e=∈.故选B.
(2)设点M(x0,y0),则y0≠0,且+=1,可得=a2-,令A(-a,0),B(a,0),所以kAMkBM=·===-,所以->-,可得0<<,故e===∈.故选D.
(3)设两曲线的半焦距为c,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,在椭圆中,|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cos 60°),得|PF1||PF2|==,在双曲线中,|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°),得|PF1||PF2|==4b2,从而=4b2,得n2=3b2,则m2=n2+c2=3b2+c2,a2=c2-b2,所以m2+3a2=4c2,则+=4,即+=4,所以+=(+)=≥(4+2)=,当且仅当==时等号成立.
变式 (1) (2)B (3)B
[解析] (1)设点F2关于直线l的对称点为P,则|PF1|=|F1F2|,∵|PF1|≥a-c,∴2c≥a-c,∴3c≥a,即e≥,又0(2)由题意,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,则直线bx-ay+4a=0与直线bx-ay=0间的距离d==,∵P(x0,y0)是直线bx-ay+4a=0上任意一点,圆(x-x0)2+(y-y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点,∴d≥1,即≥1,即e=≤4,又e>1,故e的取值范围为(1,4],故选B.
(3)设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,它们的公共焦距为2c,不妨设点P在第一象限.∵F2在PF1的中垂线上,∴|PF2|=|F1F2|=2c.由椭圆、双曲线的定义得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=2a1-2c=2a2+2c,整理得a1-a2=2c,∴-=2,即-=2,∴=+2,∴+4e2=+4e2+2.令f(x)=+4x+2,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,且f(1)=1+4+2=7,∵e2>1,∴+4e2>7.故选B.拓展微课(一) 圆锥曲线的离心率
1.C [解析] 由椭圆+y2=1可得a=2,b=1,故c==,故离心率e==.故选C.
2.A [解析] 由a=3b,得该椭圆的离心率e======.故选A.
3.B [解析] 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=-2x,所以=2,所以该双曲线的离心率为==.故选B.
4.A [解析] 由题知,焦点三角形的周长为2(a+c),面积为bc,又其内切圆的半径为,所以bc=××2(a+c)=,可得2c=a,则e==.故选A.
5.D [解析] 由题意得,|F1F2|=2c.∵PF1⊥PF2,∠PF1F2=,∴|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|=c,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,∴==-1,故椭圆C的离心率为-1.故选D.
6.D [解析] 由题意知,点P必在渐近线y=x,x轴和双曲线右支围成的区域内(不包括边界),如图,∴>=2,得b2>4a2,∴c2-a2>4a2,∴c2>5a2,∴e2>5,∴e>.故选D.
7.B [解析] 连接MF2,由题意得,|F1F2|=|MF2|=2c,由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,故|MF1|=|OM|=2a-2c,取OF1的中点D,连接MD,则|MD|==,可得2a-2c=c,即2a=(2+)c,所以e===2-,故选B.
8.B [解析] 由题意可知a=1,c==,F(-c,0),不妨取与l垂直的渐近线方程为y=bx,则l:x=-by,由可得y2-1=0,由Δ=4>0,可得b2>1,所以|y|=,由对称性可知O为线段AB的中点,则S△ABF=2S△AOF=2××c×=,即=,可得b=2,则c==,所以C的离心率e==.故选B.
9.C [解析] 如图,连接MF,则∠MOF=∠OMF=30°,则|OF|=|MF|=c,所以M,所以-=1,结合c2=a2+b2,可得9c4-16a2c2+4a4=0,所以9e4-16e2+4=0,可得e2=,则e=.故选C.
10.A [解析] 由题意可得|FH|=b,|OH|=a,|OF|=c,所以S△FOH=ab=(a+b+c)·r=(a+b+c)·b,可得3a-c=b,两边平方可得9a2-6ac+c2=c2-a2,可得5a=3c,所以e==.故选A.
11. [解析] 由题意得2c=|AB|,所以|AC|=2×2c×sin 60°=2c,由双曲线的定义,有2a=|AC|-|BC|=2c-2c,所以a=(-1)c,所以离心率e===.
12. [解析] 如图,设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则圆柱底面圆的直径BC=2b,AB=2a,∵椭圆形水面与圆柱底面的夹角为30°,∴cos 30°==,即=,∴e===.
13. [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线AB的斜率为-可得=-,由线段AB的中点为M(1,2)可得=1,=2,由点A,B在椭圆上可得两式作差得+=0,即+=0,所以+=0,所以=-=,所以该椭圆的离心率e===.
14. [解析] 由题知,当且仅当A,B为椭圆短轴的两个端点时,∠AFB取得最大值,所以只需此时的∠AFB≤,显然,此时△ABF为等腰三角形,且|FA|=|FB|=a,|AB|=2b,所以cos∠AFB==1-≥,则≤,故e=≥,又0 圆锥曲线的离心率是圆锥曲线重要的几何性质之一,也是考试命题的热点.圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇,也可以与非解析几何知识结合检测综合分析能力,椭圆与双曲线也可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合.圆锥曲线的离心率问题主要包括:①已知圆锥曲线满足某一条件,求圆锥曲线离心率的值;②已知圆锥曲线满足某一条件,求圆锥曲线离心率的取值范围.
类型一 求离心率的值
求解离心率的值的方法主要有:
①通过已知条件列出方程组,解出a,c的值;
②由a,b的关系求离心率e=(椭圆)或e=(双曲线);
③由已知条件得关于a,c的齐次式,再转化为关于e的一元二次方程;
④通过特殊值或特殊位置求离心率;
⑤在焦点三角形内求离心率.
角度1 利用圆锥曲线基本量求离心率
例1 已知双曲线-=1(a>0,b>0)过点(2,1),且其顶点与椭圆+=1的左、右顶点相同,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.2
变式 已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 .
角度2 结合焦点三角形利用定义求离心率
例2 (1)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作正三角形AF1F2,且△AF1F2的边与椭圆交于B,C两点,若B,C分别为所在边的中点,则椭圆的离心率是 ( )
A. B.
C. D.-1
变式 (1)已知F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆E的左、右焦点,P是E上的一点,若·=0,且=c2,则E的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为以F1F2为直径的圆与双曲线的右支的一个交点,若∠PF1F2=30°,则双曲线C的离心率为 .
角度3 利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率
例3 (1)[2025·宁波中学高二期中] 已知椭圆+=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M,则椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知右焦点为F的椭圆E:+=1(a>b>0)上的三点A,B,C满足直线AB过坐标原点,若BF⊥AC于点F,且|BF|=4|CF|,则E的离心率是 .
变式 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),斜率为-的直线与E的左、右两支分别交于点A,B,点P的坐标为(-2,3),直线AP交E于另一点C,直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为-,则E的离心率为 .
类型二 求离心率的取值范围
求解离心率的取值范围的常见思路:
①通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围.
②通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围.
例4 (1)[2025·重庆巴蜀中学高二期中] 已知双曲线-=1(a>b>0)的两条渐近线之间的夹角小于,则双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A.(1,)
B.
C.(2,+∞)
D.∪(2,+∞)
(2)已知A,B是椭圆+=1(a>b>0)长轴的两个端点,M是椭圆上的一点,直线AM与BM的斜率之积kAM·kBM>-,则此椭圆的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(3)[2025·沈阳东北育才学校高二期中] 已知椭圆C1:+=1(m>n>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,点P为两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,那么+的最小值为 .
变式 (1)[2025·浙江强基联盟高二联考] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若总存在一条过F1的直线l,使得点F2关于直线l的对称点在椭圆C上,则椭圆C的离心率e的取值范围是 .
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),点P(x0,y0)是直线bx-ay+4a=0上任意一点,若圆(x-x0)2+(y-y0)2=1与双曲线C的右支没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 ( )
A.(1,2] B.(1,4]
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
(3)[2025·厦门双十中学高二期中] 已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的中垂线经过F2.记椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+4e2的取值范围是 ( )
A.(6,+∞)
B.(7,+∞)
C.(6,7)
D.(5,+∞)拓展微课(一) 圆锥曲线的离心率
1.[2025·北京101中学高二期中] 椭圆+y2=1的离心率为 ( )
A.2 B. C. D.
2.[2025·六安高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),若a=3b,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
3.[2025·天津滨海新区高二期中] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=-2x,则该双曲线的离心率为 ( )
A.5 B. C. D.
4.[2025·阜阳一中高二期中] 已知椭圆+=1(a>b>0)的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
5.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,PF1⊥PF2,∠PF1F2=,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.-1
6.已知过点P(2,4)可作出双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条切线,切点都在双曲线C的同一支上,则双曲线C的离心率的取值范围是 ( )
A.(1,) B.(,+∞)
C.(1,) D.(,+∞)
7.[2025·温州十校高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以F2为圆心,F1F2为半径的圆与椭圆C交于M,N两点,若|OM|=|MF1|,则椭圆C的离心率为 ( )
A.-1 B.2-
C.-1 D.2-
8.[2025·湖北武钢三中高二月考] 已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l,直线l与C交于A,B两点,若△ABF的面积为,则C的离心率为 ( )
A.3 B. C.2 D.
9.已知直线l:y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支交于点M,若OM(O是坐标原点)的垂直平分线经过C的右焦点F,则C的离心率为 ( )
A. B.+1
C. D.
10.[2025·杭州高二期末] 设F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,过F作C的一条渐近线的垂线,垂足为H,若△FOH的内切圆的半径r=b,则双曲线C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
11.设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 .
12.[2025·安徽江淮十校高二联考] 装有水的圆柱体茶杯,适当倾斜能得到椭圆形水面,则当椭圆形水面与圆柱底面的夹角为30°时,椭圆的离心率为 .
13.过点M(1,2)作直线y=-x+m与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则该椭圆的离心率是 .
14.[2025·重庆南开中学高二期中] 已知F为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,A,B为圆x2+y2=b2上关于原点对称的两个点,若∠AFB≤恒成立,则该椭圆的离心率e的取值范围是 .
