拓展微课(二) 抛物线焦点弦的性质
典型例题
例1 证明:方法一:若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k,其中k≠0,与方程y2=2px联立,得k2x2-p(k2+2)x+=0,
∴x1+x2=p,x1x2=,
∴|AB|=x1+x2+p=p+p=2p=2p=;
若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=,θ=,
易得|AB|=2p=,也满足上式.
综上,|AB|=.
方法二:当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为x=my+,
与方程y2=2px联立,得y2-2pmy-p2=0,
∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
∴|AB|=x1+x2+p=++p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1)=2p=.
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,θ=,易得|AB|=2p=,满足上式.
综上,|AB|=.
例2 证明: (1)若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k,其中k≠0,
与方程y2=2px联立,得k2x2-p(k2+2)x+=0(*),
∴x1+x2=p,x1x2=,
∴+=+==
=.
若直线AB的斜率不存在,则直线AB:x=,易求得|AF|=|BF|=p,
∴+=.
综上,命题得证.
(2)由A(x1,y1),B(x2,y2)得C,D,
由(1)可得,当直线AB的斜率存在时,y1y2=k·k=k2=-p2,
当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2,∴kOD========kOA,
∴A,O,D三点共线,同理可证B,O,C三点共线.
【归纳总结】
-p2 拓展微课(二) 抛物线焦点弦的性质
1.B [解析] 由抛物线焦点弦的性质知,x1x2=,y1y2=-p2,故==-4,故选B.
2.C [解析] 因为过抛物线C:y2=3x的焦点,且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,所以|AB|===12.故选C.
3.A [解析] 易知l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,得x1=3,因为点A(3,y1)在C上,所以=4×3=12,又点A在第一象限,所以y1=2,故A(3,2),又F(1,0),所以kl=kAF==,所以直线l的方程为y-0=(x-1),即y=(x-1).由得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=+2=.故选A.
4.AD [解析] 设直线AB的方程为x=ty+,将x=ty+代入y2=2px,得y2-2pty-p2=0,则y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2==.|AB|=|y1-y2|=2p(1+t2),当t=0时,|AB|最小,此时直线AB与x轴垂直,故A中说法正确;+=+==,故B中说法错误;以弦AB为直径的圆的圆心为,半径为|AB|=(x1+x2+p)=pt2+p,圆心到准线的距离d=(x1+x2)+p=pt2+p=|AB|,所以圆与准线x=-相切,故C中说法错误;y1y2=-p2,故D中说法正确.故选AD.
5.ACD [解析] 由题意得F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,AF的中点到y轴的距离d=(x1+1)=|AF|,所以以AF为直径的圆与y轴相切,故A正确;对于B,设直线AB的倾斜角为θ,过点A作AA1⊥l于点A1,过点B作BB1⊥l于点B1,如图,则|AF|cos θ+p=|AF|,则|AF|=,同理可得|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=+===,解得cos θ=±,所以θ=60°或θ=120°,故B错误;对于C,设线段AB的中点M(x0,y0),设直线AB:x=my+1,由消去x,得y2-4my-4=0,则Δ=16(m2+1)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,所以y0==2m,x0=my0+1=2m2+1,所以M(2m2+1,2m),P(m2,2m),N(-1,2m),|PM|=m2+1=|PN|,故C正确;对于D,①当直线AB的斜率不存在时,易得|AB|=2p=4,|EF|=2,所以=2;②当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1)(k≠0), 由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则Δ=4(k2+2)2-4k4=16(k2+1)>0,所以x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|==
=
=
,易知直线EF的方程为y=-(x-1),令x=-1,得E,所以|EF|==2,所以==2>2.综上可得,的最小值为2,故D正确.故选ACD.
6.BD [解析] 对于A选项,如图,过点P作PP'⊥l,垂足为P',由抛物线的定义知|PP'|=|PF|,所以Rt△PFQ与Rt△PP'Q全等,则∠FPQ=∠P'PQ,因为|PF|=2+,|QF|=,∠PFQ=90°,所以tan∠FPQ==-1,则tan∠P'PF=tan 2∠FPQ===1,则∠P'PF=45°,所以直线PF的倾斜角为45°,故A错误;对于B选项,设直线l与x轴交于点K,则|KF|=p,由上可知,∠QFK=45°,则△QFK为等腰直角三角形,因为|QF|=,则p2+p2=2,得p=1,所以抛物线方程为y2=2x,故B正确;对于C选项,由上可知,直线PF的方程为y=x-,设P(x1,y1),M(x2,y2),则|PF|=x1+=2+,可得x1=+,由整理得x2-3x+=0,则x1+x2=3,所以x2=-,则|MF|=x2+=2-,所以==3-2,故C错误;对于D选项,设线段PM的中点为E(x0,y0),则x0==,y0=x0-=1,则E,由上可知Q,则|QE|=2,又|PM|=|PF|+|FM|=2++2-=4=2|QE|,所以点Q在以线段PM为直径的圆上,故D正确.故选BD.
7.4 [解析] 由抛物线x2=4y,可得p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过抛物线的焦点,根据抛物线的焦点弦的性质可得|AB|=y1+y2+2=10,即y1+y2=8,所以AB的中点的纵坐标为=4.
8.5 [解析] 抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由|AF|=4|BF|,得x1=-4x2,可得x1=4或x1=-4,因此y1=4,所以|AF|=y1+1=5.
9.解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)∵直线l的斜率为1且过点F(1,0),∴直线l的方程为y=x-1,
由消去y得x2-6x+1=0,Δ=32>0,∴x1+x2=6,x1x2=1.
∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
(2)证明:由题可设直线l的方程为x=ky+1,由消去x得y2-4ky-4=0,Δ=16k2+16>0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-4.
则=(x1,y1),=(x2,y2).
∴·=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,∴·=-3是一个定值.
10.证明:设直线的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),
由可得y2-2pmy-p2=0,Δ=4p2m2+4p2>0,所以y1+y2=2pm,y1y2=-p2.
因为A1,B1,F,所以=(-p,y1),=(-p,y2),所以·=p2+y1y2=0,所以∠A1FB1=.拓展微课(二) 抛物线焦点弦的性质
[题目溯源]
(《选择性必修第一册》135页例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
模型条件:
如图,AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F,准线l:x=-,准线与x轴的交点为P,作AC⊥l,BD⊥l且M,N分别为线段AB,CD的中点.
典型例题
例1 若线段AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ (θ≠0),求证:|AB|=.
例2 若线段AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求证: +=.
(2)设l为抛物线的准线,作AC⊥l于C,BD⊥l于D,O为坐标原点,求证:A,O,D三点共线;B,O,C三点共线.
[归纳总结]
尝试根据上面的证明过程完成焦点弦性质的结论.(结论1~4对应题目溯源中的图)
结论1 x1x2= y1y2=
结论2 |AF|=x1+= |BF|=x2+=
|AB|=x1+x2+p=
结论3 +=
结论4 三个垂直:①CF⊥FD,②NF⊥AB,③AN⊥BN
结论5 四个相切: ①以AB为直径的圆必与准线相切(如图a); ②以CD为直径的圆与AB相切于F(如图b); ③以BF为直径的圆与y轴相切(如图c); ④以AF为直径的圆与y轴相切(如图d)拓展微课(二) 抛物线焦点弦的性质
1.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则=( )
A.4 B.-4 C.p2 D.-p2
2.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.6 C.12 D.7
3.[2025·南阳六校高二期末] 过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点,其中点A在第一象限,且|AF|=4,则|AB|= ( )
A. B.6 C. D.8
4.(多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是 ( )
A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小
B.+=
C.以弦AB为直径的圆与直线x=-相离
D.y1y2=-p2
5.(多选题)[2025·哈尔滨三中高二期末] 平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x,过C的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,则下列说法正确的是 ( )
A.以线段AF为直径的圆与y轴相切
B.若|AB|=,则直线AB的倾斜角为60°
C.过线段AB的中点M作y轴的垂线,交C于点P,交C的准线于点N,则点P为线段MN的中点
D.过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点E,则的最小值为2
6.(多选题)[2025·杭州学军中学高二月考] 已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P为抛物线C上位于第一象限内的点,直线l为抛物线C的准线,点Q在直线l上,若|PF|=2+,|QF|=,∠PFQ=90°,且直线PF与抛物线C交于另一点M,则下列结论正确的是 ( )
A.直线PF的倾斜角为60°
B.抛物线C的方程为y2=2x
C.=3+2
D.点Q在以线段PM为直径的圆上
7.已知AB是过抛物线x2=4y焦点的弦,且|AB|=10,则AB的中点的纵坐标为 .
8.[2025·清华大学附中高二期末] 已知抛物线x2=4y的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,若|AF|=4|BF|,则|AF|= .
9.(13分)设抛物线C:y2=4x,O为坐标原点,F为焦点,过F的直线l交抛物线于A,B两点.
(1)若l的斜率为1,求|AB|;
(2)求证:·是一个定值.
10.(15分)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,从A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,B1,求证:∠A1FB1=.(共30张PPT)
拓展微课（二） 抛物线焦点弦的性质
◆
◆
典型例题
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
［题目溯源］
（《选择性必修第一册》135页例4）斜率为1的
直线经过抛物线的焦点，且与抛物线
相交于,两点，求线段的长.
模型条件：
如图，为抛物线 的焦点弦，
,，焦点，准线，准线与 轴的交点
为，作，且，分别为线段， 的中点.
例1 若线段是抛物线的一条过焦点 的弦，其中
,，直线的倾斜角为 ，求证： .
证明：方法一：若直线的斜率存在，设直线 的方程为
，其中，与方程 联立，得
，， ，
；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为， ，
易得 ，也满足上式.综上， .
方法二：当直线的斜率存在时，设直线 的方程为
，
与方程联立，得 ，
, ，
.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为， ，易得
，满足上式.综上， .
例2 若线段是抛物线的一条过焦点 的弦，其中
, .
（1）求证： .
证明：若直线的斜率存在，设直线的方程为 ，其
中 ，与方程联立，得 ，
， ，
.
若直线的斜率不存在，则直线 ，易求得 ，
.综上，命题得证.
（2）设为抛物线的准线，作于，于， 为坐标原点，
求证：，，三点共线；，， 三点共线.
证明：由,得, ，
由（1）可得，当直线 的斜率存在时，
，
当直线的斜率不存在时， ，
，
，，三点共线，同理可证，， 三点共线.
［归纳总结］ 尝试根据上面的证明过程完成焦点弦性质的结论.
（结论 对应题目溯源中的图）
结论1
结论2
结论3 结论4
结论5
续表
练习册
1.过抛物线焦点的直线与此抛物线交于 ,
两点，则 ( )
A.4 B. C. D.
[解析] 由抛物线焦点弦的性质知，， ，故
，故选B.
√
2.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为 的直线交
于，两点，则 ( )
A. B.6 C.12 D.
[解析] 因为过抛物线的焦点，且倾斜角为 的直线交
于，两点，所以 .故选C.
√
3.［2025·南阳六校高二期末］过抛物线的焦点的直线 交于,两点，
其中点在第一象限，且，则 ( )
A. B.6 C. D.8
√
[解析] 易知的斜率存在，设, ，则，
得，因为点在 上，所以，又点在第一象限，
所以，故 ，又，所以，所以直线 的
方程为，即.
由 得，则 ，
由抛物线的定义，得 .故选A.
4.（多选题）经过抛物线的焦点 的直线交抛物线于
，两点，设， ，则下列说法中正确的是( )
A.当与轴垂直时， 最小
B.
C.以弦为直径的圆与直线 相离
D.
√
√
[解析] 设直线的方程为，将代入 ，
得，则， ，
， .
，当时， 最小，此时
直线与 轴垂直，故A中说法正确；
，故B中说法错误；
以弦
，圆心到准线的距离，
所以圆与准线 相切，故C中说法错误；
，故D中说法正确.故选 .
5.（多选题）［2025·哈尔滨三中高二期末］ 平面直角坐标系 中，
抛物线，过的焦点作直线交抛物线于， 两点，则下
列说法正确的是( )
A.以线段为直径的圆与 轴相切
B.若，则直线的倾斜角为
C.过线段的中点作轴的垂线，交于点，交的准线于点 ，
则点为线段 的中点
D.过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则 的最小
值为2
√
√
√
[解析] 由题意得，设, ，
则，的中点到 轴的距离
，所以以 为直径的圆
与轴相切，故A正确；
对于B，设直线 的倾斜角为 ，过点作于点，
过点于点,如图，则，
则 ，同理可得 ，所以
，解得 ，所以
或 ，故B错误；
对于C，设线段的中点，
设直线 ，由消去，
得 ，
则， , ，
所以 ， ，所以，， ， ，故C正确；
对于D，①当直线 的斜率不存在时，易得，，所以 ；
②当直线 的斜率存在时，设直线，
由 得 ，
则 ，
所以， ，
所以
，易知直线 的方程为，令 ，得，所以 ，所以.
综上可得， 的最小值为2，故D正确.故选 .
6.（多选题）［2025·杭州学军中学高二月考］ 已知点 为抛物线
的焦点，点为抛物线 上位于第一象限内的点，
直线为抛物线的准线，点在直线上，若 ，，
，且直线与抛物线交于另一点 ，则下列结论正确
的是( )
A.直线的倾斜角为
B.抛物线的方程为
C.
D.点在以线段 为直径的圆上
√
√
[解析] 对于A选项，如图，过点作，垂足为 ，
由抛物线的定义知，所以 与全等，
则 ，因为，，
,所以 ，
则 ，
则 ，所以直线的倾斜角为 ，故A错误；
对于B选项，设直线与轴交于点，则，
由上可知， ，则为等腰直角三角形，
因为 ，则，得，所以抛物线方程为 ，
故B正确；
对于C选项，由上可知，直线 的方程为，
设， ，则 ，
可得，由整理得，
则，所以 ，则，
所以 ，故C错误；
对于D选项，设线段的中点为 ，
则，，则 ，
由上可知，则 ，
又 ，
所以点在以线段为直径的圆上，故D正确.故选 .
7.已知是过抛物线焦点的弦，且，则 的中点
的纵坐标为___.
4
[解析] 由抛物线，可得，设, ，
因为直线 过抛物线的焦点，根据抛物线的焦点弦的性质可得
，即，所以 的中点的纵坐标
为 .
8.［2025·清华大学附中高二期末］已知抛物线的焦点为 ，
过的直线交抛物线于，两点，若，则 ___.
5
[解析] 抛物线的焦点为，设直线 的方程为，
,，
由消去 得，则，
由，得 ，可得或，
因此，所以 .
9.（13分）设抛物线，为坐标原点，为焦点，过 的
直线交抛物线于， 两点.
（1）若的斜率为1，求 ；
解：设
直线的斜率为1且过点， 直线的方程为 ，
由消去得， ，
， . .
，
是一个定值.
9.（13分）设抛物线，为坐标原点，为焦点，过 的
直线交抛物线于， 两点.
（2）求证： 是一个定值.
证明：由题可设直线的方程为，由消去 得
， ，
， .则， .
10.（15分）过抛物线的焦点 的直线与抛物线相交
于，两点，从，向抛物线的准线作垂线，垂足分别为, ，
求证： .
证明：设直线的方程为，, ，
由可得， ，
所以, .
因为,，，所以 ,
，所以，所以 .
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.A 4.AD 5.ACD 6.BD 7.4 8.5
9.（1）.（2）证明略 10.证明略
