本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)D (2)A [解析] (1)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为,故===,化简可得(a-)2=0,故a=,∴双曲线的方程为-=1.故选D.
(2)设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A.
变式 (1)C (2)A (3)x2=-4y
[解析] (1)方法一:根据椭圆的定义可知,|MF1|+|MF2|=6,所以|MF1|·|MF2|≤=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立,故|MF1|·|MF2|的最大值为9.
方法二:不妨设F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,则F1(-,0),F2(,0),设M(x,y),则|MF1|===
=.因为-3≤x≤3,所以x+3>0,所以|MF1|=3+x,又|MF1|+|MF2|=6,所以|MF2|=6-|MF1|=3-x,则|MF1|·|MF2|==9-x2,-3≤x≤3,所以当x=0时,|MF1|·|MF2|取得最大值9.故选C.
(2)由双曲线的方程可知a=4,b=3,则c==5.根据题意及双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=16,|PF2|=8,|F1F2|=10.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2P==
=-,故选A.
(3)由题意可知该抛物线的开口向下,故设其方程为x2=-2py(p>0),因为抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,所以M到准线y=的距离也为5,即+4=5,解得p=2,故该抛物线的标准方程为x2=-4y.
题型二
例2 (1)ABD (2)5 4 (3)
[解析] (1)点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由
得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD.
(2)设点M的坐标为(x0,y0).由题意知抛物线C的准线方程为x=-1,∵|FM|=6,∴x0+1=6,解得x0=5,∴|y0|=2,N(5,0),∴△MNF的面积为×(5-1)×2=4.
(3)∵|AB|=10,∴|AF2|=5,又∵|AF1|=13,AF2⊥F1F2,∴|F1F2|==12,∴2c=12,∴c=6.∵2a=|AF1|-|AF2|=8,∴a=4,∴e==.
变式 (1)A (2)D (3)
[解析] (1)由题可得e2=,又e2=e1,所以e1=,即=,解得a2=,所以a=.故选A.
(2)由双曲线C的离心率e=,得==1+=5,所以=2,所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.由题得圆的圆心为(2,3),半径r=1,则圆心到渐近线y=2x的距离d1==<1,即渐近线y=2x与圆相交,圆心到渐近线y=-2x的距离d2==>1,即渐近线y=-2x与圆相离,所以|AB|=2=2×=.故选D.
(3)设P(x0,y0),易知B(0,b),由+=1,得=a2,则|PB|2=+(y0-b)2=+-2by0+b2=a2+-2by0+b2=--2by0+a2+b2, y0∈[-b,b].由题知,当y0=-b时,|PB|2取得最大值,所以由二次函数图象的对称性知-≤-b,故b2≥c2,即a2-c2≥c2,所以≤,即椭圆C的离心率e∈.
例3 ABD [解析] 对于A,依题知曲线C的轨迹方程为·|x-a|=4.∵点(0,0)在曲线C上,∴|a|=2,又a<0,∴a=-2,故A正确.对于B,曲线C的方程为|x+2|·=4,令y=0,得|x2-4|=4,∴x=0或x=2,故B正确.对于C,由|x+2|·=4,得(x-2)2+y2=,∴y2=-(x-2)2,当x=时,y2=>1,∴C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D,=-(x0-2)2≤,即y0≤,故D正确.故选ABD.
变式 BCD [解析] 令x=0,可得y=±2,则P(0,2),Q(0,-2).对于A,将(-2,-2)代入曲线C的方程,可得(-2)2+(-2+|-2|)2=4成立,则点(-2,-2)在曲线C上,将(1,1)代入曲线C的方程,可得12+(1+|1|)2=5≠4,则点(1,1)不在曲线C上,故A错误;对于B,曲线C关于y轴对称,且点M的纵坐标的最小值小于-2,当x≥0且点M在直线y=-2下方时,y=-x-,即y=--,y2=x2+(4-x2)+2≤4+x2+(4-x2)=8,当且仅当x2=4-x2,即x=时取等号,所以当x=时,y可以取得最小值,且最小值为-2,故B正确;对于C,曲线C关于y轴对称,当x≥0时,x2+(y+x)2=4,|MP|+|MQ|≤4恒成立,等价于点M恒在椭圆+=1内(含边界),设x=2cos θ,y+x=2sin θ,θ∈,则+≤1,整理得3cos 2θ-4sin 2θ≤5,即5cos(2θ+φ)≤5,该式恒成立,同理当x<0时原不等式也成立,故C正确;对于D,由曲线C的方程可得-2≤x≤2,再结合A,B选项和曲线C的对称性,可知曲线C内(含边界)的整点有(-2,-2),(-1,-2),(0,-2),(1,-2),(2,-2),(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(-1,0),(0,0),(1,0),(0,1),(0,2),共13个,故D正确.故选BCD.
题型三
例4 (1)6 (2) (3)13
[解析] (1)如图,设动圆M的圆心为M(x,y),由题意得=|x+2|,两边取平方得x2+y2=x2+4x+4,化简得y2=4(x+1),故圆心M的轨迹方程为y2=4(x+1).由消去y整理得x2-2x-2=0,Δ=4+8=12>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=-2,故|AB|=·=×=6.
(2)由消去y并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0.由题意得1-4k2=0①或②.由①解得k=±;方程组②无解.故k=±.
(3)不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e==,所以a=2c,则b=c,所以|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,可知△AF1F2为等边三角形,所以直线DE为AF2的中垂线,则△ADE的周长等于△F2DE的周长,由椭圆的定义知△F2DE的周长为4a.易知直线DE的方程为y=(x+c),由
消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,由|DE|==6,可得c=,所以4a=8c=13.
例5 解:(1)由已知得b=3,将点P的坐标代入椭圆C的方程,得+=1,解得a2=12,∴c2=a2-b2=3,
∴C的离心率e===.
(2)方法一:设点B到直线AP的距离为d,由已知得S△ABP=|PA|·d=××d=9,解得d=.
kAP==-,易得直线AP的方程为y=-x+3.
设过点B且与直线AP平行的直线为l',又l'与直线AP间的距离为,点B在椭圆C上,∴l':y=-x-3.
联立y=-x-3和+=1,解得x1=0,x2=-3,故B(0,-3)或B.
当点B的坐标为(0,-3)时,l的方程为y=x-3;
当点B的坐标为时,l的方程为y=x.
∴l的方程为y=x-3或y=x.
方法二:①当l的斜率不存在时,B,∴|BP|=3,点A到直线BP的距离为3,
∴S△ABP=×3×3=≠9,不满足题意.
②当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y=k(x-3)+,
由得(3+4k2)x2+12k(1-2k)x+(3-6k)2-36=0,
∴Δ=36(2k+3)2>0,故k≠-,由根与系数的关系得3+xB=,∴xB=,
∴|BP|=·|3-xB|=·,
又点A到直线BP的距离d=,∴S△ABP=···=9,
∴|2k+3|·=3+4k2,
∴|2k+3|·|2k+1|=8k2+6,
∴4k2+8k+3=8k2+6或4k2+8k+3=-8k2-6,
即4k2-8k+3=0或12k2+8k+9=0,解得k=或,
∴l的方程为y=x-3或y=x.
变式 解:(1)由双曲线E:x2-=1,可知a=1,b=,且焦点在x轴上,
则双曲线E的渐近线方程为y=±x,直线y=x,y=-x的斜率分别为,-,倾斜角分别为,.
设l:y=k0x+4(k0≠±),
由解得
即M,可得|OM|==,
同理可得|ON|=,则S△OMN=×××==,解得k0=±3,
所以直线l的方程为y=±3x+4.
(2)因为|AB|=|AC|,所以线段BC的垂直平分线经过点A,
设BC的中点为D(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),则且k=,kAD=.
由两式作差得(-)-=0,整理可得3(x1+x2)=(y1+y2)·,即6x0=2y0·k,可得3x0=y0·k.
又因为AD⊥BC,所以kAD·k=·k=-1.
由解得即D(k,3).
因为点(2,3)在双曲线的右支上,且D(k,3)在右支的内部,
所以k2->1,所以k2>4.
又D在BC上,所以y0=kx0+m,可得m=y0-kx0=3-k2<-1,
所以实数m的取值范围为(-∞,-1).
题型四
例6 解:(1)由题意可得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:由题意可知,直线PQ的斜率存在,设直线PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0,
则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0,解得k<0,可得x1+x2=-,x1x2=.
因为A(-2,0),所以直线AP:y=(x+2),令x=0,解得y=,即M,
同理可得N,
则=+=
=
=
=
=3,
所以线段MN的中点是定点(0,3).
例7 解:(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得可得
故双曲线C的方程为-=1.
(2)证明:由(1)得A1(-2,0),A2(2,0).
当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4,
则易知M(-4,4),N(-4,-4),∴直线MA1的方程为y=-2(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2),
由解得
∴P(-1,-2).
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),由题意知k≠0且k≠±2,
直线MA1的方程为y=(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2).联立直线MA1与直线NA2的方程,消去y得(x+2)=(x-2),则(x+2)=(x-2),
即(x1+4)(x2-2)(x+2)=(x2+4)(x1+2)(x-2),解得x=2·①.
由可得(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0,
则
可得
代入①可得x=2·=
-=-1,
∴当直线MN的斜率存在时,点P在直线x=-1上.
又点(-1,-2)在直线x=-1上,故点P在定直线x=-1上.
例8 解:(1)因为椭圆的离心率e=,所以=,可得a=2c,则b=c,其中c为半焦距,所以A(-2c,0),B(0,-c),C,
故S△ABC=×2c×c=,
可得c=,所以a=2,b=3,故所求椭圆的方程为+=1.
(2)假设存在满足条件的点T,设T(0,t).
若过点的动直线的斜率存在,则可设该直线的方程为y=kx-,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由可得(3+4k2)x2-12kx-27=0,
故Δ=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0且x1+x2=,x1x2=-,
而=(x1,y1-t),=(x2,y2-t),
故·=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=(1+k2)×-k×+=
=
,
因为·≤0恒成立,
所以解得-3≤t≤.
若过点的动直线的斜率不存在,则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3),
由·≤0恒成立,得-3≤t≤3.
综上可得,-3≤t≤.
故在y轴上存在点T,使得·≤0恒成立,T点纵坐标的取值范围是.
变式1 解:(1)抛物线C的焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y2=4x.
(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),易知F(1,0),
则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2),
因为=9,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,
所以x1=10x2-9,y1=10y2,
又因为点P在抛物线C上,
所以=4x1,
所以(10y2)2=4(10x2-9),
则点Q的轨迹方程为y2=x-.
设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,k取得最大值或最小值.
由消去y,整理得k2x2-x+=0,
当直线与曲线相切时,k≠0且Δ=-4k2·=0,解得k=±,所以直线OQ斜率的最大值为.
变式2 解:(1)因为MF⊥x轴且M,所以c=1,所以a2-b2=1①.
将点M的坐标代入椭圆方程得+=1②,
联立①②,解得b2=3,a2=4,
所以C的方程为+=1.
(2)证明:方法一:由题可知F(1,0),N.
当直线AB与x轴不重合时,设lAB:x=ty+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x可得(3t2+4)y2+24ty+36=0,由Δ>0,得t2>4,
由根与系数的关系可得y1+y2=-,y1y2=.
lNB:y=,令x=1,得yQ==,
所以yQ-y1=-y1==
=0,
故kAQ=0,即AQ⊥y轴.
当直线AB与x轴重合时,yQ=yA=0,故kAQ=0,即AQ⊥y轴.
综上,AQ⊥y轴.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),=λ(λ≠0且λ≠±1),
则即
又由两式相减,整理可得3··+4··=12,
所以5λ-2λx2+3=0.
由题可知N,
则lNB:y=,
令x=1得yQ===-λy2=y1,
所以kAQ=0,故AQ⊥y轴.
变式3 解:(1)将x=c代入双曲线C1的方程,得y=±,
因为PF2⊥x轴且点P在x轴的上方,
所以P.
因为直线y=为△PF1F2的等线,
所以-=2,
所以=3.
由题意知双曲线C2的离心率为2,
所以双曲线C1的离心率为=2,
又c2=a2+b2,
所以a=,b=3,
则双曲线C1的方程为-=1.
(2)设P(x0,y0),
此时双曲线C1在点P处的切线l1的方程为-=1.
易知双曲线C1的渐近线方程为y=±x,由
解得xA=,
同理得xB=,所以xA+xB=+===2x0,
所以P是线段AB的中点.
因为点F1,F2到过原点O的直线的距离相等,
所以过原点O的等线必定满足点A,B到该等线的距离相等,且A,B分别位于等线两侧,
所以该等线必过点P,
即直线OP的方程为y=x.
由解得
或所以P(3,3),
所以yA=xA==3(+),yB=-xB==-3(-),
则|yA-yB|=6,
故=|F1F2|·|yA-yB|=×4×6=36.
(3)设Q(x1,y1),则双曲线C2在点Q处的切线l2的方程为3x1x-y1y-1=0.
易知A与F2在l2的右侧,F1在l2的左侧.
因为xA=,yA=,
所以点A到l2的距离d1==
.
由解得x2=.
因为x1≥,3-=9,
所以x0=3x1,y0=3y1,所以d1==
.
因为点F2(2,0)到l2的距离d2=,点F1(-2,0)到l2的距离d3=,
所以d1+d2=d3,
即l2为△AF1F2的等线.
题型五
例9 解:(1)设M(x,y),
由“倒影距离”的定义可知,[M,F1]=|x-0|+|-2-y|=|x|+|y+2|,
[M,F2]=|x-0|+|2-y|=|x|+|y-2|,
由题意知[M,F1]+[M,F2]=6,
即2|x|+|y+2|+|y-2|=6,
所以“倒影椭圆”C的方程为2|x|+|y+2|+|y-2|=6.
(2)由2|x|+|y+2|+|y-2|=6,
得2|x|=6-|y+2|-|y-2|,
当x≥0时,x=
当x<0时,由对称性知x=
故“倒影椭圆”C如图所示,故“倒影椭圆”C的面积S=2××(4+6)×1=10.
(3)证明:由图知,“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为3,焦点在y轴上,且经过点(1,2),
可得椭圆E的方程为+=1.
由(2)知,D(0,-3),
由题意可知,直线PQ的斜率存在,
设直线PQ的方程为y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(k2+5)x2+4kx-5=0,
Δ=16k2+20(k2+5)>0恒成立,
则x1+x2=-,x1x2=-,
线段DP的中点为,即,
又kDP==,
则线段DP的垂直平分线的方程为y-=-·,
即(k2+1)+(4k-2x-2ky)x1-5-10y=0,
同理线段DQ的垂直平分线的方程为(k2+1)+(4k-2x-2ky)x2-5-10y=0.
设△DPQ的外接圆的圆心H的坐标为(x0,y0),
则x1,x2是方程(k2+1)x2+(4k-2x0-2ky0)x-5-10y0=0的两根,
所以x1+x2=-,x1x2=,
又x1+x2=-,x1x2=-,
所以=2k,整理得x0=-5ky0,
则k·=-,即k·kOH=-,
所以直线OH与PQ的斜率之积为定值-.
变式 解:(1)椭圆C1:+y2=1的长轴长为2,短轴长为2,焦距为2.
椭圆C2:+=1(a>b>0)的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2.
依题意可得=,
所以=,
则椭圆C2的离心率e====.
(2)证明:由相似比可知,==,解得
所以椭圆C2:+=1.
如图,设P(x0,y0),直线PB1的方程为y=k1x+t,
则t=y0-k1x0,
联立直线PB1与椭圆C1的方程,消去y整理得(2+1)x2+4k1tx+2t2-2=0,
因为直线PB1与椭圆C1有且只有一个公共点,
所以Δ=(4k1t)2-4(2+1)(2t2-2)=0,即2-t2+1=0,
将t=y0-k1x0代入上式,整理得(-2)-2x0y0k1+-1=0,
同理可得(-2)-2x0y0k2+-1=0,
所以k1,k2为关于k的方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的两根,
所以k1k2=,
又点P(x0,y0)在椭圆C2:+=1上,所以=2-,
所以k1k2==-,为定值.本章总结提升
◆ 题型一 圆锥曲线的标准方程与定义
[类型总述] (1)焦点三角形问题;(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,常用定义解决问题;(3)求轨迹问题、最值问题、曲线方程.
例1 (1)[2023·天津卷] 双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(y>0) B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0) D.+=1(y>0)
变式 (1)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )
A.13 B.12
C.9 D.6
(2)已知F1,F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1F2P= ( )
A.- B.
C. D.
(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,-4)(a>0)到焦点F的距离为5,则该抛物线的标准方程为 .
◆ 题型二 圆锥曲线的性质
[类型总述] (1)已知基本量求离心率的值或取值范围;(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围;(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质.
例2 (1)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线, Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
(2)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ;△MNF的面积为 .
(3)[2024·新课标Ⅰ卷] 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
变式 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= ( )
A. B. C. D.
(2)[2023·全国甲卷] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= ( )
A. B.
C. D.
(3)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 .
例3 (多选题)[2024·新课标Ⅰ卷] 造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则 ( )
A.a=-2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
变式 (多选题)[2025·衡阳高二期末] 如图,已知倒心形曲线C:x2+(y+|x|)2=4与y轴交于P,Q两点,点M是曲线C上的一个动点,则( )
A.点(-2,-2)与点(1,1)均在曲线C上
B.点M的纵坐标的最小值为-2
C.|MP|+|MQ|≤4恒成立
D.曲线C内(含边界)共有13个整点(横、纵坐标均为整数的点)
◆ 题型三 直线与圆锥曲线的位置关系
[类型总述] (1)弦的垂直平分线问题;(2)弦长的计算问题;(3)位置关系问题.
例4 (1)动圆M经过原点,且与直线x=-2相切,记圆心M的轨迹为C,直线y=x与C交于A,B两点,则|AB|= .
(2)[2024·北京卷] 若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为 .
(3)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
例5 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.
变式 [2025·重庆一中高二月考] 已知双曲线E:x2-=1,点A(0,4),坐标原点为O.
(1)直线l经过点A,与E的两条渐近线分别交于点M,N,若△OMN的面积为,求直线l的方程;
(2)若直线y=kx+m交双曲线E的右支于不同的两点B,C,|AB|=|AC|,求实数m的取值范围.
◆ 题型四 圆锥曲线的综合问题
[类型总述] (1)定点、定值、定直线问题;(2)最值、取值范围问题.
例6 [2023·全国乙卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
例7 [2023·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
例8 [2024·天津卷] 已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A,下顶点为B,O为坐标原点,C是线段OB的中点,其中S△ABC=.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T,使得·≤0恒成立 若存在,求出这个T点纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
变式1 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.
变式2 [2024·全国甲卷] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程.
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴.
变式3 [2025·广东部分学校高二期中] 在平面内,若直线l将多边形分为两部分,且多边形在l两侧的顶点到l的距离之和相等,则称l为多边形的一条“等线”.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:3x2-y2=1有相同的离心率,F1,F2分别为双曲线C1的左、右焦点,P为双曲线C1右支上的一个动点,双曲线C1在点P处的切线l1与双曲线C1的两条渐近线交于A,B两点(A在B的上方),当PF2⊥x轴且点P在x轴的上方时,直线y=为△PF1F2的等线.
(1)求双曲线C1的方程;
(2)若直线y=x是四边形AF1BF2的等线,求四边形AF1BF2的面积;
(3)已知O为坐标原点,直线OP与双曲线C2的右支交于点Q,试判断双曲线C2在点Q处的切线l2是否为△AF1F2的等线,请说明理由.
注:双曲线C:-=1(a>0,b>0)在其上一点P(x0,y0)处的切线方程为-=1.
◆ 题型五 创新问题
[类型总述] (1)新定义问题;(2)交汇问题.
例9 [2025·杭州学军中学高二月考] 已知点A(x1,y1),B(x2,y2),定义A,B的“倒影距离”为[A,B]=|x1-y2|+|x2-y1|,我们把到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫作“倒影椭圆”.
(1)求“倒影椭圆”C的方程;
(2)求“倒影椭圆”C的面积;
(3)设O为坐标原点,若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E,其中D为外接椭圆E的下顶点,过点(0,2)的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点D),且△DPQ的外接圆的圆心为H(异于点O),证明:直线OH与PQ的斜率之积为定值.
变式 [2025·深圳大学附中高二期中] 由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点为顶点的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆C1的“特征三角形”为△1,椭圆C2的“特征三角形”为△2,若△1∽△2,则称椭圆C1与C2“相似”,并将△1与△2的相似比称为椭圆C1与C2的相似比.已知椭圆C1:+y2=1与椭圆C2:+=1(a>b>0)相似.
(1)求椭圆C2的离心率;
(2)若椭圆C1与椭圆C2的相似比为,设P为C2上的一点,过P分别作椭圆C1的两条切线PB1,PB2(斜率均存在),切点分别为B1,B2,设直线PB1,PB2的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.(共76张PPT)
本章总结提升
题型一 圆锥曲线的标准方程与定义
题型二 圆锥曲线的性质
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系
题型四 圆锥曲线的综合问题
题型五 创新问题
答案核查
题型一 圆锥曲线的标准方程与定义
［类型总述］（1）焦点三角形问题;（2）涉及焦点、准线、离心率、
圆锥曲线上的点中的三者,常用定义解决问题;（3）求轨迹问题、最
值问题、曲线方程.
例1（1）［2023·天津卷］双曲线 的左、右
焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为 .已知
，直线的斜率为 ，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，, 焦点到任一条渐近线的距离为, .
在为原点中，由等面积法易得点的坐标为 ,
故，化简可得,故,
双曲线的方程为 .故选D.
√
（2）［2024· 新课标Ⅱ卷］已知曲线，从 上
任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的轨迹
方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则,,
因为上，所以 ,
整理得点的轨迹方程为 .故选A.
√
变式（1）已知,是椭圆的两个焦点，点在 上，
则 的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
[解析] 方法一：根据椭圆的定义可知， ，
所以，
当且仅当 时等号成立，故 的最大值为9.
√
方法二：不妨设,分别为椭圆 的左、右焦点，则
,，设 ，则
.
因为 ，所以，所以，
又 ，，所以 ，
则， ，
所以当时， 取得最大值9.故选C.
（2）已知,分别为双曲线的左、右焦点，点 在双
曲线上，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由双曲线的方程可知,,则 .
根据题意及双曲线的定义可得， ，
又，所以，， .
在中，由余弦定理得
,故选A.
√
（3）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，抛物线上一点
到焦点 的距离为5，则该抛物线的标准方程为
__________.
[解析] 由题意可知该抛物线的开口向下，
故设其方程为，
因为抛物线上一点到焦点 的距离为5，
所以到准线的距离也为5，即 ，解得，
故该抛物线的标准方程为 .
题型二 圆锥曲线的性质
［类型总述］（1）已知基本量求离心率的值或取值范围;（2）已知
圆锥曲线的方程求参数的取值范围;（3）已知曲线的某些性质求曲
线方程或求曲线的其他性质.
例2（1）（多选题）［2024· 新课标Ⅱ卷］ 抛物线 的准线
为，为上动点，过作的一条切线， 为
切点，过作的垂线，垂足为 ，则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
√
√
√
[解析] 点到准线的距离为1,圆的半径为1，故 与
相切，选项A正确.
当，，三点共线时，， ，，
则，选项B正确.
当 时，,得,当点的坐标为时， ,
，不满足；当点的坐标为 时，
,,不满足 ，选项C不正确.
设抛物线的焦点为，则，连接， ,由抛物线的定义可得
，则满足的点在线段 的垂直平分
线上，易知线段的垂直平分线的方程为 ,
由 得,
因为 ,所以满足的点
有且仅有2个，选项D正确.故选 .
（2）已知抛物线的焦点为,点在抛物线上，垂直 轴
于点.若，则点的横坐标为___； 的面积为_____.
5
[解析] 设点的坐标为.由题意知抛物线 的准线方程为，
，，解得， ，，
的面积为 .
（3）［2024· 新课标Ⅰ卷］设双曲线 的
左、右焦点分别为,,过作平行于轴的直线交于， 两点，
若,,则 的离心率为__．
[解析] ，,
又, ,
, ,
,, .
变式（1）［2023· 新课标Ⅰ卷］设椭圆 ，
的离心率分别为，，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，又，所以，即 ，
解得，所以 .故选A.
√
（2）［2023·全国甲卷］已知双曲线 的
离心率为，的一条渐近线与圆交于，
两点，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由双曲线的离心率，得 ，
所以，所以双曲线的渐近线方程为 .
由题得圆的圆心为，半径，则圆心到渐近线 的距离
，即渐近线 与圆相交，圆心到渐近线
的距离，即渐近线 与圆相离，
所以 .故选D.
（3）设是椭圆的上顶点，若 上的任意
一点都满足，则 的离心率的取值范围是_ ______.
[解析] 设,易知,由,得 ,
则, .
由题知，当时， 取得最大值，所以由二次函数图象的
对称性知,故,即,
所以,即椭圆 的离心率 .
例3 （多选题）［ 2024·新课标Ⅰ卷］ 造型 可
以看作图中的曲线的一部分.已知过坐标原点 ，
且上的点满足横坐标大于，到点 的距离
与到定直线 的距离之积为4，则( )
A.
B.点在 上
C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在上时，
√
√
√
[解析] 对于A，依题知曲线 的轨迹方程为
点在曲线 上，,又, ,故A正确.
对于B，曲线的方程为 ,令，
得,或 ,故B正确.
对于C，由 ,得,
,当时，, 在第一象限的点的纵坐标的
最大值大于1，故C错误.
对于D，, ,故D正确.故选 .
变式 （多选题）［2025·衡阳高二期末］ 如图，已知倒心形
曲线与轴交于 ,两点，点是
曲线 上的一个动点，则( )
A.点与点均在曲线 上
B.点的纵坐标的最小值为
C. 恒成立
D.曲线 内（含边界）共有13个整点（横、纵坐标均为整数的点）
√
√
√
[解析] 令，可得，则, .
对于A，将代入曲线 的方程，可得
成立，则点 在
曲线上，将代入曲线 的方程，可得
，则点不在曲线 上，
故A错误；
对于B，曲线关于轴对称，且点 的纵坐标的最小值小于，
当且点在直线下方时， ，即
,
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，
可以取得最小值，且最小值为，故B正确；
对于C，曲线关于 轴对称，
当时， , 恒成立,
等价于点恒在椭圆 内（含边界），
设, ,，则 ，
整理得，即 （其中），该式恒成立，同理当 时原不等式也成立，故C正确；
对于D，由曲线 的方程可得，再结合A,B
选项和曲线 的对称性, 可知曲线 内（含边界）的整点有
，，，， ，
，，，， ，
，，，共13个，故D正确.故选 .
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系
［类型总述］（1）弦的垂直平分线问题;（2）弦长的计算问题；
（3）位置关系问题.
例4（1）动圆经过原点，且与直线相切，记圆心 的轨迹
为，直线与交于,两点，则 ___.
6
[解析] 如图，设动圆的圆心为 ，由题意得
，两边取平方得，
化简得 ，故圆心的轨迹方程为 .
由消去整理得 ,
.
设, ，则,，
故 .
（2）［2024·北京卷］若直线与双曲线 只有
一个公共点，则 的一个取值为___________．
（或）
[解析] 由消去 并整理得
.
由题意得 或.
由①解得；方程组②无解.故 .
（3）［2022·新高考全国Ⅰ卷］已知椭圆 ,
的上顶点为，两个焦点为,,离心率为.过且垂直于 的直
线与交于，两点，，则 的周长是____.
13
[解析] 不妨设,分别为椭圆 的左、右焦点，
在第一象限，如图，连接 , ,.
因为椭圆的离心率 ,所以,则 ,
所以 ,可知为等边三角形，
所以直线 为的中垂线，则的周长等于 的周长，
由椭圆的定义知的周长为.
易知直线,
由 消去,整理得 ,
设,，则 , ,
由 ,可得，
所以 .
例5 ［2024· 新课标Ⅰ卷］已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
（1）求 的离心率；
解：由已知得,将点的坐标代入椭圆 的方程，
得,解得, ,
的离心率 .
例5 ［2024· 新课标Ⅰ卷］已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程.
解：方法一：设点到直线的距离为 ,由已知得
,解得 .
,易得直线的方程为 .
设过点且与直线平行的直线为，又与直线间的距离为 ，
点在椭圆上， .
联立和,解得,,
故 或 .
当点的坐标为时，的方程为 ;
当点的坐标为时，的方程为 .
的方程为或 .
方法二：①当的斜率不存在时，,，点 到直线
的距离为3， ，不满足题意.
②当的斜率存在时，设斜率为,则的方程为 ,
由 得 ，
,故 ,由根与系数的关系得
, ，
，
又点到直线的距离 ，
，
, ,
或
，即 或
,解得或 ，
的方程为或 .
变式 ［2025·重庆一中高二月考］已知双曲线 ，点
，坐标原点为 .
（1）直线经过点，与的两条渐近线分别交于点， ，若
的面积为，求直线 的方程；
解：由双曲线，可知,，且焦点在 轴上，
则双曲线的渐近线方程为，直线， 的
斜率分别为，，倾斜角分别为， .
设 ，
由解得 即，
可得 ，
同理可得 ，
则，解得 ，
所以直线的方程为 .
变式 ［2025·重庆一中高二月考］已知双曲线 ，点
，坐标原点为 .
（2）若直线交双曲线的右支于不同的两点, ，
，求实数 的取值范围.
解：因为，所以线段的垂直平分线经过点 ，
设的中点为,,，则 且
， .
由两式作差得 ，整理可得
，即，可得 .
又因为，所以 .
由解得即 .
因为点在双曲线的右支上，且 在右支的内部，
所以，所以 .
又在上，所以，可得 ，
所以实数的取值范围为 .
题型四 圆锥曲线的综合问题
［类型总述］（1）定点、定值、定直线问题;（2）最值、取值范围问题.
例6 ［2023·全国乙卷］已知椭圆 的离心
率为,点在 上.
（1）求 的方程；
解：由题意可得解得
所以椭圆的方程为 .
例6 ［2023·全国乙卷］已知椭圆 的离心
率为,点在 上.
（2）过点的直线交于，两点，直线，与 轴的交点
分别为，，证明：线段 的中点为定点.
证明：由题意可知，直线 的斜率存在，设直线,
, ,由消去 得
,
则 ,
解得,可得, .
因为，所以直线,
令,解得 ,即 ,同理可得 ，则
,
所以线段的中点是定点 .
例7 ［2023· 新课标Ⅱ卷］已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点
为，离心率为 .
（1）求 的方程；
解：设双曲线的方程为 ，由题意得
可得 故双曲线的方程为 .
例7 ［2023· 新课标Ⅱ卷］已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点
为，离心率为 .
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与 交于
，两点，在第二象限，直线与交于点，证明：点 在
定直线上.
证明：由（1）得， .
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
则易知，， 直线 的方程为
，直线的方程为 ，
由 .
当直线的斜率存在时，设，，直线 的方程
为，由题意知且 ，
直线的方程为，直线 的方程为.
联立直线与直线的方程，消去 得
，则 ，
即 ，解得
.
由可得 ，
则 可得
代入①可得 ，
当直线的斜率存在时，点在直线 上.
又点在直线上，故点在定直线 上.
例8 ［2024·天津卷］已知椭圆的离心率 ，
左顶点为，下顶点为，为坐标原点，是线段 的中点，其中
.
（1）求椭圆的方程.
解：因为椭圆的离心率，所以，可得，则 ，
其中为半焦距，所以,, ，
故 ，可得，
所以， ，故所求椭圆的方程为 .
例8 ［2024·天津卷］已知椭圆的离心率 ，
左顶点为，下顶点为，为坐标原点，是线段 的中点，其中
.
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，.在 轴上是否存
在点，使得恒成立？若存在，求出这个 点纵坐标的取
值范围；若不存在，请说明理由.
解：假设存在满足条件的点，设 .
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线的方程为 ，
设, ,由
可得 ，
故且 ,
,而, ，
故
，
因为 恒成立，所以解得 .
若过点的动直线的斜率不存在，
则, 或, ，
由恒成立，得 .综上可得， .
故在轴上存在点，使得恒成立， 点纵坐标的取值范
围是 .
变式1 已知抛物线的焦点 到准线的距离为2.
（1）求 的方程；
解：抛物线的焦点到准线的距离为，故,的方程为 .
变式1 已知抛物线的焦点 到准线的距离为2.
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足,求直线
斜率的最大值.
解：设点，，易知 ,
则， ，
因为，所以， ,
所以， ,
又因为点在抛物线 上，所以 ,所以 ，
则点的轨迹方程为 .
设直线的方程为，当直线和曲线 相切时，
取得最大值或最小值.
由消去，整理得 ，
当直线与曲线相切时，且 ，解得
，所以直线斜率的最大值为 .
变式2 ［2024·全国甲卷］设椭圆 的右焦
点为，点在上，且 轴.
（1）求 的方程.
解：因为轴且，所以,所以 .
将点的坐标代入椭圆方程得 ,
联立,解得, ,所以的方程为 .
变式2 ［2024·全国甲卷］设椭圆 的右焦
点为，点在上，且 轴.
（2）过点的直线交于，两点，为线段 的中点，直线
交直线于点.证明： 轴.
证明：方法一：由题可知, .
当直线与轴不重合时，设,, ,
由消去可得,由 ,得 ,
由根与系数的关系可得, .
,令，得 ,
所以 ,
故,即 轴.
当直线与轴重合时，,故,即 轴.
综上， 轴.
方法二：设,,且 ，
则即 又由
两式相减，整理可得 ，
所以 .
由题可知 ,则 ,令
得 ，所以,故 轴.
变式3 ［2025·广东部分学校高二期中］在平面内，若直线 将多边形
分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称 为
多边形的一条“等线”.已知双曲线 与双曲
线有相同的离心率，，分别为双曲线 的左、
右焦点，为双曲线右支上的一个动点，双曲线在点 处的切线
与双曲线的两条渐近线交于，两点（在 的上方），当
轴且点在轴的上方时，直线为 的等线.
（1）求双曲线 的方程；
解：将代入双曲线的方程，得 ，
因为轴且点在 轴的上方，所以 .
因为直线为 的等线，所以 ，所以 .
由题意知双曲线 的离心率为2，所以双曲线的离心率为 ，
又 ，所以， ，
则双曲线的方程为 .
（2）若直线是四边形的等线，求四边形 的面积；
解：设 ，此时双曲线在点处的切线的方程为 .
易知双曲线的渐近线方程为，由
解得 ，同理得 ，
所以 ，
所以是线段 的中点.
因为点，到过原点 的直线的距离相等，
所以过原点的等线必定满足点,到该等线的距离相等，且， 分
别位于等线两侧，所以该等线必过点 ，即直线的方程为 .
由解得 或所以 ，
所以 ，
，则 ，
故 .
（3）已知为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点 ，试判
断双曲线在点处的切线是否为 的等线，请说明理由.
注：双曲线在其上一点 处的切
线方程为 .
解：设，则双曲线在点处的切线 的方程为
.易知与在的右侧，在 的左侧.
因为， ，
所以点到的距离 .
由解得 .
因为， ，所以，，
所以 .
因为点到的距离，点到 的距
离 ，所以 ，即为 的等线.
题型五 创新问题
［类型总述］（1）新定义问题；（2）交汇问题.
例9 ［2025·杭州学军中学高二月考］已知点， ，
定义，的“倒影距离”为 ，我们把到两
定点，的“倒影距离”之和为6的点的轨迹 叫作“倒
影椭圆”.
（1）求“倒影椭圆” 的方程；
解：设 ，由“倒影距离”的定义可知，
，
，
由题意知 ，即 ，
所以“倒影椭圆”的方程为 .
（2）求“倒影椭圆” 的面积；
解：由 ，得 ，
当时，
当时，由对称性知
故“倒影椭圆”如图所示，
故“倒影椭圆” 的面积 .
（3）设为坐标原点，若“倒影椭圆”的外接椭圆为，其中 为外
接椭圆的下顶点，过点的直线与椭圆交于， 两点
（均异于点），且的外接圆的圆心为（异于点 ），
证明：直线与 的斜率之积为定值.
证明：由图知，“倒影椭圆”的外接椭圆 的长
半轴长为3，焦点在轴上，且经过点 ，
可得椭圆的方程为 .
由（2）知， ，由题意可知，直线 的斜率存在，
设直线的方程为, , ，
由消去 得 ，
恒成立，
则, ，
线段的中点为，即 ，又 ，
则线段 的垂直平分线的方程为 ，
即 ，
同理线段 的垂直平分线的方程为 .
设的外接圆的圆心的坐标为 ，则, 是方程 的两根，
所以, ，
又, ，所以，
整理得 ，则，即 ，
所以直线与的斜率之积为定值 .
变式 ［2025·深圳大学附中高二期中］由椭圆的两个焦点和短轴的
一个端点为顶点的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 的“特
征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若 ，则称
椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与 的相似
比.已知椭圆与椭圆 相似.
（1）求椭圆 的离心率；
解：椭圆的长轴长为 ，短轴长为2，焦距为2.
椭圆的长轴长为，短轴长为 ，焦距为
.
依题意可得 ，所以 ，
则椭圆的离心率 .
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上的一点，过 分别
作椭圆的两条切线，（斜率均存在），切点分别为， ，
设直线，的斜率分别为，，证明： 为定值.
证明：由相似比可知，，解得
所以椭圆 .
如图，设，直线 的方程为 ，
则 ，
联立直线与椭圆的方程，消去 整理得
，
因为直线与椭圆 有且只有一个公共点，
所以，即 ，
将 代入上式，整理得 ，
同理可得 ，所以，为关于 的方程
的两根，所以 ，
又点在椭圆 上，所以 ，
所以 ，为定值.
快速核答案
例1.（1）D （2）A 变式.（1）C （2）A （3）
例2.（1）ABD （2）5, （3） 变式.（1）A （2）D （3）
例3.ABD 变式.BCD
例4.（1）6 （2）（或） （3）13
例5.（1）.（2）或. 变式.（1）.（2）
例6.（1）.（2）证明略
例7.（1）.（2）证明略
例8.（1）.（2）. 变式1.（1）. （2）.
变式2.（1）.（2）证明略 变式3.（1）.（2）（3）为的等线
例9.（1）.（2）.（3）证明略 变式.（1）.（2）证明略
