滚动习题(五)
1.B [解析] 将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程为+x2=1,故m>0,因为焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,所以2=2×2=4,解得m=.故选B.
2.A [解析] 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),因为椭圆过点P和点Q,所以 解得所以所求椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
3.B [解析] 因为方程+=1表示椭圆的充要条件是
即-34.C [解析] 如图所示,AB为伞面直径,BC为其投影,D为AB的中点,F为伞的底端,由题意,|AD|=|BD|=|FD|=1且FD⊥AB,∠ACF=75°,F为左焦点,BC为椭圆长轴长,所以|AF|=|BF|=a+c=,|CF|=a-c=,而tan 75°==2+,所以a-c==2-,所以2a=3-.故选C.
5.A [解析] 设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,则kAB=,因为点(2,2)为AB的中点,所以由两式作差可得+=0,则=·=-,即kAB×=-,可得kAB=-,所以直线AB的方程为y-2=-(x-2),即x+4y-10=0.故选A.
6.A [解析] 根据椭圆的对称性可知,四边形PF1QF2为平行四边形,又|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF1QF2为矩形,可知△PF1Q的面积即为△PF1F2的面积.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2,可得mn=[(m+n)2-(m2+n2)]=(4a2-4c2)=2b2,由面积关系可得mn=b2=a2,即a2-c2=a2,所以e2=. 故选A.
7.BC [解析] 若θ=0,则cos θ=1,可得x2+y2=1,表示的曲线是圆;若θ=,则cos θ=0,可得x2=1,即x=±1,表示的曲线是两条直线;若θ∈,则cos θ∈(0,1),可得>1,x2+y2cos θ=1可化为x2+=1,表示的曲线是椭圆.故选BC.
8.AB [解析] 对于A,由题意得,a=2,c=,故△F1PF2的周长为4+2,所以A正确.对于B,当点P位于短轴的端点处时,∠F1PF2=90°,所以B正确.对于C,当∠F1PF2=60°时,设|PF1|=t1,|PF2|=t2,则可得t1t2=,所以=t1t2sin 60°=××=,所以C错误.对于D,若△F1PF2是以P为顶点的等腰三角形,则点P位于短轴的端点处,此时满足条件的点P有两个;若△F1PF2是以F1为顶点的等腰三角形,则|F1P|=|F1F2|=2,此时满足条件的点P有两个;若△F1PF2是以F2为顶点的等腰三角形,则满足条件的点P也有两个.故使得△F1PF2为等腰三角形的点P共有六个,所以D错误.故选AB.
9.x+2y-4=0 [解析] 根据题意知直线的斜率存在,设直线方程为y-=k(x-1),与+=1联立,消去y得(3+4k2)x2+8kx+4k2-12k-3=0,令Δ=64·k2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,化简得(2k+1)2=0,解得k=-,故所求直线方程为x+2y-4=0.
10.4 8 [解析] 取线段PF1的中点M,连接MF2,由椭圆C:+=1,可得a=5,b=4,所以c==3,则|PF2|=|F1F2|=2c=6,由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.因为M为PF1的中点,所以MF2⊥PF1,所以|MF2|===4,故=|PF1|·|MF2|=×4×4=8.
11. [解析] 设A(2y0,y0).∵在线段OF上存在点M,使得·=0,即⊥,∴||≥||,则8+≤c2,即9≤c2①.∵+=1,∴=②.由①②及a2=b2+c2得8c4-18a2c2+9a4≤0,即8e4-18e2+9≤0,解得≤e2≤,∵012.解:(1)设M(-,0),N(,0),则|PM|+|PN|=4>2=|MN|,
所以点P的轨迹为以M(-,0),N(,0)为焦点的椭圆,且2a=4,c=,故a=2,b==1,故C的方程为+y2=1.
(2)由题得直线l的方程为y-2=kx,与+y2=1联立,消去y得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
则Δ=256k2-48(1+4k2)>0,解得k>或k<-,
故k的取值范围是k>或k<-.
(3)当k=-1时,直线l的方程为y=-x+2,与+y2=1联立,
消去y得5x2-16x+12=0,解得x=2或.
把x=2代入y=-x+2,得y=-2+2=0,把x=代入y=-x+2,得y=-+2=,
故A(2,0),B或A,B(2,0).
13.解:(1)设截口BAC所在的椭圆的方程为+=1(a>b>0),
∵BF1⊥F1F2,|F1B|=,|F1F2|=4,∴在Rt△BF1F2中,|F2B|==,
故2a=|F1B|+|F2B|=2,得a=,
又2c=|F1F2|=4,∴c=2,∴b2=a2-c2=2,
∴所求椭圆的方程为+=1.
(2)∵点P在椭圆上,
∴|PF1|+|PF2|=2a=2,
又∠F1PF2=90°,即△F1PF2为直角三角形,
∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=16.
由得|PF1|·|PF2|=4,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=2.
14.解:(1)由题意得F2(c,0),因为F2到直线x-y=0的距离为,
所以=,又c>0,所以c=1.
由椭圆C的一个顶点为N(-2,0),可得a=2,
所以b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)①由(1)知F2(1,0),
由直线l:y=kx+m(k≠0)过椭圆的右焦点F2,可得0=k+m,即m=-k.
将y=k(x-1)与+=1联立,消去y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=
=
,
又椭圆的左焦点F1(-1,0)到直线l:k(x-1)-y=0的距离d=,
所以=·d·|AB|=··=,解得k2=3或k2=-(舍去),故k=±.
②假设存在点T(t,0),使得以TA,TB为邻边的平行四边形为菱形,
因为直线l过定点P(0,2),且k>0,所以直线l的方程为y=kx+2,与+=1联立,消去y得(4k2+3)x2+16kx+4=0,
由Δ=192k2-48>0,且k>0,解得k>.
设A(x3,y3),B(x4,y4),AB的中点为M(x0,y0),则有x3+x4=,x3x4=,
所以x0==,y0=kx0+2=,
则kTM=-=,整理得t=-=-,
因为k>,所以4k+∈[4,+∞),则t∈,
故存在点T(t,0),使得以TA,TB为邻边的平行四边形为菱形,t的取值范围是.滚动习题(五)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2024·江西师大附中高二期中] 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为 ( )
A. B.
C.2 D.4
2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是 ( )
A.+x2=1
B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1
D.以上都不对
3.“-3A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.油纸伞是中国传统工艺品,使用历史已有1000多年.以手工削制的竹条做伞架,以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞,纯手工制成,全部取材于天然,是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为1的圆,圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子,此时阳光照射方向与地面的夹角为75°,若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置,则该椭圆的长轴长为 ( )
A. B. C.3- D.-
5.[2025·佛山高二期中] 椭圆+=1的弦被点(2,2)平分,则这条弦所在的直线的方程为 ( )
A.x+4y-10=0 B.x-4y-10=0
C.4x-4y+10=0 D.4x-y-10=0
6.点F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,|PQ|=|F1F2|,△PF1Q的面积为a2,e为椭圆的离心率,则e2= ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.方程x2+y2cos θ=1表示的曲线可能是 ( )
A.一条直线 B.圆
C.椭圆 D.线段
8.[2025·重庆八中高二期中] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一点,则 ( )
A.△F1PF2的周长为4+2
B.存在点P,使得∠F1PF2=90°
C.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为2
D.使得△F1PF2为等腰三角形的点P共有四个
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.过椭圆+=1上一点P且与椭圆相切的直线方程为 .
10.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|= ,△PF1F2的面积为 .
11.椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),O为坐标原点,直线x-2y=0与C相交于A,B两点.若在线段OF上存在点M,使得·=0,则椭圆C离心率的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2025·北京牛栏山一中高二期中] 在平面直角坐标系中,点P到两定点(-,0),(,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,过点(0,2)且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A,B.
(1)求C的方程;
(2)求k的取值范围;
(3)当k=-1时,求A,B两点的坐标.
13.(15分)如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕一条对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1⊥F1F2,|F1B|=,|F1F2|=4.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求截口BAC所在的椭圆的方程;
(2)若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P,且∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
14.(15分)[2025·盐城高二期中] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,N(-2,0)为椭圆C的一个顶点,且右焦点F2到直线x-y=0的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A,B两点.
①若直线l过椭圆的右焦点F2,且△AF1B的面积为,求实数k的值.
②若直线l过定点P(0,2),且k>0,那么在x轴上是否存在点T(t,0),使得以TA,TB为邻边的平行四边形为菱形 若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.(共28张PPT)
滚动习题（五）
范围3.1
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.［2024·江西师大附中高二期中］椭圆的焦点在 轴上，
长轴长是短轴长的2倍，则 的值为( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 将椭圆方程化为标准方程为 ，
故，因为焦点在 轴上，长轴长是短轴长的2倍，所以
,解得 .故选B.
√
2.已知椭圆过点和点 ，则此椭圆的标准方程是 ( )
A. B.或
C. D.以上都不对
√
[解析] 设椭圆方程为 ，因为椭
圆过点和点，所以 解得
所以所求椭圆的标准方程为 .故选A.
3.“”是“方程 表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为方程 表示椭圆的充要条件是
即且，
故“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件.
故选B.
√
4.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多
年.以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油
的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手
工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.
A. B. C. D.
在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展
览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄
底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子，
此时阳光照射方向与地面的夹角为 ，若伞柄底端正好位于该椭
圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为( )
√
[解析] 如图所示，为伞面直径，为其投影， 为的中点，
为伞的底端，由题意，且 ，
，为左焦点， 为椭圆长轴长，
所以， ，
而 ，
所以，所以 .
故选C.
5.［2025·佛山高二期中］椭圆的弦被点 平分，则这
条弦所在的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设弦的两个端点分别为，，显然 ，
则，因为点为的中点，所以
由两式作差可得 ，则
，即，可得 ，
所以直线的方程为，即 .故选A.
6.点,分别为椭圆的左、右焦点，点 ，
为上关于坐标原点对称的两点，， 的面积为
，为椭圆的离心率，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，又
，所以四边形为矩形，可知 的面积即为
的面积.
设,，则 , ，
可得 ，
由面积关系可得，即，所以 .故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.方程 表示的曲线可能是( )
A.一条直线 B.圆 C.椭圆 D.线段
[解析] 若，则，可得 ，表示的曲线是圆；
若，则,可得,即 ，表示的曲线是两条直线；
若，则，可得 ，
可化为，表示的曲线是椭圆.故选 .
√
√
8.［2025·重庆八中高二期中］已知椭圆 的左、右焦点
分别为，，点为椭圆 上一点，则( )
A.的周长为
B.存在点，使得
C.若 ，则的面积为
D.使得为等腰三角形的点 共有四个
√
√
[解析] 对于A，由题意得，，，故 的周长为
，所以A正确.
对于B，当点 位于短轴的端点处时， ，所以B正确.
对于C，当 时，设，，
则可得 ，
所以 ，所以C错误.
对于D，若是以为顶点的等腰三角形，则点 位于短轴的端点处，
此时满足条件的点有两个；若是以 为顶点的等腰三角形，
则，此时满足条件的点 有两个；
若是以为顶点的等腰三角形，则满足条件的点 也有两个.
故使得为等腰三角形的点共有六个，所以D错误.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.过椭圆上一点 且与椭圆相切的直线方程为______
__________.
[解析] 根据题意知直线的斜率存在，设直线方程为 ，
与联立，
消去 ，
令 ，化简得
，解得，故所求直线方程为 .
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆 上
一点，且满足，则___， 的面积为_____.
[解析] 取线段的中点，连接，由椭圆 ，可得
，，所以，则 ，
由椭圆的定义可得.
因为为 的中点，所以 ，
所以 ，
故 .
11.椭圆的右焦点为， 为坐标原点，
直线与相交于，两点.若在线段上存在点 ，使
得，则椭圆 离心率的取值范围是_ ______.
[解析] 设 在线段上存在点，使得 ，
即，，则，即 .
，.由①②及 得
，即，解得 ，
， .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）［2025·北京牛栏山一中高二期中］ 在平面直角坐标系
中，点到两定点，的距离之和等于4，设点 的轨迹
为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点， .
（1）求 的方程；
解：设,，则 ，
所以点的轨迹为以,为焦点的椭圆，且 ,
，故,，故的方程为 .
解：由题得直线的方程为，与联立，
消去 ，
则，解得或 ，
故的取值范围是或 .
（2）求 的取值范围；
12.（13分）［2025·北京牛栏山一中高二期中］ 在平面直角坐标系
中，点到两定点，的距离之和等于4，设点 的轨迹
为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点， .
12.（13分）［2025·北京牛栏山一中高二期中］ 在平面直角坐标系
中，点到两定点，的距离之和等于4，设点 的轨迹
为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点， .
（3）当时，求， 两点的坐标.
解：当时，直线的方程为，与 联立，
消去得，解得或 .
把代入，得，把 代入
，得 ，故,或, .
13.（15分）如图,一种电影放映灯的反射镜面
是旋转椭圆面（椭圆绕一条对称轴旋转一周
形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口
是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点
上,片门位于另一个焦点 上.
由椭圆一个焦点发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到
另一个焦点 .已知, , .
（1）建立如图所示的平面直角坐标系,求截口 所在的椭圆的方程;
解：设截口 所在的椭圆的方程为 ,
,,,
在 中, ,
故,得 ,
又,, ,
所求椭圆的方程为 .
（2）若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点 ,且
,求 的面积.
解： 点 在椭圆上, ,
又 ,即 为直角三角形,
.
由 得,
故的面积为 .
14.（15分）［2025·盐城高二期中］ 已知椭圆
的左、右焦点分别为,， 为椭
圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程.
解：由题意得，因为到直线的距离为 ，
所以,又，所以 .
由椭圆的一个顶点为，可得 ，
所以，所以椭圆的标准方程为 .
（2）设直线与椭圆交于， 两点.
①若直线过椭圆的右焦点，且的面积为，求实数 的值.
解：由（1）知 ，由直线过椭圆的右焦点，
可得 ，即 .
将与联立，消去 得
，
设，，则有, ,所以
，
又椭圆的左焦点到直线的距离 ，
所以，解得 或
（舍去），故 .
②若直线过定点，且，那么在轴上是否存在点 ，
使得以,为邻边的平行四边形为菱形 若存在，求出实数 的取值
范围；若不存在，请说明理由.
解：假设存在点，使得以, 为邻边的平行四边形为菱形，
因为直线过定点，且，所以直线的方程为 ，
与联立，消去得 ，
由，且，解得 .
设，，的中点为 ，
则有, ,
所以, ，
则，整理得 ，
因为，所以，则 ，
故存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形， 的取
值范围是 .
快速核答案
1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.BC 8.AB
9. 10., 11.
12.（1） （2）或 （3）,或,
13.（1） （2）
14.（1） （2）① ②
