滚动习题(六)
1.D [解析] ∵抛物线的焦点坐标为(0,2),∴=2,∴p=4,又焦点在y轴正半轴上,∴抛物线的方程为x2=8y.故选D.
2.A [解析] ∵双曲线-=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为,tan=,∴该渐近线的方程为y=x,∴=,解得a=或a=-(舍去),∴c==2,∴双曲线的离心率e===.故选A.
3.D [解析] 因为点M到抛物线对称轴的距离是4,所以点M的纵坐标为±4,因为点M在抛物线上,所以由16=2px得横坐标为,又因为点M到准线的距离为5,即+=5,解得p=2或p=8.故选D.
4.B [解析] 由题意知,M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,由双曲线的定义知,M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,且a=4,c=5,即轨迹方程为-=1,可知“好曲线”一定与双曲线-=1有交点,结合各选项知,不能表示“好曲线”的方程是+=1.故选B.
5.B [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知F(1,0).∵++=0,∴x1-1+x2-1+x3-1=0,即x1+x2+x3=3.根据抛物线的定义得||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6.故选B.
6.D [解析] 由题意=,则b==a,即=1,由圆的方程知M(-2,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2,又两式相减得-=0,所以kAB==·==-2,故直线AB的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.故选D.
7.AC [解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A正确,B错误;因为A为抛物线上的一点,|AF|=2,所以xA-(-1)=2,解得xA=1,所以=4xA=4,解得yA=±2,所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2),故C正确;不妨取A(1,2),则AF的中点坐标为(1,1),因为点(1,1)到准线x=-1的距离为2>|AF|,所以以AF为直径的圆与抛物线的准线相离,故D错误.故选AC.
8.BCD [解析] 因为叶形线C:x3+y3=axy经过点A,所以a=3.由解得x=y=0,所以直线y=-x与C只有1个公共点,故A错误.x3+y3=3xy=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy],因为点P在第二象限,所以x0y0<0,(x0+y0)2-3x0y0>0,所以x0+y0=<0,故B正确.若点P在第四象限,则x0y0<0,x0+y0<0,因为x3+y3=3xy=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=(x+y)3-3xy(x+y),所以3xy(x+y+1)=(x+y)3.当点P在第二或第四象限时,x0+y0+1=>0,所以x0+y0>-1.当点P是原点或在第一象限时,易得x0+y0>-1,所以x0+y0>-1,故C正确.由3xy(x+y+1)=(x+y)3,可得3xy=≤3,解得x+y≤3,所以x0+y0≤3,D正确.故选BCD.
9.2 [解析] 根据对称性,不妨取双曲线-=1的一条渐近线的方程为x+ay=0,因为该条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以圆心到渐近线的距离为,即=,所以a=1,所以双曲线的实轴长为2.
10. [解析] 由抛物线的光学性质可知直线AB经过焦点F,且直线AB的斜率存在,因为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),令y=1,得x=,即A,由 消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,Δ=4(k2+2)2-4k4>0,则xAxB=1,所以xB==4,所以|AB|=xA+xB+p=.
11. [解析] 设|NF2|=n,则|MN|=2n,|MF2|=3n,由双曲线定义得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|=3n-2a,由勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(3n-2a)2+9n2=4c2①,连接NF1,则|NF1|-|NF2|=2a,故|NF1|=2a+n,由勾股定理得|MF1|2+|MN|2=|NF1|2,即(3n-2a)2+4n2=(2a+n)2②,由②得n=a,代入①得20a2=4c2,故=.
12.解:(1)由题意设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0).
因为双曲线过点(-3,2),所以-=λ,解得λ=,
所以所求双曲线的方程为-=,故其标准方程为-=1.
(2)因为点P在第三象限,所以可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2my(m>0).
将点P(-2,-4)的坐标代入y2=-2px得16=4p,即p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x;
将点P(-2,-4)的坐标代入x2=-2my得4=8m,即m=,此时抛物线的标准方程为x2=-y.
故抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.
13.解:(1)当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线方程为y2=2p1x(p1>0),
则12=6p1,解得p1=2,
故抛物线方程为y2=4x;
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线方程为x2=2p2y(p2>0),
则9=4p2,解得p2=,
故抛物线方程为x2=y.
综上,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=y.
(2)由(1)得,当抛物线焦点在x轴上时,抛物线方程为y2=4x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-4y+4m=0,
则Δ=(-4)2-4×4m>0,解得m<1,
且y1+y2=4,y1y2=4m,x1x2=(y1-m)(y2-m)=y1y2-m(y1+y2)+m2=4m-4m+m2=m2,
又以AB为直径的圆经过原点,
所以OA⊥OB,即·=x1x2+y1y2=m2+4m=0,
解得m=-4或m=0.
当m=0时,直线y=x+m过原点,不合题意,舍去,故m=-4.
14.解:(1)由已知,得2c=4,∴c=2,
当|PF|最小时,PF⊥PO,不妨令F(c,0),由F(c,0)到渐近线y=x的距离d==b,可知|PF|min=b,此时|PO|=a,
∵△POF的面积为,∴ab=,
又c2=a2+b2=4,且a2b2=3,∴a2,b2为方程x2-4x+3=0的两个根,
又b>a>0,∴b2=3,a2=1,∴C的方程为x2-=1.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),
则k1=,k2=,k3=,
∵A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3)均在l上,
∴y1=k(x1-2),y2=k(x2-2),y3=k(x3-2),
∴k1==+k,k2=+k,k3=+k.
∵k1+k2=2k3,∴+=,∴+=,即=.
由消去y整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,∵|k|<,∴3-k2>0,且Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)=36(k2+1)>0,
∴
∴=,
即=,解得x3=,
∴y3=k(x3-2)=k=-,∴M,即l上存在点M满足题设,显然M在定直线x=上.滚动习题(六)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为(0,2),则抛物线的方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=4x
C.x2=4y D.x2=8y
2.已知双曲线-=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为,则此双曲线的离心率e= ( )
A. B. C. D.2
3.已知点M在抛物线y2=2px(p>0)上,若点M到抛物线对称轴的距离是4,到准线的距离是5,则p的值是 ( )
A.2或4 B.4或6
C.6或8 D.2或8
4.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下方程不能表示“好曲线”的是 ( )
A.x+y=5 B.+=1
C.x2+y2=16 D.x2=16y
5.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,若++=0,则||+||+||= ( )
A.9 B.6
C.4 D.3
6.如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0),AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若双曲线C过A,B两点,且离心率为,则直线AB的方程为 ( )
A.3x+y+7=0 B.4x+y+6=0
C.x+y+5=0 D.2x+y+3=0
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上的一点,|AF|=2,则下列说法正确的是 ( )
A.焦点为F(1,0)
B.准线方程为y=-1
C.点A的坐标为(1,2)或(1,-2)
D.以AF为直径的圆与抛物线的准线相切
8.笛卡儿叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出.如图,叶形线C:x3+y3=axy经过点A,点P(x0,y0)在C上,则下列结论正确的是 ( )
A.直线y=-x与C有3个公共点
B.若点P在第二象限,则x0+y0<0
C.x0+y0>-1
D.x0+y0≤3
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.若双曲线-=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为 .
10.抛物线镜面有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(2,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经过抛物线上的另一点B反射后,平行于入射光线射出,则|AB|= .
11.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M是双曲线左支上一点,∠F1MF2=90°,直线MF2交双曲线的另一支于点N,|MN|=2|NF2|,则双曲线的离心率为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)(1)在平面直角坐标系中,求与双曲线-=1有公共渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线的标准方程.
(2)求经过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程.
13.(15分)[2025·盐城七校高二期中] 已知顶点在原点O,焦点在坐标轴上的抛物线过点(3,2).
(1)求拋物线的标准方程;
(2)若抛物线的焦点在x轴上且与直线y=x+m交于A,B两点(A,B两点异于原点),以AB为直径的圆经过原点,求m的值.
14.(15分)在平面直角坐标系xOy中,动点P在双曲线C:-=1(b>a>0)的一条渐近线上,已知C的焦距为4,且F为C的一个焦点,当|PF|最小时,△POF的面积为.
(1)求C的方程;
(2)已知点Q(2,3),直线l:y=k(x-2)与C交于A,B两点,当|k|<时,l上存在点M使得k1+k2=2k3,其中k1,k2,k3分别为直线QA,QB,QM的斜率,证明:M在定直线上.(共27张PPT)
滚动习题（六）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为 ，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 抛物线的焦点坐标为，，，
又焦点在 轴正半轴上， 抛物线的方程为 .故选D.
√
2.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双
曲线的离心率 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，
， 该渐近线的方程为， ，
解得或（舍去），
， 双曲线的离心率 .故选A.
√
3.已知点在抛物线上，若点 到抛物线对称轴的
距离是4，到准线的距离是5，则 的值是( )
A.2或4 B.4或6 C.6或8 D.2或8
[解析] 因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点 的纵坐标为，
因为点在抛物线上，所以由得横坐标为 ，
又因为点到准线的距离为5，即，解得或 .故选D.
√
4.若曲线上存在点，使到平面内两点, 距离之差
的绝对值为8，则称曲线 为“好曲线”．以下方程不能表示“好曲线”
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，到平面内两点， 距离之差的绝对
值为8，由双曲线的定义知，的轨迹是以, 为焦点的双曲线，且
,，即轨迹方程为 ，可知“好曲线”一定与双曲线
有交点，结合各选项知，不能表示“好曲线”的方程是
.故选B.
5.设为抛物线的焦点，，， 为该抛物线上不同的三点，
若，则 ( )
A.9 B.6 C.4 D.3
[解析] 设，， ，由题意知
，
，即 .
根据抛物线的定义得
.故选B.
√
6.如图，双曲线，
是圆 的一条直径，
若双曲线过，两点，且离心率为 ，
则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意，则 ，即，
由圆的方程知，设 ，，
则， ，
又 两式相减得 ，
所以，
故直线 的方程为，即 .故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点， ，
则下列说法正确的是( )
A.焦点为
B.准线方程为
C.点的坐标为或
D.以 为直径的圆与抛物线的准线相切
√
√
[解析] 抛物线的焦点为，准线方程为 ，
故A正确，B错误；
因为为抛物线上的一点， ，所以，解得，
所以，解得 ，所以点的坐标为或，
故C正确；
不妨取，则 的中点坐标为，因为点到准线的
距离为 ，所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，
故D错误.故选 .
8.笛卡儿叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出.如图，
叶形线经过点，点在 上，则下列结
论正确的是( )
A.直线与 有3个公共点
B.若点在第二象限，则
C.
D.
√
√
√
[解析] 因为叶形线 经过点，
所以.由 解得，
所以直线与 只有1个公共点，故A错误.
因为点在第二象限，所以， ，
所以，故B正确.
若点 在第四象限，则，，
，
因为 ，
所以.
当点 在第二或第四象限时， ，
所以.
当点 是原点或在第一象限时，易得，所以 ，
故C正确.
由 ，可得，
解得 ，所以，D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.若双曲线的一条渐近线被圆 所
截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为___.
2
[解析] 根据对称性，不妨取双曲线 的一条渐近线的方程
为，因为该条渐近线被圆 所截得的弦
长为2，所以圆心到渐近线的距离为，即，所以 ，
所以双曲线的实轴长为2.
10.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到
的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射
光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为
，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点 反
射后，再经过抛物线上的另一点 反射后，平行于入射光线射出，则
___.
[解析] 由抛物线的光学性质可知直线经过焦点，且直线 的斜
率存在，因为，设直线的方程为，令 ，
得，即，由 消去 得
， ，
则，所以，所以 .
11.双曲线的左、右焦点分别为,，点
是双曲线左支上一点， ，直线 交双曲线的另一支
于点， ，则双曲线的离心率为____.
[解析] 设，则， ，由双曲线定义得
，故 ，由勾股定理得
，即，
连接 ，则，故 ，由勾股定理得
，即 ，
由②得，代入①得，故 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.(13分)(1)在平面直角坐标系中，求与双曲线 有公共渐近线，
且经过点 的双曲线的标准方程.
解：由题意设所求双曲线的方程为 .
因为双曲线过点，所以 ，解得 ，
所以所求双曲线的方程为，故其标准方程为 .
（2）求经过点 的抛物线的标准方程.
解：因为点 在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为
或 .
将点的坐标代入得，即 ，此时抛
物线的标准方程为 ；
将点的坐标代入得，即 ，此时抛
物线的标准方程为 .
故抛物线的标准方程为或 .
13.（15分）［2025·盐城七校高二期中］ 已知顶点在原点 ，焦点
在坐标轴上的抛物线过点 .
（1）求拋物线的标准方程；
解：当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线方程为，
则，解得 ，故抛物线方程为 ；
当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线方程为 ，
则，解得 ，故抛物线方程为 .
综上，抛物线的标准方程为或 .
13.（15分）［2025·盐城七校高二期中］ 已知顶点在原点 ，焦点
在坐标轴上的抛物线过点 .
（2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于， 两点
，两点异于原点，以为直径的圆经过原点，求 的值.
解：由（1）得，当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为 ，
设， ，由得 ，
则，解得 ，且， ，
，
又以 为直径的圆经过原点，所以，
即 ，解得或 .
当时，直线过原点，不合题意，舍去，故 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，动点 在双曲线
的一条渐近线上，已知的焦距为4，且
为的一个焦点，当最小时，的面积为 .
（1）求 的方程；
解：由已知，得, ，当最小时，，
不妨令,由到渐近线 的距离，
可知,此时 ，的面积为, ，
又，且，,为方程 的
两个根，又,,，的方程为 .
14.（15分）在平面直角坐标系中，动点 在双曲线
的一条渐近线上，已知的焦距为4，且
为的一个焦点，当最小时，的面积为 .
（2）已知点，直线与交于, 两点，当
时，上存在点使得，其中,, 分别为直
线,,的斜率，证明： 在定直线上.
证明：设
，， ,
即 .
由消去整理得 ，
，即，解得 ，
，，即上存在点
满足题设，显然在定直线 上.
快速核答案
1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.D 7.AC 8.BCD
9.2 10. 11.
12.（1）.（2）或.
13.（1）或.（2）.
14.（1）.（2）证明略
