第2课时 对数函数的图象与性质的应用
学习任务 核心素养
1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点) 2．理解并掌握对数函数的单调性．(重点) 3．会用对数函数的相关性质解综合题．(难点) 通过学习本节内容，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
画出对数函数y＝log2x，y＝的图象，说出该函数的性质，探究对数型函数y＝loga(x2－2x－3)的一般性质(定义域、值域、单调性等)．
知识点 图象变换
(1)平移变换
当b＞0时，将y＝logax的图象向左平移 b个单位长度，得到y＝loga(x＋b)的图象；向右平移b个单位长度，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝logax的图象向上平移b个单位长度，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位长度，得到y＝logax－b的图象．
(2)对称变换
要得到y＝loga 的图象，应将y＝logax的图象关于x轴对称．
为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________．
向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [y＝lg ＝lg (x＋3)－1，故需要将y＝lg x的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．]
类型1 与对数函数相关的图象
【例1】【链接教材P156例4】
作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其增区间．
[解] 步骤如下：
(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．
(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位长度得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．
(3)将y＝log2 (x＋2)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．
(4)将y＝|log2 (x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位长度，得到y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，如图(4)．
由图可知，此函数的增区间为[－1，＋∞)．
【教材原题·P156例4】
例4画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象写出函数的单调区间．
解：由于函数y＝f(x)＝log2|x|满足对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有
f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，
所以函数y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称．
当x>0时，log2|x|＝log2x．因此，我们先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2．C1和C2构成函数y＝log2|x| 的图象，如图6-3-4．
由图象可以知道，函数y＝log2|x|的减区间是(－∞，0)，增区间是(0，＋∞)．
1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b．
2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|．
以上可以看出，作含有绝对值符号的函数图象时，先将绝对值符号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y．
[跟进训练]
1．(1)若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga(x＋1)的图象大致是( )
A B
C D
(2)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logb x的图象可能是( )
A B C D
(1)D (2)B [(1)因为函数f(x)＝a－x是定义域为R的增函数，所以0
(2)由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，
所以当01；当b>1时，0类型2 解对数不等式
【例2】 解下列关于x的不等式：
；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
[解] (1)由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于
解得x>4．
当0解得综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0 对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
[跟进训练]
2．(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
(2)若loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
[解] (1)因为log3x<1＝log33，
所以x满足的条件为即0所以x的取值集合为{x|0(2)loga<1，即loga当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
所以loga当0由loga所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．
类型3 值域问题
【例3】(1)已知函数f(x)＝的定义域为[2，4]，则函数f(x)的值域是________．
(2)函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域是______．
[思路点拨] (1)中利用f(x)＝在定义域[2，4]上为减函数求解．
(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．
(1)[－4，－2] (2)(－∞，4] [(1)∵f(x)＝在[2，4]上为减函数，
∴x＝2时，f(x)max＝＝－2；
x＝4时，f(x)min＝＝－4．
∴f(x)的值域为[－4，－2]．
(2)∵－x2－4x＋12＞0，
又－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，
∴0＜－x2－4x＋12≤16，
故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，
∴函数的值域为(－∞，4]．]
求函数值域或最大(小)值的常用方法
(1)直接法
根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．
(2)配方法
当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，求函数值域问题时，可以用配方法．
(3)单调性法
根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．
(4)换元法
求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围．
[跟进训练]
3．(1)求函数f(x)＝ (1－x2)的单调区间；
(2)求函数f(x)＝(x2＋2x＋3)的值域．
[解] (1)要使y＝(1－x2)有意义，则1－x2>0．
所以x2<1，所以－1令t＝1－x2，x∈(－1，1)，
当x∈(－1，0]时，当x增大时，t增大，y＝减小．所以当x∈(－1，0]时，y＝(1－x2)单调递减；
同理可知，当x∈(0，1)时，y＝(1－x2)单调递增．
即函数y＝(1－x2)的减区间为(－1，0]，增区间为(0，1)．
(2)f(x)＝(x2＋2x＋3)＝[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，
所以2＝－1，
所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
类型4 对数函数的综合问题
【例4】已知函数f(x)＝lg (2－x)－lg (2＋x)．
(1)求值：f＋f；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断函数的单调性并用定义证明．
[解] (1)f＋f＝lg －lg ＋lg －lg ＝0．
(2)由题知 －2又f(－x)＝lg (2＋x)－lg (2－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)设－2f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ，
∵(2－x1)(2＋x2)－(2＋x1)(2－x2)＝4(x2－x1)>0，
又(2－x1)(2＋x2)>0，(2＋x1)(2－x2)>0，
∴>1，
∴lg >0．
从而f(x1)>f(x2)，故f(x)在(－2，2)上为减函数．
对数函数性质的综合应用
(1)常见的命题方式
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．
(2)解此类问题的基本思路
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
[跟进训练]
4．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)且f(1)＝2．
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)由题意知，解得－1故f(x)的定义域为(－1，3)．
由f(1)＝2得，loga(1＋1)＋loga(3－1)＝2，故a＝2．
(2)f(x)＝log2[(1＋x)(3－x)]，∵x∈，
∴(1＋x)(3－x)∈[3，4]，
故f(x)在区间上的最大值为f(1)＝2，最小值为f(0)＝log23．
1．(教材P159习题6.3T13改编)函数f(x)＝log0.5(4x－3)，则使f(x)>0的x的取值范围为( )
A． B．
C．(1，＋∞) D．∪(1，＋∞)
A [由f(x)>0得log0.5(4x－3)>log0.51，
∴解得2．不等式(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3) B．
C． D．
D [由题意得
解得故选D．]
3．函数f(x)＝的增区间是( )
A． B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
D [画出f(x)的图象(图略)，由图象可知增区间为[1，＋∞)．]
4．函数y＝(1－3x)的值域为________．
(0，＋∞) [因为3x>0，所以－3x<0，
所以0<1－3x<1．
又y＝t(t＝1－3x，0＜t＜1)是关于t的减函数，
所以y＝1＝0．所以y>0．
故函数的值域为(0，＋∞)．]
5．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
[当a>1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝；
当0回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．函数图象的平移应注意什么问题？
[提示] 左右平移是对自变量x作变化，和前面的系数无关，如y＝lg 2x图象向左平移3个单位长度得y＝lg 2(x＋3)的图象而不是y＝lg (2x＋3)的图象．
2．求与对数函数相关的问题时要注意什么？
[提示] 定义域优先，同时注意数形结合和分类讨论思想．
课时分层作业(二十八) 对数函数的图象与性质的应用
一、选择题
1．若函数f(x)＝loga x(0A． B．
C． D．
B [∵a∈(0，1)，∴f(x)max＝loga a＝1，f(x)min＝loga3a，由题知loga3a＝，∴a＝＝．]
2．函数f(x)＝loga |x|＋1(0A B
C D
A [将g(x)＝loga x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位长度，即得f(x)的图象．]
3．函数f(x)＝的值域为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．(2，＋∞)
B [x≥1时，f(x)≤0，x<1时，0故f(x)的值域为(－∞，2)．]
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．bC [偶函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，则在(0，＋∞)上是减函数．又∵log47＝<15．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(2，3] D．(2，＋∞)
C [由题意得
解得2二、填空题
6．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1){x|1f(3)，
∴f(x)＝logax是减函数，
由f(2x－1)∴∴1∴f(2x－1)7．函数y＝(－3＋4x－x2)的增区间是________．
(2，3) [由－3＋4x－x2>0得x2－4x＋3<0得1设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2．
∵y＝t为减函数，
∴要求函数y＝(－3＋4x－x2)的增区间，
即求函数t＝－3＋4x－x2，1∵函数t＝－3＋4x－x2，1∴函数y＝(－3＋4x－x2)的增区间是(2，3)．]
8．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为______，值域为________．
(－1，4) [－2，＋∞) [由－x2＋3x＋4>0得－1又－x2＋3x＋4＝－＋，
所以0<－x2＋3x＋4≤，
由复合函数的性质得log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4 ＝－2，
所以原函数的值域为[－2，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝log2．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间．
[解] (1)要使函数有意义，
则有或
解得x>1或x<－1．
所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
所以函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则＝<0，
所以<，
所以log2即f(x2)所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
同理，f(x)在(－∞，－1)上也单调递减．
故f(x)＝log2的减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
10．求函数f(x)＝，x∈的值域．
[解] f(x)＝
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t．
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上单调递增，在上单调递减，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝．
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2．
∴f(x)的值域为．
11．(多选题)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上单调递减，则a的可能取值为( )
A． B．2
C． D．
ABC [函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0，2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以112．(多选题)下列函数中既是定义域上的偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝|ln x| D．y＝
BD [函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时， y＝在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意；函数y＝＝的定义域为R，是定义域上的偶函数， 当x∈(0，＋∞)时， y＝在(0，＋∞)上单调递增；函数y＝的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，不是定义域上的偶函数，不合题意；函数y＝的定义域为R，是定义域上的偶函数， 当x∈(0，＋∞)时， y＝ex在(0，＋∞)上单调递增．故选BD．]
13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
[∵f(log2a)＋)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)≤2f(1)，
∴f(log2a)≤f(1)，由f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴－1≤log2a≤1，即log2 ≤log2a≤log22，
∴≤a≤2．]
14．函数y＝＋5在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为__________．
10 [∵2≤x≤4，则由y＝lox在区间[2，4]上单调递减知，lo2≥lox≥lo4，
即－2≤lox≤－1．
若设t＝lox，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5．
而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝上单调递减，
而[－2，－1] ，所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为．]
15．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋＜m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
∴a＝－1．
(2)f(x)＋＝＋
＝，当x＞1时＜－1．
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋＜m恒成立，∴m≥－1．
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
1 / 14第2课时 对数函数的图象与性质的应用
学习任务 核心素养
1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点) 2．理解并掌握对数函数的单调性．(重点) 3．会用对数函数的相关性质解综合题．(难点) 通过学习本节内容，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
画出对数函数y＝log2x，y＝的图象，说出该函数的性质，探究对数型函数y＝loga(x2－2x－3)的一般性质(定义域、值域、单调性等)．
知识点 图象变换
(1)平移变换
当b＞0时，将y＝logax的图象向____平移 ___个单位长度，得到y＝loga(x＋b)的图象；向____平移___个单位长度，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝logax的图象向____平移___个单位长度，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向____平移___个单位长度，得到y＝logax－b的图象．
(2)对称变换
要得到y＝loga 的图象，应将y＝logax的图象关于_____对称．
为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________．
类型1 与对数函数相关的图象
【例1】【链接教材P156例4】
作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其增区间．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b．
2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|．
以上可以看出，作含有绝对值符号的函数图象时，先将绝对值符号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y．
[跟进训练]
1．(1)若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga(x＋1)的图象大致是( )
A B
C D
(2)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logb x的图象可能是( )
A B C D
类型2 解对数不等式
【例2】 解下列关于x的不等式：
；
(2)loga(2x－5)>loga(x－1)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
[跟进训练]
2．(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合；
(2)若loga<1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 值域问题
【例3】(1)已知函数f(x)＝的定义域为[2，4]，则函数f(x)的值域是________．
(2)函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域是______．
[思路点拨] (1)中利用f(x)＝在定义域[2，4]上为减函数求解．
(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求函数值域或最大(小)值的常用方法
(1)直接法
根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．
(2)配方法
当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，求函数值域问题时，可以用配方法．
(3)单调性法
根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．
(4)换元法
求形如y＝logaf(x)型函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围．
[跟进训练]
3．(1)求函数f(x)＝ (1－x2)的单调区间；
(2)求函数f(x)＝(x2＋2x＋3)的值域．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4 对数函数的综合问题
【例4】已知函数f(x)＝lg (2－x)－lg (2＋x)．
(1)求值：f＋f；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断函数的单调性并用定义证明．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
对数函数性质的综合应用
(1)常见的命题方式
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．
(2)解此类问题的基本思路
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
[跟进训练]
4．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)且f(1)＝2．
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(教材P159习题6.3T13改编)函数f(x)＝log0.5(4x－3)，则使f(x)>0的x的取值范围为( )
A． B．
C．(1，＋∞) D．∪(1，＋∞)
2．不等式(5x－6)的解集为( )
A．(－∞，3) B．
C． D．
3．函数f(x)＝的增区间是( )
A． B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
4．函数y＝(1－3x)的值域为________．
5．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．函数图象的平移应注意什么问题？
2．求与对数函数相关的问题时要注意什么？
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