类型1 函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它形象直观地反映了函数的性质．教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．
【例1】(1)若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________．
(2)若函数f(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 比较大小
1．比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
2．当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”“大于等于0，小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
【例2】比较下列各组数的大小：
(1)0.65.1，5.10.6，log0.65.1；
(2)log712，log812；
(3)a＝，b＝，c＝，d＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 分类讨论思想
本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．
【例3】已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 / 2章末综合提升6
类型1 函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它形象直观地反映了函数的性质．教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．
【例1】(1)若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________．
(2)若函数f(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．
(1)－ (2) [(1)因为x<1，所以0<2x<2．
要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0，2)，
由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，
所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－．
(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．
因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．
由y＝－与y＝－在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以＝g(1)＝－＝－．
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－．
故所求a的取值范围为．]
类型2 比较大小
1．比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
2．当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”“大于等于0，小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
【例2】比较下列各组数的大小：
(1)0.65.1，5.10.6，log0.65.1；
(2)log712，log812；
(3)a＝，b＝，c＝，d＝．
[解] (1)因为0<0.65.1<1，5.10.6>1，log0.65.1<0，所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1．
(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象，
由底数变化对图象位置的影响知：log712>log812．
法二：＝＝＝log78>1．
因为log812>0，
所以log712>log812．
(3)因为0<<1，所以y＝在[0，＋∞)上为增函数，所以，即a
同理，即c又因为>1，
所以b类型3 分类讨论思想
本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．
【例3】已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．
[解] ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f＝0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，f＝0．
故若f(logax)>0，则有logax>或logax<－．
①当a>1时，由loga x>或loga x<－，得x>或0②当0或loga x<－，得0．
综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为∪(，＋∞)；当00的解集为(0，．
章末综合测评(六) 幂函数、指数函数和对数函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [∵f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，
∴f＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1．故选C．]
2．若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
A [y＝ax的图象在第一、二象限．∵－1∴y＝ax＋b的图象是由y＝ax的图象向下平移|b|个单位长度，可知y＝ax＋b的图象过第一、二、三象限．]
3．若log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A． B．9
C．18 D．27
B [log416＝2，由换底公式得log34·log48·log8m＝log3m＝2，∴m＝9．]
4．若loga(a2＋1)A．(0，1) B．
C． D．(0，1)∪(1，＋∞)
C [由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a．
又loga(a2＋1)同时2a>1，所以a>，综上a∈．]
5．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－3)f(x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
D [幂函数f(x)＝xα的图象过点，所以3α＝，得α＝－1，所以f(x)＝，g(x)＝＝1－在区间上单调递增．所以最小值为g＝－8．故选D．]
6．若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．
故选B．]
7．函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)
C．f(－4)B [因为函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的图象关于x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]
8．已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
B [因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，
则需满足解得－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1，0]．
故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)在(0，1)上单调递增
D．f(x)在(0，1)上单调递减
AC [由已知可得，f(x)的定义域为(－1，1)，f(x)＝ln ＝ln ，又y＝－1在(0，1)上单调递增，∴f(x)在(0，1)上单调递增，又f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故选AC．]
10．设函数f(x)＝2x，对于任意x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．>0
D．f<
ACD ＝，故A正确，故B错误．f(x)＝2x在R上为增函数，x1>x2时则有f(x1)－f(x2)>0，>0，x10，故C正确．对于D，f(x)＝2x图象下凹，由几何意义知D正确．]
11．设函数f的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是( )
A．y＝x3＋1(x∈R) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝ln x(x>0) D．y＝x2
AC [即对任意定义域中的x，存在y使得f(y)＝f(x)－2；由于A、C值域为R，故满足；
对于B，当x＝0时，函数值为1，此时不存在自变量y使得函数值为－1，故B不满足；
对于D，当x＝0时，不存在自变量y使得函数值为－2，所以D不满足．故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，则a的取值范围是________．
[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即
解得a>．]
13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________的污染物．
81% [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0·e-5k，解得k＝－ln 0.9．则10小时后还剩P＝P0·e-10k＝P0·e2ln 0.9＝P0·eln 0.81＝0.81 P0＝81%P0．]
14．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同的实数根，且a1 (0，1) [
由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且a四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．
[解] (1)将点(－2，9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a-2＝9，解得a＝，∴f(x)＝．
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，
∴f(2m－1)∵f(x)＝为减函数，
∴2m－1>m＋3，解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．
16．(15分)设函数y＝f(x)且lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)．
(1)求f(x)的解析式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[解] (1)∵lg (lg y)＝lg (3x)＋lg (3－x)，
∴lg (lg y)＝lg [3x(3－x)]，
∴lg y＝3x(3－x)，
∴y＝103x(3-x)，即f(x)＝103x(3-x)．
∵
∴0(2)令t＝3x(3－x)＝－3＋，
则y＝10t．
∵x∈(0，3)，
∴t∈，
]，
∴原函数的值域为]．
17．(15分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，若牛奶放在0 ℃的冰箱里，保鲜时间是200 h，而在1 ℃的温度下则是160 h．
(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；
(2)利用(1)的结论，指出温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间．
[解] (1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是y＝t·ax(a>0，且a≠1)，由题意可得：
解得
故函数解析式为y＝200×．
(2)当x＝2 ℃时，y＝200×＝128(h)．
当x＝3 ℃时，y＝200×＝102.4(h)．
故温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间分别为128 h和102.4 h．
18．(17分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点．
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
[解] (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，
所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
因为g(x)的图象过点，
所以loga2＝，
所以＝2，
解得a＝2．
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x．
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，
g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．
19．(17分)已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a-2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a+1＞25a-2，
∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是(0，1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，
∵loga(3x＋1)∴
解得即不等式的解集为．
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上单调递减，∴当x＝3时，y有最小值－2，即loga5＝－2，∴a-2＝＝5，解得a＝．
1 / 1