7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
学习任务 核心素养
1．了解正弦函数、余弦函数的图象． 2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点) 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质．(重点、难点) 1．通过作正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养．
网上搜索一下一个物理实验：“沙摆实验”视频，就是将一个装满细沙的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细沙轨迹是什么？
知识点1 正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫作正弦曲线和余弦曲线(如图)．
1．为什么把y＝sin x，y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？
[提示] 由公式sin (x＋2kπ)＝sin x，cos (x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展． ( )
(2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同． ( )
(3)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
知识点2 “五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
画余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
[答案] 0，，π
知识点3 正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin ，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
2．作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？
[提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
3．不等式cos x＜0，x∈[0，2π]的解集为________．
[答案]
类型1 利用“五点法”作简图
【例1】【链接教材P200例3】
用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．
[解] (1)列表如下：
x 0 π π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点连线，如图①所示．
①
(2)列表如下：
x 0 π π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点连线，如图②所示．
②
[母题探究]
(变条件)将本例(2)函数改为“y＝－1－cos x，x∈[0，2π]”，试画出函数的图象．
[解] 列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
描点连线，如图所示．
【教材原题·P200例3】
例3用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y＝2cos x，x∈R；
(2)y＝sin 2x，x∈R．
解：(1)先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2cos x 2 0 －2 0 2
描点画图，然后由周期性得整个图象(图7-3-7)
(2)先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
x 0 π
2x 0 π 2π
sin 2x 0 1 0 －1 0
描点画图，然后由周期性得出整个图象(图7-3-8)．
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x(或cos x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
[跟进训练]
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．
[解] 按五个关键点列表、描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
3＋2cos x 5 3 1 3 5
类型2 利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥；(2)cos x≤．
[解] (1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．
(2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z．
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[跟进训练]
2．在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________．
[画出y＝cos x在[0，2π]上的简图，如图所示．
由于cos x＝－时，x＝或x＝．
由图象可知，在[0，2π]上，使cos x≤－成立的角x的取值集合为．]
类型3 正、余弦函数图象的应用
【例3】在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出两函数图象交点的个数．
[解] 建立直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位长度，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知两函数图象的交点有3个．
1．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题．
2．常见的函数图象变换
(1)y＝f(x) 的图象向左(或右)平移a(a＞0)个单位长度，得到函数y＝f(x＋a)(或y＝f(x－a))的图象；
(2)y＝f(x)的图象向上(或下)平移b(b＞0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋b(或y＝f(x)－b)的图象；
(3)y＝f(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝－f(x)的图象；
(4)y＝f(x)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y＝f(－x)的图象；
(5)y＝f(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y＝－f(－x)的图象；
(6)y＝f(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝|f(x)|的图象；
(7)y＝f(x)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数y＝f(|x|)的图象．
[跟进训练]
3．求定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数．
[解] 在同一平面直角坐标系中画出函数图象如图，
由图象可知，共7个交点．
1．函数y＝cos x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.85的交点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A [画出图象(图略)，由图象知有一个交点．]
2．(多选题)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
ABD [函数y＝sin x的图象关于原点中心对称，并不关于x轴对称．故C错误．]
3．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
A B
C D
D [可以用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除AC；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B．]
4．不等式组的解集是________．
(π，5] [当≤x≤π时，0≤sin x≤1．
当π
5．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________．(填序号)
①(π，－1)；②(0，2)；③；④(π，4)；⑤．
①⑤ [由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．正弦、余弦函数图象的画法采用了什么方法？
[提示] 五点作图法．
2．怎样理解五点作图法中的“五点”？
[提示] y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0，2π]与x轴有三个交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0，2π]与x轴有两个交点：，图象上有两个最高点：(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
课时分层作业(三十六) 正弦、余弦函数的图象
一、选择题
1．函数y＝cos x·|tan x|的大致图象是( )
A B
C D
C [y＝cos x·|tan x|＝]
2．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位长度，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A． B．π
C． D．
C [根据诱导公式得，y＝－sin x＝cos ＝cos ，故欲得到y＝－sin x的图象，需将y＝cos x 的图象向右至少平移个单位长度．]
3．(多选题)关于三角函数的图象，下列说法正确的是( )
A．y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos (－x)与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x与y＝cos (－x)的图象关于y轴对称
BD [对B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对D，y＝cos (－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图可知AC均不正确．]
4．函数y＝x2与y＝cos x图象交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知两函数图象有2个交点．
]
5．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B．
C． D．
C [画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如图：
因为sin ＝，所以sin ＝－，sin ＝－，即在[0，2π]内满足sin x＝－的是x＝或x＝．可知不等式sin x<－的解集是．]
二、填空题
6．函数y＝的定义域是________．
{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} [由题意可得，
即
∴0＜sin x≤1，
由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．]
7．函数y＝sin x的图象与函数y＝cos x的图象在[0，2π]内的交点坐标为________．
和 [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，
易知，交点坐标为和．]
8．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
[由|cos x－sin x|＝sin x－cos x得
sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x．
又x∈[0，2π]，结合图象(图略)可知，≤x≤，
所以x∈．]
三、解答题
9．利用图象变换作出函数y＝sin |x|，x∈[－2π，2π]的简图．
[解] ∵y＝sin |x|＝为偶函数，∴首先用五点法作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象；再将x∈[0，2π]的图象关于y轴对称．如图所示．
10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①sin x＞0；②sin x＜0；
(2)直线y＝与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？
[解] 利用“五点法”作图，如图．
(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin x＞0，在x轴下方的部分－sin x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin x＜0；
当x∈(0，π)时，sin x＞0．
(2)画出直线y＝，由图象知有两个交点．
11．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
D [由题意知，当1－sin x≠0，即sin x≠1时，
y＝＝|sin x|，所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．]
12．(多选题)下列函数中：①y＝sin x－1；②y＝|sin x|；③y＝－cos x；④y＝．与函数y＝sinx形状完全相同的有( )
A．② B．③
C．① D．④
BC [y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位长度，没改变形状；y＝－cos x＝sin ，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位长度，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，∴①③完全相同，而②y＝|sin x|，④y＝＝|cosx|与y＝sin x的形状不相同．]
13．函数y＝sin x＋2|sin x|在[0，2π]上的图象若与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________，若与直线y＝k有四个不同的交点，则k的取值范围是________．
(1，3) (0，1) [y＝sin x＋2|sin x|＝
由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，若有两个不同的交点，则1]
14．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)＞时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈N)．]
15．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
[解] 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y＝的图象，由图象可知，当<1，即当－1y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实根．
1 / 147.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦、余弦函数的图象
学习任务 核心素养
1．了解正弦函数、余弦函数的图象． 2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点) 3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质．(重点、难点) 1．通过作正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养．
网上搜索一下一个物理实验：“沙摆实验”视频，就是将一个装满细沙的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细沙轨迹是什么？
知识点1 正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫作______曲线和______曲线(如图)．
1．为什么把y＝sin x，y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展． ( )
(2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同． ( )
(3)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点． ( )
知识点2 “五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是___________________________________．
画余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是_____________________________________．
2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
知识点3 正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin ，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向____平移个单位长度即可．
2．作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．不等式cos x＜0，x∈[0，2π]的解集为________．
类型1 利用“五点法”作简图
【例1】【链接教材P200例3】
用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0，2π]．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)将本例(2)函数改为“y＝－1－cos x，x∈[0，2π]”，试画出函数的图象．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x(或cos x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
[跟进训练]
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．
(1)sin x≥；(2)cos x≤．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
[跟进训练]
2．在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________．
类型3 正、余弦函数图象的应用
【例3】在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出两函数图象交点的个数．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题．
2．常见的函数图象变换
(1)y＝f(x) 的图象向左(或右)平移a(a＞0)个单位长度，得到函数y＝f(x＋a)(或y＝f(x－a))的图象；
(2)y＝f(x)的图象向上(或下)平移b(b＞0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋b(或y＝f(x)－b)的图象；
(3)y＝f(x)的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝－f(x)的图象；
(4)y＝f(x)的图象作关于y轴对称的图象，得到函数y＝f(－x)的图象；
(5)y＝f(x)的图象作关于原点对称的图象，得到函数y＝－f(－x)的图象；
(6)y＝f(x)的图象保留x轴及其上方的图象，同时x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y＝|f(x)|的图象；
(7)y＝f(x)的图象保留y轴及其右侧的图象，再去掉y轴左侧的图象，最后y轴右侧的图象作关于y轴对称的图象，得函数y＝f(|x|)的图象．
[跟进训练]
3．求定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．函数y＝cos x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.85的交点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(多选题)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
3．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
A B
C D
4．不等式组的解集是________．
5．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________．(填序号)
①(π，－1)；②(0，2)；③；④(π，4)；⑤．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．正弦、余弦函数图象的画法采用了什么方法？
2．怎样理解五点作图法中的“五点”？
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