第3课时 正切函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质．(重点) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养． 2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养．
正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan x，x∈的图象．
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性 无对称轴，对称中心为(k∈Z)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是增函数． ( )
(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z． ( )
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝tan 的定义域为____________．
[因为2x－≠＋kπ，k∈Z，所以x≠，k∈Z．]
类型1 正切函数的定义域
【例1】【链接教材P204例6】
求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝．
[解] (1)要使y＝有意义，
则
∴
∴函数y＝的定义域为
．
(2)由题意得tan x－3≥0，
∴tan x≥ ，
∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，
∴y＝的定义域为
．
【教材原题·P204例6】
例6求函数y＝tan 的定义域．
解：因为y＝tan z的定义域为
，
令z＝2x－，由2x－≠＋kπ，得x≠．
所以y＝tan 的定义域是
．
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义．
(2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
[跟进训练]
1．求下列函数的定义域．
(1)y＝3tan；
(2)y＝＋lg (1－tan x)．
[解] (1)要使函数有意义应满足≠kπ＋，k∈Z，解得x≠－4kπ－，k∈Z．
所以函数的定义域为．
(2)由题意知
即－1≤tan x<1，
在上满足上述不等式的x的取值范围是，
又因为y＝tan x的周期为kπ，k∈Z，且k≠0，
所以函数的定义域为．
类型2 正切函数单调性的应用
【例2】(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan 的单调区间．
(1)tan 2又<2<3<4<π＋1<，
所以tan 2(2)[解] y＝3tan ＝－3tan，
由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z得，
－π所以y＝3tan 的减区间为，k∈Z．
[母题探究]
1．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？
[解] 由kπ－得2kπ－所以函数y＝3tan的增区间是(k∈Z)．
2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如何？
[解] 因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，
所以函数y＝lg tan x的增区间就是函数y＝tan x(tan x>0)的增区间，即，k∈Z．
1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：正切函数无减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
[跟进训练]
2．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小．
(1)tan 与tan ；
(2)tan 与tan ．
[解] (1)因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
所以tan 即tan (2)因为tan ＝－tan ，
tan ＝－tan ，
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
所以tan >tan ，
所以－tan <－tan ，
即tan 类型3 正切函数的图象及应用
【例3】根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．
[解] 由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图．
由图象可知，
函数y＝|tan x|是偶函数，增区间为
(k∈Z)，
减区间为(k∈Z)，周期为π．
[母题探究]
(变条件)将本例中的函数“y＝|tan x|”改为“y＝tan |x|”，解答同样的问题．
[解] 由y＝tan |x|得
y＝
根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图，
由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，增区间为(k＝0，1，2，…)；
减区间为(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．
作由正切函数复合而成的简单函数图象的方法
(1)直接描点法，要注意定义域；
(2)图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转、对称等变换，作出函数的图象．
[跟进训练]
3．函数f(x)＝tan x＋|tan x|的周期是________．
π [作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π．
]
类型4 正切函数奇偶性、周期性和
图象的对称性
【例4】(1)函数f(x)＝tan 的最小正周期为________．
(2)已知函数y＝tan ，则该函数图象的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3x tan 2x－2x4；②y＝cos ＋tan x．
(1) (2)，k∈Z [(1)法一(定义法)：∵tan ＝tan ，
即tan ＝tan ，
∴f(x)＝tan 的最小正周期是．
法二(公式法)：f(x)＝tan 的最小正周期T＝．
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z．]
(3)[解] ①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3x tan 2x－2x4＝f(x)，
所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，
又f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x
＝－f(x)，所以它是奇函数．
1．函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝．
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数既不奇函数也不是偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z．
[跟进训练]
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan ＋tan ．
[解] (1)由得f(x)的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan ＋tan
＝－tan －tan ＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
1．函数y＝4tan 的最小正周期为( )
A． B．π C． D．2π
D [T＝＝2π．]
2． (多选题)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是( )
A．y＝tan B．y＝tan
C．y＝cos D．y＝sin
AC [对于A选项，函数y＝tan 的周期为π，且在上单调递增，符合题意，故A选项正确．
对于B选项，函数y＝tan 的周期为，不合题意，故B选项错误．
对于C选项，函数y＝cos ＝sin 2x的周期为π，且在上单调递增，符合题意，故C选项正确．
对于D选项，函数y＝sin ＝cos 2x在上单调递减，不符合题意，故D选项错误．故选AC．]
3．函数y＝tan x在上的值域为________．
[－1，] [∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤．]
4．函数f(x)＝的最小正周期为________，函数的奇偶性为________．
2π 奇函数 [函数f(x)＝
＝，所以T＝＝＝2π，
又因为函数f(x)的定义域为，
关于原点对称且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．]
5．(教材P204练习T2改编)函数y＝tan 的定义域为________．
[由≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，
所以函数的定义域为．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
[提示] 不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，是不连续的．故增区间为(k∈Z)，无减区间．
2．若让你比较tan 与tan 的大小，你应该怎样做？
[提示] 根据函数的周期性或诱导公式把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．
课时分层作业(三十八) 正切函数的图象与性质
一、选择题
1．(多选题)下列命题正确的是( )
A．y＝tan x为增函数
B．y＝tan (ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为
C．在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数
D．在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1
BD [函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan (ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故B正确；当x＝－时，y＝tan x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．]
2．函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．2或－2
D [由＝，可知ω＝±2．]
3．函数f(x)＝的定义域为( )
A． B．
C． D．
C [要使函数有意义，则
∴x≠且x≠，∴x≠，k∈Z．]
4．与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
D [当x＝时，y＝tan ＝tan ＝1；当x＝－时，y＝tan ＝1；当x＝时，y＝tan ＝－1，当x＝时，y＝tan 不存在．]
5．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围是( )
A．(－1，0) B．[－1，0)
C．(0，1) D．(0，1]
B [∵y＝tan ωx在内是减函数，
∴T＝≥π，
∴0＜|ω|≤1．
∵y＝tan x在内为增函数，
∴ω<0，∴－1≤ω<0．]
二、填空题
6．比较大小：tan ________tan ．(填“>”或“<”)
＜ [tan ＝tan ＝tan ．
∵y＝tan x在上单调递增且0＜＜＜，
∴tan ＜tan ，即tan ＜tan ．]
7．函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在上的大致图象依次是____________．(填序号)
① ②
③ ④
①②④③ [∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，
∴y＝|tan x|对应①；∵y＝tan |x|是偶函数，
∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；而y＝tan (－x)与y＝tan x关于y轴对称，
∴y＝tan (－x)对应④，y＝tan x对应②，故四个图象依次是①②④③．]
8．函数y＝6tan 的定义域为________，对称中心为________．
(k∈Z)
[y＝6tan ＝－6tan ，
由6x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠π(k∈Z)，
由6x－＝(k∈Z)，得x＝，k∈Z．
故定义域为，对称中心为(k∈Z)．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求函数y＝的定义域、周期及单调区间．
[解] 自变量x的取值应满足
x＋≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z．
所以，函数的定义域是．
设z＝x＋，
又tan (z＋π)＝tan z，
所以tan ＝tan ，
即tan ＝tan ．
因为 x∈都有
tan ＝tan ，
所以，函数的周期为2．
由－＋kπ解得－＋2k因此，函数的单调递增区间为，k∈Z．
10．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解] (1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，即＝．
因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan (2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝，k∈Z．
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan ．
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－所以函数的增区间为，k∈Z，无减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan ．
由－1≤tan ，
得－＋kπ≤2x＋＋kπ，k∈Z，
即－≤x≤，k∈Z．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
．
11．(多选题)关于x的函数f(x)＝tan (x＋φ)，说法正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都既不是奇函数也不是偶函数
B．f(x)的图象关于对称
C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称
D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
BCD [A项，若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以A错误；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1，2知BC正确，D显然正确．]
12．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
A B
C D
D [当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；
当π＜x＜π时，tan x＞sin x，
y＝2sin x＜0．故选D．]
13．已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β．能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________．
(答案不唯一) (答案不唯一) [取α＝＋2π，β＝，则α>β，
但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β，
因为命题p为假命题，所以能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝．]
14．已知x∈，则函数y＝＋2tanx＋1的最小值为________，取最小值时相应的x的值为________．
1 － [y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1．
∵x∈，∴tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1．]
15．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan 在x∈上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
[解] ∵y＝tan θ在区间(k∈Z)上为增函数，∴a＜0．
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－≤a≤6－8k(k∈Z)．
令－＝6－8k，
解得k＝1，此时－2≤a≤－2，∴a＝－2＜0，
∴存在a＝－2∈Z，满足题意．
1 / 15第3课时 正切函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质．(重点) 2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点) 1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养． 2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养．
正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan x，x∈的图象．
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在开区间__________上都是增函数
对称性 无对称轴，对称中心为(k∈Z)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是增函数． ( )
(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z． ( )
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． ( )
2．函数y＝tan 的定义域为____________．
类型1 正切函数的定义域
【例1】【链接教材P204例6】
求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义．
(2)求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
[跟进训练]
1．求下列函数的定义域．
(1)y＝3tan；
(2)y＝＋lg (1－tan x)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 正切函数单调性的应用
【例2】(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．
(2)求函数y＝3tan 的单调区间．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如何？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：正切函数无减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
[跟进训练]
2．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小．
(1)tan 与tan ；
(2)tan 与tan ．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 正切函数的图象及应用
【例3】根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)将本例中的函数“y＝|tan x|”改为“y＝tan |x|”，解答同样的问题．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
作由正切函数复合而成的简单函数图象的方法
(1)直接描点法，要注意定义域；
(2)图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转、对称等变换，作出函数的图象．
[跟进训练]
3．函数f(x)＝tan x＋|tan x|的周期是________．
类型4 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
【例4】(1)函数f(x)＝tan 的最小正周期为________．
(2)已知函数y＝tan ，则该函数图象的对称中心坐标为________．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3x tan 2x－2x4；②y＝cos ＋tan x．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝．
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数既不奇函数也不是偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z．
[跟进训练]
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan ＋tan ．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．函数y＝4tan 的最小正周期为( )
A． B．π C． D．2π
2． (多选题)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的是( )
A．y＝tan B．y＝tan
C．y＝cos D．y＝sin
3．函数y＝tan x在上的值域为________．
4．函数f(x)＝的最小正周期为________，函数的奇偶性为________．
5．(教材P204练习T2改编)函数y＝tan 的定义域为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
2．若让你比较tan 与tan 的大小，你应该怎样做？
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