1.2 子集、全集、补集
第1课时 子集、真子集
学习任务 核心素养
1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点) 3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养．
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1 子集的概念及其性质
(1)子集
定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号 表示 A B(或B A)
读法 集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
(2)子集的性质
①A A，即任何一个集合是它本身的子集．
② A，即空集是任何集合的子集．
③若A B，B C，则A C，即子集具备传递性．
(3)集合相等
若A B且B A，则A＝B．
1．(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？
(2)符号“∈”与“ ”有何不同？
[提示] (1)不一定，如集合A＝{1，2}与B＝{3，4}这两个集合之间没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“ ”表示集合与集合之间的关系．
不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素． )
(2)任何一个集合都有子集． )
(3)若A＝B，则A B且B A． )
(4)若a∈A，则{a} A． )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点2 真子集的概念与性质
(1)真子集的概念
如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
(2)性质
① 是任一非空集合的真子集．
②若A?B，B?C，则A?C．
2．{0}与 相等吗？
[提示] 不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ ．
2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．
3 [集合A＝{0，1}，其真子集分别为 ，{0}，{1}，共3个．]
类型1 确定集合的子集、真子集
【例1】【链接教材P9例2】
设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．
[解] 由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4，
故集合A＝{－4，－1，4}．
由0个元素构成的子集为 ；
由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}；
由3个元素构成的子集为{－4，－1，4}；
故集合A的子集为 ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}，共8个．
真子集为 ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，共7个．
【教材原题·P9例2】
例2写出集合{a，b}的所有子集．
解：集合{a，b}的所有子集是 ，{a}，{b}，{a，b}．
1．有限集的子集的确定问题的关键点
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．与子集、真子集个数有关的三个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n；
(2)A的真子集的个数为2n－1；
(3)A的非空真子集的个数为2n－2．
[跟进训练]
1．已知集合M满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
类型2 集合关系的判断
【例2】指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；
(2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1
[解] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故B?A．
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)因为P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，
所以P＝Q．
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A?B．
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A?B．
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
提醒：若A B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系．
[跟进训练]
2．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．
[解] (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A?B．
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D?B?A?C．
类型3 集合之间的包含关系
【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B?A，求实数m的取值范围．
[解] (1)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2．
(2)当B≠ 时，如图所示．
∴
或
解这两个不等式组，得2≤m≤3．
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
[母题探究]
1．(变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[解] (1)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2．
(2)当B≠ 时，如图所示，
∴解得
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．(变条件)若本例条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，求m的取值范围．
[解] 当A B时，如图所示，此时B≠ ．
∴即
∴m不存在．即不存在实数m使A B．
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
(1)当B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[解] ∵B A，∴可以分B＝ 和B≠ 讨论．
(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2．
(2)当B≠ 时，有
解得－1≤m<2．
综上可得，m的取值范围是{m|m≥－1}．
1．对于集合A，B，“A B”不成立的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
C [“A B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B，故选C．]
2．设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M B．N M
C．N M D．N M
D [∵1∈{1，2，3}，∴1∈M，又2 N，∴N M．]
3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________．
4 [由x(x－2)＝0得x＝0，或x＝2，所以A＝{0，2}．所以A的子集有 ，{0}，{2}，{0，2}，共4个．]
4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
B?A [B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B?A．]
5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥a}．若B A，则实数a的取值范围为________．
{a|a≥1} [结合数轴(图略)知a≥1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
[提示] A B或A?B．从集合中元素入手，根据集合间关系的定义得出结论．
2．本节课中有哪些易错地方？
[提示] (1)忽略对集合是否为空集的讨论．(2)忽视是否能够取到端点值．
3．本节课主要学习了哪些数学思想方法？
[提示] 分类讨论、数形结合．
罗素悖论与第三次数学危机
某村的理发师宣布了这样一个原则：他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子．那么，这个理发师是否应该为自己刮胡子呢？如果理发师不为自己刮胡子，那么他是不给自己刮胡子的人，所以按照他的原则，他必须为自己刮胡子；反之，如果他为自己刮胡子，因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子，所以他不应该为自己刮胡子．
看完上面这段话后是不是觉得有些困惑？这是数学上有名的“理发师困境”，是著名数学家罗素于20世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本．
罗素悖论与集合论知识有关．
事实上，我们所学习的集合，也能以集合作为元素．例如，若记集合A＝{1，2}的所有子集组成的新集合为B，则
B＝{ ，{1}，{2}，{1，2}}，B中的元素都是集合(B一般称为类)．
以集合作为元素在直观上是容易理解的：如果把一个集合理解为一个袋子，元素理解为袋子里的东西，则以集合为元素的集合，就相当于袋子里的东西还是袋子．这也可以用电脑中的文件夹来理解，文件夹中可以是文件，也可以是文件夹，如图所示．
罗素认为，任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题，有些集合属于它自身，有些集合不属于它自身． 随后，罗素构造了集合S：由所有不是自身元素的集合组成的集合．
问题是：S是否属于S？继续往下分析就会出现类似上述“理发师困境”的两难局面．
罗素悖论提出时，集合论的知识已经成为数学的基础．这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑，从而导致了“第三次数学危机”．但是数学家们通过对集合论进行公理化成功地解决了这一危机，为了避免出现罗素悖论，公理中规定集合不能以它自身为元素．这跟我们的日常经验一致：一个袋子不能把自己装起来，一个文件夹也不能包括它自己．
感兴趣的同学，请自行查阅有关书籍和网络，了解悖论和第三次数学危机的更多内容吧！
课时分层作业(三) 子集、真子集
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．空集是任何集合的真子集
B．若A?B，B?C，则A?C
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．{0，1} {(0，1)}
B [空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．{0，1}是数集，{(0，1)}是点集．]
2．集合{1，2}的子集个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A [集合{1，2}的子集有 ，{1}，{2}，{1，2}，共4个．]
3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N B．N?M
C．M?N D．N M
C [解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M N．又因为0∈N但0 M，所以M?N．]
4．(多选题)已知集合M＝{x|－A．P＝{－2，0，1}
B．Q＝{－1，0，1，2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤ ，x∈N}
AD [集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0，1}，集合Q中2 M，
集合R中的元素－3 M，A、D正确．]
5．已知集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．29
B [由所定义的运算，知P－Q＝{1，2，3，4，5}．则P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31．故选B．]
二、填空题
6．集合A＝{x|1{a|a≥6} [∵A＝{x|1]
7．已知集合A {0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
6 [集合{0，1，2}的子集为 ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．]
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若 ?A，则实数a的取值范围为________．若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
{a|－1≤a≤1} {0，－1，1} [因为 ?A，所以A≠ ，所以ax2＋2x＋a＝0至少有一个根，则Δ＝4－4a2≥0，得－1≤a≤1．若集合A有且仅有2个子集，则A中仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0仅有一个根．当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}， ，符合题意．当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，得a＝±1，当a＝1时，集合A的两个子集为{－1}， ，符合题意；当a＝－1时，集合A的两个子集为{1}， ．所以a＝0或a＝±1．]
三、解答题
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
[解] 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
所以A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求实数a的取值范围；
(2)若B A，求实数a的取值范围．
[解] (1)若A?B，由图可知，a>2．
故实数a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B A，由图可知，1≤a≤2．
故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
11．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1
C． D．－1
B [依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B．所以a＝1，故选B．]
12．集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M与N没有相同元素
C [∵＝(2k＋1)，＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，∴M?N．]
13．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
S?P＝M [M中的x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P，
∴M P，
同理P中的y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M，
∴P M，
∴M＝P．
S中的z＝3×(2m)＋1，
∵2m为偶数，∴S?P＝M．]
14．已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，则集合A＝________．若集合B满足{0}?B A，则集合B＝________．
{－1，0} {－1，0} [解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，
∴集合A＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}．
∵集合B满足{0}?B A，
∴集合B＝{－1，0}．]
15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1，2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由；
(2)若A B成立，求出对应的实数对(a，b)．
[解] (1)对于任意实数b都有A B，当且仅当集合A中的元素为1，2．
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解．
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A B．
(2)由(1)易知，若A B，
则或
或或
解得或
或或
则所求实数对为(5，9)或(6，10)或(－3，－7)或(－2，－6)．
1 / 131.2 子集、全集、补集
第1课时 子集、真子集
学习任务 核心素养
1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点) 3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养．
如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1 子集的概念及其性质
(1)子集
定义 如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号 表示 A____B(或B____A)
读法 集合A________集合B(或集合B______集合A)
图示
(2)子集的性质
①A A，即任何一个集合是它本身的子集．
② A，即空集是任何集合的子集．
③若A B，B C，则A C，即子集具备传递性．
(3)集合相等
若A B且B A，则A＝B．
1．(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？
(2)符号“∈”与“ ”有何不同？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( )
(2)任何一个集合都有子集． ( )
(3)若A＝B，则A B且B A． ( )
(4)若a∈A，则{a} A． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点2 真子集的概念与性质
(1)真子集的概念
如果______，并且______，那么集合A称为集合B的真子集，记为______或______，读作“____________”或“__________”．
(2)性质
① 是任一非空集合的真子集．
②若A?B，B?C，则A?C．
2．{0}与 相等吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．
类型1 确定集合的子集、真子集
【例1】【链接教材P9例2】
设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．有限集的子集的确定问题的关键点
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．与子集、真子集个数有关的三个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n；
(2)A的真子集的个数为2n－1；
(3)A的非空真子集的个数为2n－2．
[跟进训练]
1．已知集合M满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 集合关系的判断
【例2】指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}；
(2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
提醒：若A B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系．
[跟进训练]
2．判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 集合之间的包含关系
【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B?A，求实数m的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)若本例条件“B?A”改为“A B”，其他条件不变，求m的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
(1)当B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．对于集合A，B，“A B”不成立的含义是( )
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B
D．B中至少有一个元素不属于A
2．设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M B．N M
C．N M D．N M
3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________．
4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥a}．若B A，则实数a的取值范围为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
2．本节课中有哪些易错地方？
3．本节课主要学习了哪些数学思想方法？
罗素悖论与第三次数学危机
某村的理发师宣布了这样一个原则：他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子．那么，这个理发师是否应该为自己刮胡子呢？如果理发师不为自己刮胡子，那么他是不给自己刮胡子的人，所以按照他的原则，他必须为自己刮胡子；反之，如果他为自己刮胡子，因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子，所以他不应该为自己刮胡子．
看完上面这段话后是不是觉得有些困惑？这是数学上有名的“理发师困境”，是著名数学家罗素于20世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本．
罗素悖论与集合论知识有关．
事实上，我们所学习的集合，也能以集合作为元素．例如，若记集合A＝{1，2}的所有子集组成的新集合为B，则
B＝{ ，{1}，{2}，{1，2}}，B中的元素都是集合(B一般称为类)．
以集合作为元素在直观上是容易理解的：如果把一个集合理解为一个袋子，元素理解为袋子里的东西，则以集合为元素的集合，就相当于袋子里的东西还是袋子．这也可以用电脑中的文件夹来理解，文件夹中可以是文件，也可以是文件夹，如图所示．
罗素认为，任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题，有些集合属于它自身，有些集合不属于它自身． 随后，罗素构造了集合S：由所有不是自身元素的集合组成的集合．
问题是：S是否属于S？继续往下分析就会出现类似上述“理发师困境”的两难局面．
罗素悖论提出时，集合论的知识已经成为数学的基础．这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑，从而导致了“第三次数学危机”．但是数学家们通过对集合论进行公理化成功地解决了这一危机，为了避免出现罗素悖论，公理中规定集合不能以它自身为元素．这跟我们的日常经验一致：一个袋子不能把自己装起来，一个文件夹也不能包括它自己．
感兴趣的同学，请自行查阅有关书籍和网络，了解悖论和第三次数学危机的更多内容吧！
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