2.1 命题、定理、定义
学习任务 核心素养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点) 2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点) 3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点) 4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点) 1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养． 2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养．
在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？
知识点1 命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，可判断真假的________叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可__________”和“________”．
(3)分类：命题
1．(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如“今天的作业完成了吗？”“请勿吸烟”等．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句“陈述句都是命题”不是命题． ( )
(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题． ( )
知识点2 命题的结构及定理、定义
1．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的______，q叫作命题的______．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为_____________________________________．
2．定理与定义
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．
在数学中的定义是对某些对象标明______、指明______，或者揭示所研究问题中对象的______．
(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．
(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．
类型1 命题的判断
【例1】(1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．(填序号)
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 025是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判断语句是命题的关键点
(1)该语句必须是陈述句；
(2)该语句可以判断真假．
提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．
[跟进训练]
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 命题的构成
【例2】【链接教材P27例1、P28例2】
(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
①函数y＝2x＋1是一次函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
[跟进训练]
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 命题真假的判断
【例3】【链接教材P28例3】
判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个奇数是两个整数的平方差．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[跟进训练]
3．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4 数学中的新定义
【例4】对于a，b∈N*，规定
a*b＝
集合M＝{(a，b)|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为( )
A．6 B．8
C．15 D．16
[思路点拨] 本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a*b＝12，a，b∈N*，分a，b奇偶性相同和a，b奇偶性不同进行分类讨论即可．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
数学中的定义在解题中的应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果．数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径．本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据．
[跟进训练]
4．设集合S＝{r1，r2，…，rn} {1，2，3，…，32}，又S中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为________．
1．下列语句为真命题的是( )
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1＋2＝3
D．请打开窗户
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
3．(教材P30习题2.1T3改编)下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则b2>a或b2>c
C．若|x|D．若a＝b，则＝
4．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．
5．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？
2．含有大前提的命题怎样写成“若p则q”的形式？
数学中的猜想
通过小学和初中的学习，大家可能已经感受到，对于包括数学在内的很多学科来说，最重要的就是得到各种各样的有价值的命题．这些命题通常都是以结论、定理、推论、性质等形式表述的．
值得注意的是，对于命题，我们要求的是“可供”真假判断，至于怎样才能判断一个命题的真假以及谁能判断，是命题概念里没有涉及的内容．
例如，语句“367 895 326 013 217是6的倍数”是可以判断真假的，所以它是一个命题．要判断这个命题的真假，可以借助现代信息技术(如计算器、计算机等)，也可以直接利用有关数学知识(例如，因为6是2的倍数，所以凡是6的倍数的数一定是偶数，但给定的数是奇数，所以原命题是假命题)．总的来说，要判断一个命题的真假并不是一件容易的事，这也就是我们为什么要努力学习各种知识的原因之一．
实际上，数学界中，有一些命题至今还没有人能判断真假，比如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和”，到目前为止数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一个假命题．通常，未能得到真假判断的命题称为猜想．前面提到的这个命题是数学家哥德巴赫提出来的，所以称为哥德巴赫猜想．
在数学和其他学科的研究中，如果有人能解决一个大家都认为很难的猜想，那是一件非常了不起的事情，解决猜想的人也会因此而享誉全球．感兴趣的同学可以上网搜索“猜想”以了解更多的情况．
1 / 82.1 命题、定理、定义
学习任务 核心素养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点) 2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点) 3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点) 4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点) 1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养． 2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养．
在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？
知识点1 命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，可判断真假的陈述句叫作命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可判断真假”和“陈述句”．
(3)分类：命题
1．(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如“今天的作业完成了吗？”“请勿吸烟”等．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句“陈述句都是命题”不是命题． ( )
(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题． ( )
[答案] (1)× (2)√
知识点2 命题的结构及定理、定义
1．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示] 条件是“一个数是实数”，结论是“它的平方是非负数”．
2．把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为_____________________________________．
[答案] 若一个四边形是矩形，则它的对角线相等
2．定理与定义
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．
在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．
(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．
类型1 命题的判断
【例1】(1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．(填序号)
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 025是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.
(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
判断语句是命题的关键点
(1)该语句必须是陈述句；
(2)该语句可以判断真假．
提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．
[跟进训练]
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解] (1)是命题，满足二次函数的定义．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．
(4)是疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
类型2 命题的构成
【例2】【链接教材P27例1、P28例2】
(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
①函数y＝2x＋1是一次函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
(1)一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]
(2)[解] ①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.
【教材原题·P27例1】
例1 指出下列命题中的条件p和结论q：
(1)若ab＝0，则a＝0；
(2)若a<0，则|a|>0；
(3)如果二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，那么k＝0；
(4)如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．
解：(1)p：ab＝0，q：a＝0.
(2)p：a<0，q：|a|>0.
(3)p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点，q：k＝0.
(4)p：两个三角形的三边分别对应相等，q：这两个三角形全等．
【教材原题·P28例2】
例2 将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式：
(1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
(2)对顶角相等；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
解：(1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等．
(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分．
(4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
[跟进训练]
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解] (1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
类型3 命题真假的判断
【例3】【链接教材P28例3】
判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个奇数是两个整数的平方差．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0．
(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．
【教材原题·P28例3】
例3判断下列命题的真假：
(1)若a＝b，则a2＝b2；
(2)若a2＝b2，则a＝b；
(3)全等三角形的面积相等；
(4)面积相等的三角形全等．
解：(1)当a＝b时，显然有a2＝b2.
所以，命题为真．
(2)当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，
即由a2＝b2，不能推出a＝b.
所以，命题为假．
(3)由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等．
所以，命题为真．
(4)如图2 1 1，直角三角形ABC与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等．
所以，命题为假．
命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[跟进训练]
3．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根．
[解] (1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1 Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
类型4 数学中的新定义
【例4】对于a，b∈N*，规定
a*b＝
集合M＝{(a，b)|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为( )
A．6 B．8
C．15 D．16
[思路点拨] 本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a*b＝12，a，b∈N*，分a，b奇偶性相同和a，b奇偶性不同进行分类讨论即可．
C [分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．
如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符合M中元素的要求；
如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求．
综上，M中元素的个数为11＋4＝15.故选C.]
数学中的定义在解题中的应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果．数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径．本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据．
[跟进训练]
4．设集合S＝{r1，r2，…，rn} {1，2，3，…，32}，又S中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为________．
15 [一个数能被5整除，可以用5k表示，k∈Z.两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9，2和8，3和7，4和6，余数分别是1和4，2和3，3和2，4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．
集合S的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；
S0＝{5，10，15，20，25，30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；
S1＝{1，6，11，16，21，26，31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；
S2＝{2，7，12，17，22，27，32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；
S3＝{3，8，13，18，23，28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；
S4＝{4，9，14，19，24，29}，S4中的元素共6个，都被5除余4.
S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15.故n的最大值为15.]
1．下列语句为真命题的是( )
A．a>b
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．1＋2＝3
D．请打开窗户
C [A、D不是命题，B为假命题，C为真命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]
3．(教材P30习题2.1T3改编)下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则b2>a或b2>c
C．若|x|D．若a＝b，则＝
C [对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题；
对于B，当a＝b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，但b2>a或b2>c不成立，故B是假命题；
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．
[答案] 两个角是对顶角 它们相等
5．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．
[答案] 真
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？
[提示] 可以判断真假的陈述句为命题；命题由条件与结论构成．它们之间是因果关系．
2．含有大前提的命题怎样写成“若p则q”的形式？
[提示] 大前提应保持不变，且不写在条件p中．
数学中的猜想
通过小学和初中的学习，大家可能已经感受到，对于包括数学在内的很多学科来说，最重要的就是得到各种各样的有价值的命题．这些命题通常都是以结论、定理、推论、性质等形式表述的．
值得注意的是，对于命题，我们要求的是“可供”真假判断，至于怎样才能判断一个命题的真假以及谁能判断，是命题概念里没有涉及的内容．
例如，语句“367 895 326 013 217是6的倍数”是可以判断真假的，所以它是一个命题．要判断这个命题的真假，可以借助现代信息技术(如计算器、计算机等)，也可以直接利用有关数学知识(例如，因为6是2的倍数，所以凡是6的倍数的数一定是偶数，但给定的数是奇数，所以原命题是假命题)．总的来说，要判断一个命题的真假并不是一件容易的事，这也就是我们为什么要努力学习各种知识的原因之一．
实际上，数学界中，有一些命题至今还没有人能判断真假，比如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和”，到目前为止数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一个假命题．通常，未能得到真假判断的命题称为猜想．前面提到的这个命题是数学家哥德巴赫提出来的，所以称为哥德巴赫猜想．
在数学和其他学科的研究中，如果有人能解决一个大家都认为很难的猜想，那是一件非常了不起的事情，解决猜想的人也会因此而享誉全球．感兴趣的同学可以上网搜索“猜想”以了解更多的情况．
课时分层作业(六) 命题、定理、定义
一、选择题
1．(多选题)下列语句中不是命题的是( )
A．6>3 B．x>0
C．对于x∈R，总有x2>0 D．x2＋y2＝0
BD [A为命题，B不能判断真假不是命题，D不能判断真假故不是命题，C为命题．]
2．下列命题为假命题的是( )
A．若x>1，则x2>1
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若A＝60°，则cos A＝
B [因为|a|＝|b|，所以a＝b或a＝－b.故选B.]
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是( )
A．两条直线
B．一条直线
C．垂直
D．两条直线垂直于同一条直线
D [命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”．故选D.]
4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2
C．3 D．4
B [因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，因此M中有不属于P的元素，也可能有属于P的元素，故②④正确，故选B.]
5．(多选题)下列命题是假命题的为( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x2＋y2＞0，则x＋y＞0
D．若xBCD [由＝得x＝y；而由x2＝1得x＝±1；
由于x＝y＝－1时，x2＋y2＞0，但x＋y＜0；
而由x二、填空题
6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形．其中真命题的序号是________．
① [②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形．③中平行四边形不是梯形．①正确．]
7．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0，1) [由题意知解得a<1，且a≠0.]
8．指出下列命题的条件和结论：
(1)若整数a能被2整除，则a是偶数．
条件p：_________________________________________________________，
结论q：_________________________________________________________.
(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
条件p：_________________________________________________________，
结论q：____________________________________________________________.
(1)整数a能被2整除 a是偶数 (2)四边形是菱形 对角线互相垂直平分 [(1)如果整数a能被2整除，那么a是偶数，故条件p：整数a能被2整除，结论q：a是偶数．
(2)如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直平分，故条件p：四边形是菱形，结论q：对角线互相垂直平分．]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)面积相等的两个三角形全等；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
[解] (1)若ac>bc，则a>b.假命题．
(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．假命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.真命题．
10．已知命题“若1[解] 因为命题“若1所以解得≤m≤1.
所以实数m的取值范围为．
11．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A．]
12．(多选题)给出命题“方程x2＋ax＋2＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的可能取值为( )
A．1 B．－2
C．0 D．3
ABC [由题意知Δ＝a2－8<0，故a2<8．故A、B、C适合题意．]
13．下列命题是真命题的是________．(填序号)
①0是{0，1，2}的真子集；
②关于x的方程x2＋|x|＝0有四个实数根；
③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；
④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1．
④ [对于①，0是集合{0，1，2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|＝0得|x|＝0，所以x＝0，方程有一个实数根，故②是假命题；
对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；
对于④，由a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]
14．已知命题：存在实数a，使得a，3，4能成为三角形的三边长．若该命题是假命题，则a的取值范围是________．
(－∞，1]∪[7，＋∞) [若该命题为真命题，则4－3＜a＜4＋3，即1＜x＜7，所以当该命题为假命题时有x≤1或x≥7．]
15．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
[解] 若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4．故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
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