3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
学习任务 核心素养
1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．
函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？
a>0 a<0
一次函数 y＝ax＋b的图象
一元一次方程 ax＋b＝0的根
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
知识点1 二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
二次函数一定有零点吗？
[提示] 当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点．
函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． ( )
(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． ( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点2 函数零点的探究
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：
判别式 Δ＝b2－ 4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
C [令y＝0，得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．]
类型1 求函数的零点
【例1】求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．
(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．
(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．
[解] (1)由3x2－2x－1＝0，解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－．
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1．
又－(－1)＝，
①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1．
②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和．
综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1；
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和．
(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3．
1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．
2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
3．运用“分类讨论”思想求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点的步骤
(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；
(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实根．
若可以因式分解，则一定存在零点．
(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．
[跟进训练]
1．求下列函数的零点．
(1)y＝2x2－3x－2；
(2)y＝ax2－x－1；
(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
[解] (1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－．
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，
当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；
当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2．
当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1，2＝，
函数有两个零点和．
综上：当a＝0时，函数的零点为－1；
当a＝－时，函数的零点为－2；
当a>－且a≠0时，函数有两个零点和；
当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．
(3) 由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1．
类型2 函数的零点个数的论证与探究
【例2】【链接教材P64例1】
若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[思路点拨] 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．
[证明] 考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
因为a>2，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，
所以Δ>0，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[母题探究]
求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．
[解] (必要性)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，
当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点；
当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
即 或
解得a≥2或a≤－2，
又a≠2，所以a>2或a≤－2，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2．
(充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．
综上，函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2．
【教材原题·P64例1】
例1求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点．
分析：要证明二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点，只需证明一元二次方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可．
证明：考察一元二次方程2x2＋3x－7＝0．
因为Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0，
所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根．
因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个零点．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac．
(1)Δ>0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点．
(2)Δ＝0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点．
(3)Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
[跟进训练]
2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
[证明] 当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．
综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
类型3 二次函数的零点分布探究
【例3】【链接教材P64例2】
(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点；
(2)二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，求实数k的取值范围．
[思路点拨] (1)直接求出函数的零点，再加以判定．
(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．
[解] (1) 由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，
所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点．
(2)因为二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，所以关于x的方程x2－3x＋k＝0至少有一个正实根，有以下三种情况：
①有一正一负两个实根，
由一元二次方程的根与系数关系得
所以k＜0；
②有两个正实根，
由一元二次方程的根与系数关系得
所以0＜k≤；
③有一个实根为零，易知此时k＝0，方程x2－3x＋k＝0的两个实根为0和3，符合题意．
综上知，实数k的取值范围是．
【教材原题·P64例2】
例2判断二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点．
解：根据求根公式可得一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1＝1＋，x2＝1－．
因为1<<2，
所以2<1＋<3．
因此，二次函数y＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究
结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理．
(1) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．
(2) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．
(3) x1x2<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．
提醒：二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．
[跟进训练]
3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．
(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．
[解] 法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a．
(1)因为该函数有两个正的零点，
所以 解得0
所以a的取值范围是0(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以 或
解得a>1或a<0．
所以a的取值范围是a>1或a<0．
法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，
所以
解得0所以a的取值范围是0(2) 方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，
则
因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．
所以a的取值范围是a>1或a<0．
1．(教材P64练习T3(2)改编)函数y＝x2＋4x－5的零点为( )
A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0)
C．－5 D．1
A [由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]
2．(多选题)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值可能是( )
A．－4 B．2
C．3 D．－1
ABC [当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1．当a>0时，－2a1，当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3．
所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．结合选项知，ABC符合要求．]
3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
2 [由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]
4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为________．
2 [方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4，因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为2．]
5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为________．
{－3，0} [由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求函数零点的方法是什么？
[提示] (1)观察图象，看图象与x轴交点的横坐标．
(2)解相应的方程，方程的解即为函数的零点．
(3)含参函数的零点求解需分类讨论．
2．怎样判定二次函数零点的个数？
[提示] 论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．
3．怎样研究二次函数零点的分布？
[提示] 研究相应的一元二次方程，利用根与系数求解．
十字相乘法
把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．提取公因式分解、应用乘法公式分解、分组分解是我们常用的方法．
对于二次三项式ax2＋bx＋c的因式分解，“十字相乘法”也是一种值得尝试的方法．
例 分解因式：6x2－7x＋2．
上式假如可以分解因式，必然是分成两个一次因式的乘积．
如6x2－7x＋2＝(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd．
如果能够找到整数a，c，b，d满足ac＝6，bd＝2，且ad＋bc＝－7，就把6x2－7x＋2分解成两个整系数一次因式的乘积了．
对于上例，因式分解的过程大致为：先分别把二次项系数6和常数项2分解因数，分别得到6＝3×2和2＝(－2)×(－1)．当然，还有其他的分解，分解之后还需检验交叉相乘后能否得到一次项系数．我们用下面的算式予以体现：
因此可得a＝3，b＝－2，c＝2，d＝－1，则6x2－7x＋2＝(3x－2)(2x－1)．
一般地，对于二次三项式ax2＋bx＋c，如果能够找到a1，a2，c1，c2满足a＝a1a2，c＝c1c2，且b＝a1c2＋a2c1，则有因式分解ax2＋bx＋c＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
为了便于理解，我们将a＝a1a2与c＝c1c2的因子排成如下方式：
十字相乘法适用于二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根的情况．
课时分层作业(十二) 从函数观点看一元二次方程
一、选择题
1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
C [由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．]
2．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为( )
A．－和 B．和－
C．－3和2 D．无法确定
A [由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，所以b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝．故选A．]
3．关于x的函数y＝x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1, x2，且x2－x1＝15，则a＝( )
A． B．
C． D．
A [由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．]
4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，实数m的可能取值为( )
A．－5 B．－
C．－ D．－3
BC [x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0．当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2，即解得－45．(多选题)已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4＝0有两个零点，且一个大于2，一个小于2，则实数k的可能取值为( )
A．－2 B．－3
C．－4 D．－5
BCD [由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧．由图象知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－．]
二、填空题
6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＝________．
1 [因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得 所以＝＝1．]
7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________．
[当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为．]
8．函数y＝x2＋3x＋m有唯一一个零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________．
[因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点，所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝．
若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，
所以解得0三、解答题
9．求下列函数的零点．
(1) y＝x－2－3；
(2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．
[解] (1)由x－2－3＝0，得(＋1)(－3)＝0，
又≥0，所以＝3，即x＝9，
所以函数y＝x－2－3的零点为9．
(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＝0，得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0．
①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4；
②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)．
10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
[证明] 法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，
无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
11．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
BCD [当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误．故选BCD．]
12．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
B [因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a13．已知函数y＝x2＋mx－1，若函数的一个零点为1，则m的值为________．
0 [若函数的一个零点为1，则0＝1＋m－1，则m＝0．]
14．已知实数am15．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围．
[解] 函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，
又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1，
所以解得－即实数a的取值范围是．
15 / 153.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
学习任务 核心素养
1．理解函数零点的概念．(重点) 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点) 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．
函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？
a>0 a<0
一次函数 y＝ax＋b的图象
一元一次方程 ax＋b＝0的根
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
知识点1 二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时_________的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
二次函数一定有零点吗？
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函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y＝x2的零点为(0，0)． ( )
(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． ( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点． ( )
知识点2 函数零点的探究
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：
判别式 Δ＝b2－ 4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1，2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点_________ 有一个零点_______ 无零点
2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
类型1 求函数的零点
【例1】求下列函数的零点．
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．
(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．
(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．
2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
3．运用“分类讨论”思想求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点的步骤
(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；
(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实根．
若可以因式分解，则一定存在零点．
(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．
[跟进训练]
1．求下列函数的零点．
(1)y＝2x2－3x－2；
(2)y＝ax2－x－1；
(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
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类型2 函数的零点个数的论证与探究
【例2】【链接教材P64例1】
若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[思路点拨] 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac．
(1)Δ>0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点．
(2)Δ＝0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点．
(3)Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
[跟进训练]
2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
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类型3 二次函数的零点分布探究
【例3】【链接教材P64例2】
(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点；
(2)二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，求实数k的取值范围．
[思路点拨] (1)直接求出函数的零点，再加以判定．
(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究
结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理．
(1) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．
(2) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．
(3) x1x2<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．
提醒：二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．
[跟进训练]
3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．
(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．
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1．(教材P64练习T3(2)改编)函数y＝x2＋4x－5的零点为( )
A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0)
C．－5 D．1
2．(多选题)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值可能是( )
A．－4 B．2
C．3 D．－1
3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1，3)内的零点为________．
5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求函数零点的方法是什么？
2．怎样判定二次函数零点的个数？
3．怎样研究二次函数零点的分布？
十字相乘法
把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．提取公因式分解、应用乘法公式分解、分组分解是我们常用的方法．
对于二次三项式ax2＋bx＋c的因式分解，“十字相乘法”也是一种值得尝试的方法．
例 分解因式：6x2－7x＋2．
上式假如可以分解因式，必然是分成两个一次因式的乘积．
如6x2－7x＋2＝(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd．
如果能够找到整数a，c，b，d满足ac＝6，bd＝2，且ad＋bc＝－7，就把6x2－7x＋2分解成两个整系数一次因式的乘积了．
对于上例，因式分解的过程大致为：先分别把二次项系数6和常数项2分解因数，分别得到6＝3×2和2＝(－2)×(－1)．当然，还有其他的分解，分解之后还需检验交叉相乘后能否得到一次项系数．我们用下面的算式予以体现：
因此可得a＝3，b＝－2，c＝2，d＝－1，则6x2－7x＋2＝(3x－2)(2x－1)．
一般地，对于二次三项式ax2＋bx＋c，如果能够找到a1，a2，c1，c2满足a＝a1a2，c＝c1c2，且b＝a1c2＋a2c1，则有因式分解ax2＋bx＋c＝a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．
为了便于理解，我们将a＝a1a2与c＝c1c2的因子排成如下方式：
十字相乘法适用于二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根的情况．
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