3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．
跳台滑雪是一个具有观赏性的项目，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？
知识点1 一元二次不等式的概念
只含有______未知数，并且未知数的最高次数是___的整式不等式，叫作一元二次不等式．
1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
知识点2 三个“二次”的关系
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋ bx＋c＝0 的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
ax2＋bx＋c＞0 的解集 ____________________________ __ ___
ax2＋bx＋c＜0 的解集 ____________ ____ ____
2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式． ( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． ( )
(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． ( )
(4)x2－>0为一元二次不等式． ( )
类型1 一元二次不等式的解法
【例1】【链接教材P66例1】
解下列不等式．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6；
(4)－2x2＋3x－2<0．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
[跟进训练]
1．解下列不等式．
(1)x2－4x＋4>0；
(2)－x2＋2x－3<0；
(3)2x2＋7x＋3>0．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a>0)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 三个“二次”的关系
【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
[跟进训练]
3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．不等式x2≤1的解集为( )
A．{x|x≥1或x≤－1} B．
C．{x|－1≤x≤1} D．R
2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A． B．
C． D．R
3．若0A． B．
C． D．
4．(教材P69习题3.3T6改编)不等式(x－1)25．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你是怎样解一元二次不等式的？
2．解含参不等式要注意哪些问题？具体步骤是什么？
1 / 63.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．
跳台滑雪是一个具有观赏性的项目，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？
知识点1 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．
1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
[提示] 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
知识点2 三个“二次”的关系
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋ bx＋c＝0 的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
ax2＋bx＋c＞0 的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R
ax2＋bx＋c＜0 的解集 (x1，x2)
2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
[提示] 结合二次函数图象(图略)可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，
则解得a>，所以a∈使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式． ( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． ( )
(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． ( )
(4)x2－>0为一元二次不等式． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
类型1 一元二次不等式的解法
【例1】【链接教材P66例1】
解下列不等式．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6；
(4)－2x2＋3x－2<0．
[解] (1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0，方程x2－5x－6＝0的解为x1＝－1，x2＝6．根据y＝x2－5x－6的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|x>6或x<－1}．
(2)方程4x2－4x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝．
根据y＝4x2－4x＋1的图象(图略)可得原不等式的解集为．
(3)不等式两边同乘以－1，得x2－7x＋6<0．
方程x2－7x＋6＝0的解为x1＝6，x2＝1．
根据y＝x2－7x＋6的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|1(4)不等式两边同乘以－1，得2x2－3x＋2>0，因为Δ<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实数解．
根据y＝2x2－3x＋2的图象(图略)，可得原不等式的解集为R．
【教材原题·P66例1】
例1解下列不等式：
(1)x2－7x＋12>0；
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1<0；
(4)x2－2x＋2>0．
解：(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4．
根据y＝x2－7x＋12的图象(图3-3-1(1))，可得原不等式的解集为
{x|x<3或x>4}．
(2)不等式两边同乘以－1，得
x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．
根据y＝x2＋2x－3的图象(图3-3-1(2))，可得原不等式的解集为
{x|－3≤x≤1}．
(3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．
根据y＝x2－2x＋1的图象(图3-3-1(3))，可得原不等式的解集为 ．
(4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解．
根据y＝x2－2x＋2的图象(图3-3-1(4))，可得原不等式的解集为R．
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
[跟进训练]
1．解下列不等式．
(1)x2－4x＋4>0；
(2)－x2＋2x－3<0；
(3)2x2＋7x＋3>0．
[解] (1)方程x2－4x＋4＝0有两个相同的解x1＝x2＝2，
根据y＝x2－4x＋4的图象(图略)，可得原不等式的解集为{x|x≠2}．
(2)不等式两边同乘以－1，得x2－2x＋3>0，
方程x2－2x＋3＝0中Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0无解．
根据y＝x2－2x＋3的图象(图略)，可得原不等式的解集为R．
(3)方程2x2＋7x＋3＝0的解x1＝－3，x2＝－，根据y＝2x2＋7x＋3的图象(图略)，可得原不等式的解集为．
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
因为<1，所以x<或x>1．
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈ ；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a>1时，原不等式的解集为．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a>0)．
[解] 不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0可化为(ax－1)(x－2)<0．
由于a>0，故不等式可化为(x－2)<0．
(1)若02，此时不等式的解集为
．
(2)若a＝，则不等式为(x－2)2<0，此时不等式的解集为 ．
(3)若a>，则<2，此时不等式的解集为
．综上可知，
当0当a＝时，不等式的解集为 ；
当a>时，不等式的解集为．
类型3 三个“二次”的关系
【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6．
由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[母题探究]
1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．
所以c<0，＝－，
故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，
即x2＋x＋<0．
所以所求不等式的解集为．
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0．
又×2＝＜0，则c＞0．
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－．
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0．
又∵a＜0，
∴2x2＋5x－3＜0，
∴所求不等式的解集为．
法二：由已知得a＜0 且＋2＝－×2＝知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝－，
∴x1＝－3，x2＝．
∴所求不等式的解集为．
已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
[跟进训练]
3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3[解] 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3所以a<0，且－3，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系得
所以
所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为－ax2＋2ax＋15a<0，由－a>0得x2－2x－15<0．
令x2－2x－15＝0得x1＝－3，x2＝5．
由函数y＝x2－2x－15的图象知原不等式的解集为{x|－31．不等式x2≤1的解集为( )
A．{x|x≥1或x≤－1} B．
C．{x|－1≤x≤1} D．R
C [方程x2－1＝0的解为x1＝－1，x2＝1．根据y＝x2－1的图象(图略)知不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．]
2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A． B．
C． D．R
C [3＋5x－2x2≤0 2x2－5x－3≥0 (x－3)(2x＋1)≥0 x≥3或x≤－．]
3．若0A． B．
C． D．
D [∵当04．(教材P69习题3.3T6改编)不等式(x－1)2{x|－15．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
[由题意知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a．
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你是怎样解一元二次不等式的？
[提示] (1)图象法．步骤：①化标准形式；②解方程；③结合图象求解．
(2)代数法．借助因式分解或配方法求解．当m0可得{x|x>n或x2．解含参不等式要注意哪些问题？具体步骤是什么？
[提示] 正确分类不重不漏．
步骤：(1)讨论二次项系数a>0，a<0，a＝0；
(2)讨论对应方程的根；
(3)讨论根的大小．
课时分层作业(十三) 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A． B．
C． D．
D [∵(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－．]
2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1，2，3} B．{1，2}
C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}
B [∵(2x＋1)(x－3)<0，∴－又x∈N*且x≤5，则x＝1，2．故A∩B＝{1，2}．]
3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )
A． B．
C． D．
D [因为a<－1，所以a(x－a)<0 (x－a)>0．又a<－1，所以>a，所以x>或x4．不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2A．2 B．－1
C．0 D．1
C [由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，
由根与系数的关系知
解得b＝－1，c＝2，
所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0．]
5．(多选题)在R上定义运算“⊙”，a⊙b＝ab＋2a＋b，满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值可能是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
AB [根据定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)．又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故－2二、填空题
6．不等式x2－2x－3<0的解集为________．
(－1，3) [由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－17．关于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＜0，当a＝0时的解集是________，当a＜0时的解集是________．
(1，＋∞) ∪(1，＋∞) [由条件知(ax－2)·(x－1)＜0，当a＝0时，不等式为－2(x－1)＜0，解得x＞1；当a＜0时，由ax2－(2＋a)x＋2＜0，得x2－x＋＞0，即(x－1)＞0，解得x＞1或x＜，所以不等式的解集为∪(1，＋∞)．]
8．如果关于x的不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则m的取值范围是________．
(－∞，0) [m＝0时，不等式化为21<0，此时不等式的解集为空集，所以m≠0；
m≠0时，要使不等式mx2＋8mx＋21<0的解集不是空集，则
①当m>0时，有Δ＝64m2－84m>0，解得m>；
②当m<0时，mx2＋8mx＋21<0恒成立．
综上，m的取值范围是(－∞，0)．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)求下列不等式的解集：
(1)x2＋4x＋1≥0；
(2)x2－6x－1≤0．
[解] (1)因为x2＋4x＋1＝x2＋4x＋4－4＋1＝(x＋2)2－3，
所以原不等式可化为(x＋2)2－3≥0，即
(x＋2)2≥3，两边开平方得|x＋2|≥，从而可知
x＋2≤－或x＋2≥，
因此x≤－2－或x≥－2＋，所以原不等式的解集为(－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞)．
(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，
所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，
即(x－3)2≤10，
两边开平方得|x－3|≤，
从而可知－≤x－3≤，
因此3－≤x≤3＋，
所以原不等式的解集为[3－，3＋]．
10．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a∈R)．
[解] 当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}．
当a<0时，原不等式化为(x－2)<0，
这时两根的大小关系为2>，
则原不等式的解集为．
当a>0时，原不等式化为(x－2)>0．
①当0则原不等式的解集为．
②当a＝1时，2＝，
则原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}．
③当a>1时，两根的大小关系为2>，
则原不等式的解集为．
综上所述，对于原不等式，
当a＝0时，解集为{x|x<2}；
当a<0时，解集为；
当0当a＝1时，解集为{x|x∈R且x≠2}；
当a>1时，解集为．
11．(多选题)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合为( )
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0}
C．{x|x＞3} D．{x|－2＜x＜1}
BC [因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，所以－＝－1＋2＝1，＝－2，
所以b＝－a，c＝－2a，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax，
得ax2－3ax＜0．
因为a＜0，所以x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，
所以不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax的解集为{x|x＜0或x＞3}．]
12．(多选题)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3
C．x2－x1>4 D．－1ABC [由关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两个根．
∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3<－3．
∴x2－x1＝＝＝2>4．
由x2－x1>4，可得－113．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|12 [因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则，即1＋m＝，
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2．]
14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为 ，则a的取值范围为________．若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A且A {x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
(－1，2) [若不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为 ，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1若A {x|1≤x≤3}，则设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A {x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0．
若A＝ ，则Δ＝4a2－4(a＋2)＜0，
即a2－a－2＜0，解得－1＜a＜2．
若A≠ ，
则
即所以2≤a≤．
综上，a的取值范围为－1＜a≤．]
15．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
[解] 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>．
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是．
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为．
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