第2课时 一元二次不等式的应用
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．理解三个“二次”之间的关系． 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养．
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m．
已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系，试判断甲、乙两车有无超速现象．
知识点1 分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
＞0 (其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0
≤0 法一： 或 法二：
＞k (其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式
1．(1)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？
(2)将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
[提示] (1)等价．(2)好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)>1的解集为x<1． ( )
(2)≥0的解集与(2x－3)(x＋1)≥0有相同的解集． ( )
(3)解不等式>2时可转化x＋2>2(2x＋1)求解． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 与一元二次不等式相关的恒成立问题
(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)根据不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 不等式ax2＋bx＋c≤k恒成立 y最大值≤k
不等式ax2＋bx＋c≥k恒成立 y最小值≥k
2．x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
[提示] x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2，3]上的图象恒在x轴上方．区间[2，3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2，3]是不等式x－1>0的解集的子集．
2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围为________．
{k|－3
解得－3所以实数k的取值范围是{k|－3知识点3 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回归实际问题．
3．用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为________．
(20，30) [设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，
即x2－50x＋600<0，
解得20所以，当矩形一边的长在(20，30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．]
类型1 分式不等式的解法
【例1】解下列不等式：
(1)<0；
(2)≥1．
[解] (1)不等式<0可转化为(2x＋1)(x－3)<0，即－∴原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为－1≥0即≥0．
不等式等价于
解得≤x<3．
∴原不等式的解集为．
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[跟进训练]
1．解下列不等式：
(1)≤0；
(2)>1．
[解] (1)由≤0知
解得x≥1或x<－，
即原不等式的解集为．
(2)不等式>1可化为－1>0，即<0，
∴(6x－4)(4x－3)<0，∴∴原不等式的解集为．
类型2 一元二次不等式的应用
【例2】【链接教材P67例3、P68例4】
国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．
根据x的实际意义，知0【教材原题·P67例3】
例3某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元．问：该厂日产量多大时，日获利不少于1 300元？
解：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，
化简，得x2－65x＋900≤0，
解得20≤x≤45．
答：该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元．
【教材原题·P68例4】
例4汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．
问：甲、乙两车有无超速现象？
分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．
解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2<12，
即x2＋10x－1 200<0，
解得－40这表明甲车的车速低于30 km/h，未超过规定限速．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2 000>0，
解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)．
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．
答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
解不等式应用题的步骤
[跟进训练]
2．国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
[解] 设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的附加税为70x·R%万元，
由题意得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0．
因为Δ＝36>0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为R1＝2，R2＝8．
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象(图略)可得不等式的解集为{R|2≤R≤8)．
所以，当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元．
类型3 不等式恒成立问题
【例3】若函数y＝x2－ax－3在x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0成立，求a的取值范围．
[解] 要使x2－ax－3<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由函数y＝x2－ax－3的图象(图略)可知，此时a应满足
即
解得a<－2．
故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3<0在x∈[－3，－1]时恒成立．
[母题探究]
若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3，1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
[解] 由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y＝f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4．
要使对任意a∈[－3，1]，y<0恒成立，只需满足
即
因为x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3，1]，y<0恒成立．
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)对任意x∈恒成立
4．ax2＋bx＋c＞0(a＜0)对任意x∈恒成立
5．y≤a恒成立 a≥M(函数的最大值为M)，
y≥a恒成立 a≤m(函数的最小值为m)．
[跟进训练]
3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
[解] 当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立．
当a－2≠0时，则a满足解得－2综上所述，a的取值范围是－21．不等式≤0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(－1，2) B．[－1，2]
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，2]
D [不等式可化为解得－12．(教材P69习题3.3T2改编)已知x＝2是不等式m2x2＋(1－m2)x－4m≤0的解，则m的值为( )
A．1 B． C． D．4
A [由题意知4m2＋(1－m2)·2－4m≤0，
∴m2－2m＋1≤0，即(m－1)2≤0，∴m＝1．]
3．(多选题)对于x∈R，式子恒有意义，则常数m的值可能为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
ABC [m＝0时，mx2＋mx＋1＝1满足题目要求，m≠0时，mx2＋mx＋1>0恒成立，需解得04．不等式<0的解集为________．
{x|－25．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0150 [y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
所以x2＋50x－30 000≥0，得x≤－200(舍去)或x≥150，
又因为0所以150≤x<240，x∈N．
即生产者不亏本时的最低产量是150台．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样解分式不等式？
[提示] 等价变形为一边为零的形式，然后化归为一元二次不等式(组)求解．
2．怎样求函数ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立问题？
[提示] 集合A是不等式ax2＋bx＋c>0的解集的子集，可以先求解集．由子集的含义求解参数的取值(范围)．
3．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
[提示] 关键在于构造一元二次不等式模型，列出不等关系．
课时分层作业(十四) 一元二次不等式的应用
一、选择题
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1B [原不等式 ∴－1≤x<1．]
2．不等式＜2的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
C．
D．{x|x＜－2或x＞2}
A [原不等式等价于x2－2x－2＜2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4＞0 (x＋2)2＞0，∴x≠－2．∴原不等式的解集为{x|x≠－2}．]
3．当x∈R时，不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是( )
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0D [因为x2＋mx＋>0恒成立，所以Δ＝m2－4×<0，即04．(多选题)不等式组有解，则实数a的可能取值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
ABC [由题意知，a2＋1∴只需4＋2a>a2＋1即a2－2a－3<0，
∴－15．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，1) B．(0，2)
C． D．
C [因为(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
又不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－二、填空题
6．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
(－∞，－5] [设y＝x2＋mx＋4，要使x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有x＝1和x＝2时，函数的值均为非正数，即解得m≤－5．]
7．不等式≥2的解集为________．
∪(1，3] [由≥2可得即
所以x∈∪(1，3]．]
8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
[3，5] [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5．]
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R．
[解] (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程－4x＋6＝0的两根，
∴解得a＝3．
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>，
∴所求不等式的解集为．
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6．
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内．
[解] (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得，y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要使本年度的年利润比上年有所增加，
则
即
所以0所以投入成本增加的比例范围为．
11．下列选项中，使不等式x<A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
A [法一：取x＝－2，知符合x<法二：由题知，不等式等价于<0，即<0，
从而<0，解得x<－1，故选A．]
12．(多选题)在R上对任意x，y＝总有意义，则实数k的可能取值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
AB [由题意知kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立．
当k＝0时满足条件．
当k≠0时，需
所以013．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－3] [设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
∴在 [0，1]上，y随着x的增大而减小，
∴当x＝1时，函数取得最小值－3，
∴要使x2－4x≥m对于任意x∈[0，1]恒成立，则需m≤－3．]
14．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则a－b＝________，则关于x的不等式>0的解集为________．
0 (－∞，－1)∪(2，＋∞) [因为关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，且＝1即a＝b，所以a－b＝0．所以关于x的不等式>0，可化为>0，此不等式等价于(x＋1)(x－2)>0，即x<－1或x>2．
故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]
15．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
[解] (1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为
y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75．
所以当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%．
1 / 15第2课时 一元二次不等式的应用
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．理解三个“二次”之间的关系． 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养．
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m．
已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系，试判断甲、乙两车有无超速现象．
知识点1 分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
＞0 (其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0
≤0 法一： 或 法二：
＞k (其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式
1．(1)>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？
(2)将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)>1的解集为x<1． ( )
(2)≥0的解集与(2x－3)(x＋1)≥0有相同的解集． ( )
(3)解不等式>2时可转化x＋2>2(2x＋1)求解． ( )
知识点2 与一元二次不等式相关的恒成立问题
(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)根据不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 不等式ax2＋bx＋c≤k恒成立 y最大值≤k
不等式ax2＋bx＋c≥k恒成立 y最小值≥k
2．x－1>0在区间[2，3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2，3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
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2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围为________．
知识点3 从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回归实际问题．
3．用一根长为100 m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600 m2的矩形，则x的取值范围为________．
类型1 分式不等式的解法
【例1】解下列不等式：
(1)<0；
(2)≥1．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[跟进训练]
1．解下列不等式：
(1)≤0；
(2)>1．
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类型2 一元二次不等式的应用
【例2】【链接教材P67例3、P68例4】
国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解不等式应用题的步骤
[跟进训练]
2．国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
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类型3 不等式恒成立问题
【例3】若函数y＝x2－ax－3在x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0成立，求a的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3，1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)对任意x∈恒成立
4．ax2＋bx＋c＞0(a＜0)对任意x∈恒成立
5．y≤a恒成立 a≥M(函数的最大值为M)，
y≥a恒成立 a≤m(函数的最小值为m)．
[跟进训练]
3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
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1．不等式≤0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(－1，2) B．[－1，2]
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，2]
2．(教材P69习题3.3T2改编)已知x＝2是不等式m2x2＋(1－m2)x－4m≤0的解，则m的值为( )
A．1 B． C． D．4
3．(多选题)对于x∈R，式子恒有意义，则常数m的值可能为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
4．不等式<0的解集为________．
5．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样解分式不等式？
2．怎样求函数ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立问题？
3．解一元二次不等式应用题的关键是什么？
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