类型1 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法是本章重要内容，是后续学习的基础和保障．常与集合实际应用、方程等交汇命题．主要考查学生的数学运算能力和逻辑推理以及数学建模能力，对于不含参的一元二次不等式的解法常转化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式结合二次函数的图象求解．对于含参的一元二次不等式应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小分类讨论．
【例1】若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 不等式恒成立问题
不等式恒成立问题是不等式的重要内容，也是数学中的重要内容．常与二次函数及函数图象相结合命题．对于不等式恒成立求参数范围的问题常见类型及解题策略有以下几类．
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
(2)分离参数法
先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数的最值问题．
(3)数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
【例2】已知不等式mx2－mx－1<0．
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 利用基本不等式求最值
基本不等式是不等式部分的重要内容，其主要应用是求函数的最值或范围．既适用于一个变量情况，也适用于两个变量情况．基本思路为创设应用不等式的条件，合理拆分项或凑配因式是常用的解题技巧．而拆与凑的目的在于使等号能够成立．
【例3】设x<－1，求y＝的最大值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 / 3类型1 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法是本章重要内容，是后续学习的基础和保障．常与集合实际应用、方程等交汇命题．主要考查学生的数学运算能力和逻辑推理以及数学建模能力，对于不含参的一元二次不等式的解法常转化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式结合二次函数的图象求解．对于含参的一元二次不等式应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，最后分析两根的大小分类讨论．
【例1】若不等式组的整数解只有－2，求k的取值范围．
[解] 由x2－x－2>0，得x<－1或x>2．
对于方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k．
(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为，显然－2 ．
(2)当－k＝－时，不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为 ．
(3)当－<－k，即k<时，
不等式的解集为．
∴不等式组的解集由
或确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k≤3，
∴－3≤k<－2．
综上，所求k的取值范围是[－3，2)．
类型2 不等式恒成立问题
不等式恒成立问题是不等式的重要内容，也是数学中的重要内容．常与二次函数及函数图象相结合命题．对于不等式恒成立求参数范围的问题常见类型及解题策略有以下几类．
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
(2)分离参数法
先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数的最值问题．
(3)数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
【例2】已知不等式mx2－mx－1<0．
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立 解得－4
综上可知，实数m的取值范围是(－4，0]．
(2)令y＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，y＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需当x＝1时，y<0，即y＝－1<0；当x＝3时，y<0，即y＝9m－3m－1<0，解得m<，所以0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需当x＝1时，函数y<0即可，解得m∈R，所以m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是．
类型3 利用基本不等式求最值
基本不等式是不等式部分的重要内容，其主要应用是求函数的最值或范围．既适用于一个变量情况，也适用于两个变量情况．基本思路为创设应用不等式的条件，合理拆分项或凑配因式是常用的解题技巧．而拆与凑的目的在于使等号能够成立．
【例3】设x<－1，求y＝的最大值．
[解] ∵x<－1，∴x＋1<0，∴－(x＋1)>0，
y＝＝＝
＝(x＋1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1．
当且仅当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．
∴y＝的最大值为1．
章末综合测评(三) 不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2>b2 B．ac2C．a＋c>b＋c D．<
C [∵－1>－2，但是(－1)2>(－2)2不成立，故A不正确；
c＝0时，0＝ac2∵a>b，∴a＋c>b＋c，C正确；
∵1>－2，但是<不成立，故D不正确．]
2．不等式＞1的解集是( )
A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}
A [＞1可化为－1＞0，
整理可得＞0，即x＋2＜0，
解得x＜－2，解集为{x|x＜－2}．]
3．设A＝，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．AB [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B．]
4．不等式|x|(1－2x)>0的解集为( )
A．(－∞，0) B．
C． D．
A [当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以00，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)．故选A．]
5．已知＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
D [∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8，当且仅当x＝y＝4时“＝”成立．]
6．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A．
B．
C．{x}
D．{x}
A [由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得
解得
∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0，
解得－17．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
C [原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，
即解得a＞2．]
8．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
A [设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，则( )
A．b>2
B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9
C．0D．a2＋b2>8
ACD [由0＜a＜b，且a＋b＝4得a<4－a，b>4－b，所以02，所以A、C正确；因为，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以D正确；又a＋b＝4，所以ab<，所以(a＋1)(b＋1)＝a＋b＋ab＋1<9，所以B错误．故选ACD．]
10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值 B．有最小值
C．有最小值4 D．a2＋b2有最小值
AC [∵a>0，b>0，且a＋b＝1，a＋b≥2，
∴，∴ab≤，A正确．＝＝＝，当且仅当a＝b时，取得最大值，
∴的最小值不是，B错误．＝＝≥4，∴有最小值4，C正确．a2＋b2≥2ab，2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，D错误．]
11．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2
D．ab有最小值3＋2
AD [∵a>1，b>1，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
∴1＝ab－(a＋b)≤ab－2，解得＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，
∴ab有最小值3＋2．
∵ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
∴1＝ab－(a＋b)≤－(a＋b)，
∴(a＋b)2－4(a＋b)≥4，[(a＋b)－2]2≥8，
解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2(＋1)，
∴a＋b有最小值2(＋1)．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2，3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
[方程x2－ax－b＝0的根为2，3，根据根与系数的关系得a＝5，b＝－6．
所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集为．]
13．已知x>0，y>0，若>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________．
(－4，2) [∵x>0，y>0，∴≥8(当且仅当＝时取“＝”)，若>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解得－414．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为________元，每天获得的利润最多为________元．(本题第一空2分，第二空3分)
60 2 500 [设销售价格定为每件x(50＜x≤80)元，每天获得利润y元，则
y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0＜t≤30，
所以y＝＝＝＝2 500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知 x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
[解] (1)因为 x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0，1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0．
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a，1－a)；
当a＝时，解集为 ；
当16．(15分)(1)已知a，b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值；
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：≥10．
[解] (1)∵2a＋8b－ab＝0，
∴＝1．
又∵a>0，b>0，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．
由得
∴当a＝12，b＝6时，a＋b取得最小值18．
(2)证明：
＝
＝4＋
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴≥10．
17．(15分)已知某工厂生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为y＝ax2＋2 000，且当年产量是50时，总成本为4 000．
(1)设该产品年产量为x时平均成本为t，求t关于x的表达式；
(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
[解] (1)将x＝50，y＝4 000代入y＝ax2＋2 000中，
可得502a＋2 000＝4 000，从而a＝，于是y＝＋2 000．
因此t＝＝x＋(x>0)．
(2)因为t＝x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝50时，上述等号成立．因此，当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80．
18．(17分)如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
[解] 设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，
则ab＝9 000．①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0．
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)
＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b
≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500．
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75．
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2．
故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告的面积最小．
19．(17分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．
[解] (1)因为所以(ax＋3)(x－a)<0．
当a>0时，(x－a)<0,
解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为．
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
所以y＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a＝2＋2a．
当且仅当t＝，即t＝时，等号成立，
即y有最小值2＋2a．
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1．
所以a的值为1．
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