4.2 对数
4.2.1 对数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数的概念．(重点) 2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点) 3．掌握常用对数与自然对数的定义． 通过学习本节内容，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．
若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y＝0.84x．由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？
知识点1对数
名称 定义 记法
对数 一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，a叫作对数的底数，N叫作真数 logaN＝b
常用对数 通常将以10为底的对数称为常用对数 lg N
自然对数 以e为底的对数称为自然对数，其中e＝2.718 28…是一个无理数 ln N
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN中a的取值范围为(0，＋∞)． ( )
(2)(－2)4＝16可化为log(－2)16＝4． ( )
(3)对数运算的实质是求幂指数． ( )
(4)在b＝log3(x－2)中，实数x的取值范围是(2，＋∞)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
知识点2 对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga 1＝0(a>0且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0且a≠1)．
(4)loga＝－1(a>0且a≠1)．
(5)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)．
为什么负数和零没有对数？
[提示] 由对数的定义ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
2．(1)log33＋log31＝________；
(2)已知log2＝0，则x＝________．
(1)1 (2)2 [(1)log33＋log31＝1＋0＝1．
(2)由题意知＝1，所以x＝2．]
类型1 指数式与对数式的互化
【例1】【链接教材P87例1、P88例2】
将下列指数式与对数式互化．
(1)2-7＝；
(2)log5a＝20；
(3)ln x＝5；
(4)＝．
[解] (1)由2-7＝，可得log2＝－7．
(2)由log5a＝20，可得520＝a．
(3)由ln x＝5，可得e5＝x．
(4)由＝－．
【教材原题·P87例1】
例1将下列指数式改写成对数式：
(1)24＝16；(2)3-3＝；
(3)5a＝20；(4)＝0.45．
解：(1)log216＝4．
(2)log3＝－3．
(3)log520＝a．
.45＝b．
【教材原题·P88例2】
例2将下列对数式改写成指数式：
(1)log5125＝3；＝－2；
(3)log10a＝－1.699．
解：(1)53＝125．
(2)＝3．
(3)10-1.699＝a．
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式．
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式与对数式互化：
(1)53＝125；3-2＝；＝16；
＝－3；lg 0.000 1＝－4．
[解] (1)因为53＝125，所以log5125＝3．
因为3-2＝，所以log3＝－2．
因为＝16，所以＝－2．
(2)因为＝－3，所以＝8；
因为lg 0.000 1＝－4，所以10-4＝0.000 1．
类型2 利用指数与对数的互化求变量的值
【例2】求下列各式中x的值．
(1)lg 0.01＝x；
(2)log7(x＋2)＝2；
＝x；
(4)x＝．
[解] (1)因为lg 0.01＝x，所以10x＝0.01＝10-2，所以x＝－2．
(2)因为log7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72，解得x＝47．
(3)因为＝，所以＝－2，所以x＝－2．
(4)由x＝可得＝32，即2－x＝25，解得x＝－5．
利用指数与对数的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟进训练]
2．求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；
(2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x；
(4)log27x＝－．
[解] (1)x＝＝＝4-2＝．
(2)因为x6＝8，所以x＝＝＝＝＝．
(3)10x＝100＝102，于是x＝2．
(4)因为log27x＝－，所以x＝＝＝3-2＝．
类型3 利用对数性质及对数恒等式求值
【例3】求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)x＝．
[解] (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝51＝5．
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000．
(3)x＝＝7÷＝7÷5＝．
[母题探究]
1．将本例(1)改为“log2(ln x)＝1”如何求x
[解] 由log2(ln x)＝1知ln x＝2，所以x＝e2．
2．将本例(2)改为“log3(log2(lg x))＝0”如何求x
[解] 由log3(log2(lg x))＝0知log2(lg x)＝1，所以lg x＝21，x＝102＝100．
3．将本例(3)改为“3log3(log4(log5x))＝0”如何求x
[解] 由3log3(log4(log5x))＝0知log4(log5x)＝1，
所以log5x＝4，x＝54＝625．
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．求下列各式中x的值．
(1)＝36；
(2)log(x＋1)(2x－3)＝1．
[解] (1)由＝36得，5x＋1＝36，
解得x＝7．
(2)由log(x＋1)(2x－3)＝1可得
解得x＝4．
1．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫作常用对数
D．以e为底的对数叫作自然对数
ACD [ACD正确，只有a>0，且a≠1时ax＝N才能化为对数式．]
2．(教材P89练习T3改编)将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．＝－2
C．＝9 D．log9(－2)＝
B [根据对数的定义，得＝－2，故选B．]
3．若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B [要使对数式log(t－2)3有意义，
需
解得t>2且t≠3，
所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．]
4．若2a＝4，则loga的值为________．
－1 [∵2a＝4，∴a＝2，则loga＝log2＝－1．]
5．已知logx16＝2，则x＝________，log2x＝________．
4 2 [logx16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4．
又因为x>0且x≠1，所以x＝4，log2x＝log24＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样进行指数式与对数式的互化？
[提示]
2．在涉及对数式求值问题时，你是怎样求值的？
[提示] 转化为指数幂的运算求值．
3．在求解对数方程时要注意哪些问题？
[提示] (1)底数大于0且不等于1；
(2)真数大于零．
课时分层作业(十六) 对数的概念
一、选择题
1．(多选题)下面四个结论中正确的是( )
A．lg (lg 10)＝0 B．ln (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2
AB [lg (lg 10)＝lg 1＝0，故A正确．
ln (ln e)＝ln 1＝0，故B正确．
若10＝lg x，则x＝1010，故C错误．
若e＝ln x，则x＝ee，故D错误．]
2．若logx＝z，则x，y，z之间满足( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
B [因为logx＝z，所以＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z．]
3．若log2(logx9)＝1，则x＝( )
A．－3 B．3 C．±3 D．9
B [由题意知logx9＝21＝2，∴x2＝9，∴x＝±3．又x>0，∴x＝3．]
4．设log45＝2m，则4m＝( )
A． B．25
C． D．
D [∵log45＝2m，∴m＝log4，
∴4m＝．]
5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.3)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
D [由L＝5＋lg V，L＝4.8，得lg V＝－0.2，
所以V＝10-0.2＝＝≈≈0.6，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.6．]
二、填空题
6．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值为________．
45 [由loga3＝m，得am＝3．由loga5＝n得an＝5，
所以a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45．]
7．已知a＝，b＝，则a，b的大小关系是________．
a>b [a＝＝23×＝8×3＝24，b＝＝32×＝9×2＝18，所以a>b．]
8．把对数式log84＝x化成指数式是________；可求出x＝________．
8x＝4 [∵log84＝x，
∴8x＝4，∴23x＝22，∴x＝．]
三、解答题
9．求下列各式中的x．
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27 ．
[解] (1)由logx27＝，得＝27，
∴x＝＝32＝9．
(2)由log2x＝－，得＝x，
∴x＝＝．
(3)由logx(3＋2)＝－2，
得3＋2＝x-2，
即x＝(3＋2－1．
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1．
∴x＝21＝2．
(5)由x＝log27 ，得27x＝，
即33x＝3-2，∴x＝－．
10．计算下列各式：
；
．
[解] (1)10lg 3－log41＋＝3－0＋6＝9．
(2)＝22×＝4×3＋＝12＋1＝13．
11．(多选题)使log(3a－1)(4－a)有意义的a的可能取值为( )
A． B．1
C．2 D．5
BC [由题意知解得
12．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
B [由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，
得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3．
经检验x＝－1是增根，
所以原方程的根为x＝3．]
13．已知loga b＝lg 100，若b＝10，则a＝________；若b＝a＋2，则a＝________．
2 [因为lg 100＝2，所以由logab＝lg 100可得logab＝2，所以b＝a2，因为a＞0且a≠1，
若b＝10，则a＝；若b＝a＋2，则a2－a－2＝0，即a＝2．]
14．求值：－＋103lg 3＋＝________．
－ [原式＝31×－24×＋(10lg 3)3＋
＝3×6－16×3＋33＋()－2
＝18－48＋27＋＝－．]
15．分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小，把声压P0＝2×10-5帕作为参考声压．把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值成为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？
(3)某精彩的文艺节目，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时会场内的声压是多少？
[解] (1)根据题意可知，y＝20lg ．
(2)声压P＝0.002时，
y＝20lg ＝40，故属于无害区．
(3)将90dB代入可得，
90＝20lg ，
解得P＝帕．
9 / 114.2 对数
4.2.1 对数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数的概念．(重点) 2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点) 3．掌握常用对数与自然对数的定义． 通过学习本节内容，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．
若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y＝0.84x．由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？
知识点1对数
名称 定义 记法
对数 一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是_________N的对数，a叫作对数的______，N叫作______ logaN＝b
常用对数 通常将以____为底的对数称为常用对数 lg N
自然对数 以e为底的对数称为自然对数，其中e＝2.718 28…是一个________ ln N
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN中a的取值范围为(0，＋∞)． ( )
(2)(－2)4＝16可化为log(－2)16＝4． ( )
(3)对数运算的实质是求幂指数． ( )
(4)在b＝log3(x－2)中，实数x的取值范围是(2，＋∞)． ( )
知识点2 对数的基本性质
(1)负数和零______对数．
(2)loga 1＝___(a>0且a≠1)．
(3)logaa＝___(a>0且a≠1)．
(4)loga＝_____(a>0且a≠1)．
(5)对数恒等式：alogaN＝___(a>0，a≠1，N>0)．
为什么负数和零没有对数？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(1)log33＋log31＝________；
(2)已知log2＝0，则x＝________．
类型1 指数式与对数式的互化
【例1】【链接教材P87例1、P88例2】
将下列指数式与对数式互化．
(1)2-7＝；
(2)log5a＝20；
(3)ln x＝5；
(4)＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式．
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式与对数式互化：
(1)53＝125；3-2＝；＝16；
＝－3；lg 0.000 1＝－4．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 利用指数与对数的互化求变量的值
【例2】求下列各式中x的值．
(1)lg 0.01＝x；
(2)log7(x＋2)＝2；
＝x；
(4)x＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用指数与对数的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂．
(2)已知指数与幂，用指数式求底数．
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟进训练]
2．求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；
(2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x；
(4)log27x＝－．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 利用对数性质及对数恒等式求值
【例3】求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)x＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．将本例(1)改为“log2(ln x)＝1”如何求x
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．将本例(2)改为“log3(log2(lg x))＝0”如何求x
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．将本例(3)改为“3log3(log4(log5x))＝0”如何求x
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．求下列各式中x的值．
(1)＝36；
(2)log(x＋1)(2x－3)＝1．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫作常用对数
D．以e为底的对数叫作自然对数
2．(教材P89练习T3改编)将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．＝－2
C．＝9 D．log9(－2)＝
3．若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
4．若2a＝4，则loga的值为________．
5．已知logx16＝2，则x＝________，log2x＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样进行指数式与对数式的互化？
2．在涉及对数式求值问题时，你是怎样求值的？
3．在求解对数方程时要注意哪些问题？
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