5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
学习任务 核心素养
1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点) 2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
知识点1 函数的概念
函数 的定义 一般地，给定两个______________A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的_____________，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的 记法 从集合A到集合B的一个函数通常记为_________________
函数的 定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，_________(输入值)组成的集合A叫作函数y＝f(x)的定义域
函数的 值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的________x(输入值)，都有一个y(输出值)与之______，则将_____________组成的集合________________________称为函数的值域
1．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y． ( )
知识点2 同一个函数
(1)定义域和对应关系都相同的两个函数就是同一个函数．
(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．
(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．
2．定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
类型1 函数的概念
【例1】【链接教材P105例1】
判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(5)A＝[－1，1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0．
[思路点拨] 求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
判断一个对应关系为函数的标准
(1)A、B必须是非空实数集．
(2)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
提醒：函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
[跟进训练]
1．下列对应关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1，1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝．
类型2 求函数的定义域
【例2】【链接教材P105例2】
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 求函数的值域或函数值
【例3】【链接教材P106例3】
已知f(x)＝x2－4x＋2．
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
[思路点拨] (1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
[跟进训练]
3．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝．
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求g(f(x))．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4 抽象函数求定义域
【例4】(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1，4]，则f(x＋2)的定义域为________；
(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，4]，则f(x)的定义域为________；
(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1，4]，则f(2x)的定义域为________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
①定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)
②括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)
[跟进训练]
4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3，2]，则f(x＋1)的定义域为________．
1．下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
2．下列各图中，一定不是函数的图象的是( )
A B C D
3．(教材P107练习T7(1)改编)函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( )
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
4．将函数y＝的定义域用区间表示为______．
5．函数y＝的定义域是______．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你是怎样认识函数概念的？
2．怎样判断两个函数是否为同一个函数？
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
欧拉于1734年首先使用字母f表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系．称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！
1 / 85.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
学习任务 核心素养
1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点) 2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
知识点1 函数的概念
函数 的定义 一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的 记法 从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A
函数的 定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫作函数y＝f(x)的定义域
函数的 值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
1．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
[提示] 不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象，f是对应关系．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
知识点2 同一个函数
(1)定义域和对应关系都相同的两个函数就是同一个函数．
(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．
(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．
2．定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
[提示] 不一定是，如函数y＝x，x∈[0，1]，和y＝x2，x∈[0，1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．
2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
A [A中定义域，对应关系都相同，是同一个函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]
类型1 函数的概念
【例1】【链接教材P105例1】
判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(5)A＝[－1，1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0．
[思路点拨] 求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
[解] (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，?B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
【教材原题·P105例1】
例1判断下列对应是否为函数：
(1)x→，x≠0，x∈R；
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)当x为有理数时，x→1；当x为无理数时，x→0．
解：(1)对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当x≠0时x→是函数，这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．
(2)考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2．这里一个输入值与两个输出值对应，所以，x→y(y2＝x，x∈N，y∈R)不是函数．
(3)由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应．因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为
y＝
判断一个对应关系为函数的标准
(1)A、B必须是非空实数集．
(2)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
提醒：函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
[跟进训练]
1．下列对应关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1，1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝．
② [对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]
类型2 求函数的定义域
【例2】【链接教材P105例2】
求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝．
[解] (1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，x>，
即f(x)的定义域为．
(2)要使f(x)有意义，则?x≥－1且x≠2，
即f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)．
【教材原题·P105例2】
例2求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)g(x)＝．
解：(1)当x－1≥0，即x≥1时，在实数范围内有意义；当x－1<0，即x<1时，在实数范围内没有意义．
因此，这个函数的定义域是{x|x≥1}．
(2)当x＋1≠0，即x≠－1时，有意义；当x＋1＝0时，即x＝－1时，没有意义．
因此，这个函数的定义域是{x|x≠－1，且x∈R}．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝．
[解] (1)要使f(x)有意义，则
解得x≥－4且x≠0，x≠－2，
即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，0)∪(0，＋∞)．
(2)要使f(x)有意义，则x2－2x－3≥0，
解得x≥3或x≤－1，
即f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(3)要使f(x)有意义，自变量x的取值范围必须满足即x≤1且x≠－1，即f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
类型3 求函数的值域或函数值
【例3】【链接教材P106例3】
已知f(x)＝x2－4x＋2．
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
[思路点拨] (1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．
[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1．
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2．
[母题探究]
在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．
[解] f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，
g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3．
【教材原题·P106例3】
例3求下列函数的值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1．
解：(1)函数的定义域为{－1，0，1，2，3}．
因为f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}．
(2)函数的定义域为R．
因为(x－1)2＋1≥1，所以这个函数的值域为{y|y≥1}．
1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
[跟进训练]
3．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝．
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求g(f(x))．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20．
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝．
(2)g(f(x))＝．
类型4 抽象函数求定义域
【例4】(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1，4]，则f(x＋2)的定义域为________；
(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，4]，则f(x)的定义域为________；
(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1，4]，则f(2x)的定义域为________．
(1)[－1，2] (2)[3，6] (3) [(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1，4]，∴x∈[－1，2]，
故f(x＋2)的定义域为[－1，2]．
(2)由题知x∈[1，4]，∴x＋2∈[3，6]，∴f(x)的定义域是[3，6]．
(3)由题知x∈[1，4]，∴x＋3∈[4，7]，对于f(2x)有2x∈[4，7]，∴x∈，
即f(2x)的定义域为．]
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
①定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)
②括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)
[跟进训练]
4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3，2]，则f(x＋1)的定义域为________．
[－5，0] [对于y＝f(x－1)有x∈[－3，2]，
∴x－1∈[－4，1]，
∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4，1]，
∴x∈[－5，0]．]
1．下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
D [函数y＝x的定义域为R；y＝的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R．]
2．下列各图中，一定不是函数的图象的是( )
A B C D
B [由函数的定义可知，一个x的值只能对应一个y的值，而选项B中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图象，故选B．]
3．(教材P107练习T7(1)改编)函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( )
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
A [当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．]
4．将函数y＝的定义域用区间表示为______．
(－∞，0)∪(0，1] [由解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．]
5．函数y＝的定义域是______．
[要使函数有意义，需满足得x≤－或2≤x<4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你是怎样认识函数概念的？
[提示] ①A，B是非空数集．②定义域是非空数集A，值域是B的子集．③y＝f(x)仅仅是函数符号，有时也用g(x)，u(x)，F(x)等符号表示．
2．怎样判断两个函数是否为同一个函数？
[提示] 判断函数的定义域和对应关系是否完全一致．
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
欧拉于1734年首先使用字母f表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系．称这样的运算为函数，它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！
课时分层作业(十八) 函数的概念
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则f＝( )
A． B．
C．a D．3a
D [f＝3a，故选D．]
2．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1，2}，那么A∩B一定是( )
A． B． 或{1}
C．{1} D．无法确定
B [由题意可知，当x2＝1时，x＝1或x＝－1；当x2＝2时，x＝或x＝－．所以集合A可分为含有一个、两个、三个或四个元素的集合，则A∩B＝ 或{1}．故选B．]
3．(多选题)下列四组中f(x)，g(x)表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2＋3x＋1，g(t)＝t2＋3t＋1
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝x0
D．f(x)＝，g(x)＝|x＋1|
ABD [A中的两个函数它们的对应关系相同，定义域相同均为实数集R；B中的两个函数它们的对应关系相同，定义域均为实数集R；D中的两个函数的对应关系相同，定义域相同均为实数集R；故A、B、D是同一个函数； C中函数f(x)的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0，且x∈R}；C中函数不是同一个函数．故选ABD．]
4．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
D [由题意可得所以x≥－1且x≠1，故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故选D．]
5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为( )
A．(0，5) B．
C． D．(0，＋∞)
B [由题意知0解得0又底边长y与腰长x应满足2x>y，
即4x>10，x>．
综上，二、填空题
6．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________．f(f(a))＝，则a＝________．
－ 1 [由f(t)＝6，得＝6，即t＝－．f(f(a))＝＝＝，解得a＝1．]
7．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
(0，2) [由题意知
即解得08．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
[定义域为R，所以kx2－6x＋8≥0恒成立，因此满足代入解不等式组得k≥．]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋4；
(2)f(x)＝．
[解] (1)要使函数式有意义，必须满足即所以≤x≤，即函数的定义域为．
(2)要使函数式有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，0)．
10．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x2－4．
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(1)，f(－2)，g(3)，f(g(1))，g(f(2))的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)＋g的值．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使有意义，
所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(1)＝1＋1＝2；f(－2)＝－2＋＝－；g(3)＝32－4＝5；
g(1)＝1－4＝－3，所以f(g(1))＝f(－3)＝－3＋＝－；
f(2)＝2＋＝，g(f(2))＝g＝－4＝．
(3)f(a＋1)＋g＝a＋－3．
11．下列等式中，y不是x的函数关系的是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝x2＋5 D．y2＝x2＋5
D [选项A、B、C符合函数定义．对于选项D，当x＝0时，y＝±．故y不是x的函数．]
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝ D．y＝|x|
A [对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．
对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]
13．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．
9 [因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，所以函数的定义域可以为{1，2}，{－1，2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{－1，1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]
14．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1．
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，
f(g(x))当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，
f(g(x))>g(f(x))，符合题意；
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
f(g(x))15．已知函数f(x)＝．
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值．
[解] (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＝1．
f(3)＋f＝＝1．
(2)证明：f(x)＋f＝＝＝＝1．
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