5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学习任务 核心素养
1．理解并掌握增(减)函数的定义及其几何意义．(重点) 2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点) 3．会求函数的单调区间．(重点、难点) 1．借助单调性的证明，提升逻辑推理素养． 2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
知识点1 增(减)函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A．
如果对于区间I内的______两个值x1，x2．当x1(1)__________________
①称y＝f(x)在区间I上单调递增．
②I称为y＝f(x)的增区间．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数．
(2)__________________
①称y＝f(x)在区间I上单调递减．
②I称为y＝f(x)的减区间．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数．
1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． ( )
(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈I”可以改为“存在x1，x2∈I”． ( )
(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)． ( )
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有________，增区间和减区间统称为__________．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．函数f(x)的图象如图所示，则函数的增区间是________．
类型1 利用函数图象求单调区间
【例1】【链接教材P118例1】
作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；
(2)y＝－；
(3)f(x)＝
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
应用图象确定单调性的关键
应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的增区间或减区间．但应注意端点是否在定义域内．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
[跟进训练]
1．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 函数单调性的判定与证明
【例2】【链接教材P118例2】
证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
[跟进训练]
2．用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 函数单调性的应用
【例3】已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的增函数，且f(x－2)[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2．当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
[跟进训练]
3．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
2．(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
3．(教材P122习题5.3T4改编)函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的增区间为[3，＋∞)，则a的值是________．
5．已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调性的因素有哪些？
3．怎样证明函数的单调性？
1 / 65.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学习任务 核心素养
1．理解并掌握增(减)函数的定义及其几何意义．(重点) 2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点) 3．会求函数的单调区间．(重点、难点) 1．借助单调性的证明，提升逻辑推理素养． 2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
知识点1 增(减)函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2．当x1(1)f(x1)①称y＝f(x)在区间I上单调递增．
②I称为y＝f(x)的增区间．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数．
(2)f(x1)>f(x2)
①称y＝f(x)在区间I上单调递减．
②I称为y＝f(x)的减区间．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数．
1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
[提示] 定义中的x1，x2有以下3个特征．
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉．证明时不能以特殊代替一般．
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． ( )
(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈I”可以改为“存在x1，x2∈I”． ( )
(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
[提示] 不是，y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上也单调递减．但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
2．函数f(x)的图象如图所示，则函数的增区间是________．
[－1，2] [在区间[－1，2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1，2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴[－1，2]为f(x)的增区间．]
类型1 利用函数图象求单调区间
【例1】【链接教材P118例1】
作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；
(2)y＝－；
(3)f(x)＝
[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．
(1) (2) (3)
(1)y＝x2－4的减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)．
(2)y＝－的增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无减区间．
(3)f(x)的增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，减区间为[0，2]．
【教材原题·P118例1】
例1画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1)y＝－x2＋2；
(2)y＝(x≠0)．
解：(1)函数图象如图5-3-3(1)，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，＋∞)．
(2)函数图象如图5-3-3(2)，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间．
应用图象确定单调性的关键
应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的增区间或减区间．但应注意端点是否在定义域内．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
[跟进训练]
1．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3．
[解] (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增．
(2)f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为
(－∞，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增，在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减．
类型2 函数单调性的判定与证明
【例2】【链接教材P118例2】
证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
[证明] 设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1∵0∴x1－x2<0，0∴>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
【教材原题·P118例2】
例2证明：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
证明：设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1则x1－x2<0，x1x2>0．
因为f(x1)－f(x2)
＝
＝＝，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
[跟进训练]
2．用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
[证明] 设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝．
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
类型3 函数单调性的应用
【例3】已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的增函数，且f(x－2) [∵f(x)是定义在[－2，2]上的增函数，且f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<．
又f(x)的定义域为[－2，2]，
∴∴
∴0≤x≤3．
综上，0≤x<．]
1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上单调递增，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2．当y＝f(x)在给定区间上单调递减时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
[跟进训练]
3．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a) [因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)，所以所求a的取值范围是．]
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
C [由题图可知，函数y＝f(x)的增区间为[－3，1]，故选C．]
2．(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
ABC [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上均单调递增．]
3．(教材P122习题5.3T4改编)函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
C [因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．]
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的增区间为[3，＋∞)，则a的值是________．
－1 [∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的增区间为[2－a，＋∞)，∴2－a＝3，∴a＝－1．]
5．已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x) [由题设得解得－1≤x<．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
[提示] 若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调性的因素有哪些？
[提示] 开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小．
3．怎样证明函数的单调性？
[提示] 取值、作差、变形、定号、结论．
课时分层作业(二十一) 函数的单调性
一、选择题
1．(多选题)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上不具有单调性
ABD [由题图可知，f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选ABD．]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a> D．a<
D [函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则2a－1<0，即a<．故选D．]
3．下列函数中，在(0，2)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝2x－1
C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2
B [对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；对于B，y＝2x－1在R上是增函数；对于C，y＝1－2x在R上是减函数；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B．]
4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数
C [由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．]
5．已知f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，那么f(a2－a＋1)与f的大小关系是( )
A．f(a2－a＋1)>f
B．f(a2－a＋1)≤f
C．f(a2－a＋1)≥f
D．f(a2－a＋1)B [由题意知a2－a＋1＝＋．
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(a2－a＋1)≤f．故选B．]
二、填空题
6．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，则实数a的取值范围为________．
(－∞，2] [∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为x＝且在区间上单调递增，∴，即a≤2．]
7．已知函数f(x)＝则f(x)的减区间是________，值域为________．
(－∞，1) [3，＋∞) [当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的减区间为(－∞，1)．
函数f(x)的图象如图所示，值域为[3，＋∞)．
]
8．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是________．
[由题意，得
解得2≤x＜，故满足条件的x的取值范围是2≤x＜．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝．
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明：函数f(x)＝在[1，＋∞)上单调递增．
[解] (1)由题意知x＋1≠0，即x≠－1．
∴f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x)＝＝2－，
∴f(x2)－f(x1)＝＝．
∵x10．
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，∴x2＋1>0，x1＋1>0．
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上单调递增．
10．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
[解]
原函数可化为
f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
图象如图所示．
由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中减区间为(－∞，－3]，增区间为[3，＋∞)．
11．(多选题)已知f(x)为R上的减函数，则满足fA．－ B．
C．－1 D．1
AB [由函数f(x)是减函数且f1．解得－112．(多选题)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上具有单调性，则y＝2ax＋b的图象可能是( )
A B C D
ACD [函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上具有单调性，
①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a＞0时，－≥0 b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；
③当a＜0时，－≥0 b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D．
故y＝2ax＋b的图象可能是ACD．]
13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
[4，8) [因为f(x)是R上的增函数，
所以解得4≤a<8．]
14．函数f(x)＝2x2－3|x|的减区间是________．
[函数f(x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示，f(x)的减区间为．
]
15．讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
[解] f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝
＝(1－2a)，
∵－2∴x2－x1>0，且(x2＋2)(x1＋2)>0．
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
则f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．
(2)若a>，则1－2a<0．
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减；
当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
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