类型1 函数值域的求法
函数的值域是所有值域问题的基础，其他非函数问题的值域往往要通过转化的思想方法转化为函数的值域问题来处理．函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
【例1】求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)f(x)＝x＋；(4)y＝．
[解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0．所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2－．而≠0，所以2－≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝．而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2．所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)令＝t，则t≥0，x＝t2＋，
∴y＝t2＋＋t＝．
∵t≥0，∴y≥，
∴函数f(x)＝x＋．
(4)法一(判别式法)：由y＝得x2－yx＋1＝0，因为关于x的方程有实数根，所以Δ＝y2－4≥0，解得y≥2或y≤－2，所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
法二(基本不等式法)：函数y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．
当x<0时，y＝x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号．
所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
类型2 函数性质的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有涉及，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
【例2】函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝．
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1，1)上单调递增；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0．
[解] (1)由题意，得
即解得
∴f(x)＝，经检验，符合题意．
(2)证明：任取x1，x2∈(－1，1)且x1
f(x2)－f(x1)＝
＝．
∵－1>0．
又∵－10，
∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1，1)上单调递增．
(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1，1)上单调递增，
∴－1解得0故原不等式的解集为．
类型3 函数的图象与数形结合思想
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确的画出图象．这体现了数形结合的思想．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．
【例3】(1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)
(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．
(1)③ (2)10，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．
(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
作出f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1章末综合测评(五) 函数概念与性质
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
D [A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同．]
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R
C [要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0．]
3．已知f(x)＝则f的值是( )
A．－ B．
C． D．－
C [f＝－1＝－，f＝－＋1＝．]
4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋1，且f(1)＝－2，则实数m的值为( )
A．－4 B．0
C．4 D．2
B [因为函数y＝f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，由当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋1，f(1)＝－2，所以2－m＝2，从而m＝0，故选B．]
5．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D [∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，
∴y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．
∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2．]
6．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于( )
A．－10 B．－2
C．－6 D．14
B [∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，∴125a＋5b＝6，
∴f(－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2．]
7．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c(a≠0)在区间[0，1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C [二次函数图象的对称轴为x＝1．由二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，可知a>0，故该函数图象的开口向上，且f(0)＝f(2)．
当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2．]
8．已知函数y＝f(x)的定义域为，且f(x＋1)为奇函数，当x<1时，f(x)＝－x2－2x，则函数y＝f(x)－的所有零点之和等于( )
A．4 B．5
C．6 D．12
A [因为f(x＋1)为奇函数，所以图象关于(0，0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于对称，即f＋f＝0．
当x<1时，f(x)＝－x2－2x，
所以当x>1时，f(x)＝x2－6x＋8．
当－x2－2x＝时，可得x1＋x2＝－2，
当x2－6x＋8＝时，可得x3＋x4＝6，
所以函数y＝f(x)－的所有零点之和为6－2＝4，故选A．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于定义在R上的函数f(x)，下列判断错误的有( )
A．若f(－2)>f(2)，则函数f(x)是R上的增函数
B．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数
C．若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，在区间(0，＋∞)上也单调递增，则f(x)是R上的增函数
ACD [对于A，列举反例f(x)＝(x－2)2，A错误；对于B，若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，所以B正确；对于C，列举反例f(x)＝|x|，C错误；对于D，列举反例f(x)＝所以D错误．故选ACD．]
10．下列命题为真命题的是( )
A．函数y＝|x－1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上单调递增
B．函数f(x)＝的最小值为2
C．“x＝2”是“x－2＝”的充要条件
D． x∈R，CD [y＝|x－1|当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝2，所以y＝|x－1|不是偶函数，选项A错误；令t＝∈[3，＋∞)，g(x)＝t＋．根据对勾函数的单调性可得，g(t)在[3，＋∞)上单调递增，g(t)的最小值为，即f(x)的最小值为，选项B错误；x－2＝≥0，2－x≥0，所以x＝2，选项C正确；当x＝1时，11．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(－x)＝f(x)；，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0．则下列选项成立的是( )
A．f(3)>f(－4)
B．若f(m－1)C．若>0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞)
D． x∈R， M∈R，使得f(x)≥M
CD [由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(3)若f(m－1)若>0，则或
因为f(－1)＝f(1)＝0，
所以x>1或－1因为定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)，所以 x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确．故选CD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数f(x)＝x3＋(b－1)x2＋x是定义在[2a，1－a]上的奇函数，则a＋b＝________．
0 [∵f(x)是定义在[2a，1－a]上的奇函数，
∴解得∴a＋b＝0．]
13．函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为________．
[1，2] [函数f(x)＝x2－2x＋3在x＝1处取得最小值为2，在x＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a的取值范围为[1，2]．]
14．已知函数f(x)＝那么f(f(3))＝________；若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a 的个数是________．(本题第一空2分，第二空3分)
1 4 [f(f(3))＝f(－1)＝1；令f(a)＝t，即满足f(t)＝t，
①t＝1，即a＝±1时，经检验，均满足题意；
②t<1，即－11时，f(t)＝t2，由t＝t2，解得t＝0或1(舍去)；再由t＝f(a)＝0解得a＝0或2；
③t>1，即a<－1时，f(t)＝2－t，由t＝2－t，解得t＝1(舍去)；综上所述，共有4个a．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(1)求函数f(x)＝＋(x－1)0＋的定义域(要求用区间表示)；
(2)若函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式．
[解] (1)要使函数有意义，需有
解得x≤2且x≠±1．
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，2]．
(2)∵f(x＋1)＝x2－2x，
∴令x＝2，得f(3)＝22－2×2＝0．
∵f(x＋1)＝x2－2x，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
∴f(x)＝x2－4x＋3(x∈R)．
16．(15分)已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)确定f(x)的单调性；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)＝＝＝2－．
设x1，x2为区间[3，5]上的任意两个值，且x1则f(x1)－f(x2)＝2－－2＋＝<0，
即f(x1)∴f(x)在[3，5]上单调递增．
(2)∵f(x)在[3，5]上单调递增，
∴f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝．
17．(15分)已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2．
(1)若函数的图象经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；
(2)若函数在区间[2，＋∞)上单调递增，求m的取值范围．
[解] (1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，
∴
∴m＝1．
(2)∵y＝f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴对称轴x＝－≤2，∴m≥0，
∴实数m的取值范围是[0，＋∞)．
18．(17分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃．
(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求a、x、y之间的函数关系式；
(2)当地表的温度是29 ℃时，求3 km上空的温度．
[解] (1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k<0)，即y＝a＋kx．
依题意，当x＝12时，y＝－55，
∴－55＝a＋12k，
解得k＝－．
∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12)．
又当x>12时，y＝－55．
∴所求的函数关系式为
y＝
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，
即3 km上空的温度为8 ℃．
19．(17分)已知二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在[t，t＋1](t＞0)上的最大值．
[解] (1)因为二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2，
故函数图象的对称轴为x＝1，
设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，a＜0．
根据f(－2)＝9a＋2＝－16，
求得a＝－2，
故f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x．
(2)当t≥1时，函数f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
故最大值为f(t)＝－2t2＋4t；
当0＜t＜1时，函数f(x)在[t，1]上单调递增，
在[1，t＋1]上单调递减，
故函数的最大值为f(1)＝2．
综上，f(x)max＝
1 / 11类型1 函数值域的求法
函数的值域是所有值域问题的基础，其他非函数问题的值域往往要通过转化的思想方法转化为函数的值域问题来处理．函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
【例1】求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)f(x)＝x＋；(4)y＝．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2 函数性质的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有涉及，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
【例2】函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝．
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1，1)上单调递增；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 函数的图象与数形结合思想
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确的画出图象．这体现了数形结合的思想．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．
【例3】(1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)
(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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