6.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
学习任务 核心素养
1．理解指数函数的概念．(重点) 2．掌握指数函数的图象和性质．(重点) 3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点) 4．掌握函数图象的平移变换和对称变换． 通过本节内容的学习，培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，那么经过3 h，这种细菌由1个可分裂为几个？经过x h，这种细菌由1个可分裂为几个？
知识点1 指数函数的概念
一般地，函数_______(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R．
知识点2 指数函数的图象和性质
a>1 0
图象
性 质 定义域 ___
值域 _____________
定点 图象过定点__________，图象在___轴的上方
函数值 的变化 x>0时，______； x<0时，_________ x>0时，_________； x<0时，______
单调性 在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
奇偶性 非奇非偶函数
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．为什么底数应满足a>0且a≠1
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝3·2x是指数函数． ( )
(2)指数函数的图象与x轴永不相交． ( )
(3)函数y＝2－x在R上为增函数． ( )
(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1． ( )
2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝ D．f(x)＝
类型1 指数函数的概念
【例1】(1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________．
判断函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1．
提醒：求指数函数的解析式常用待定系数法．
[跟进训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________．
类型2 利用单调性比较大小
【例2】【链接教材P144例1】
比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与1；
(3)0.6-2与；(4)与3-0.2；
(5)0.20.6与0.30.4；．
[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类
(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底数为底数，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．
[跟进训练]
2．比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9-3；
(2)0.60.4与0.40.6；
(3)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3 利用指数函数的单调性解不等式
【例3】【链接教材P145例2】
(1)解不等式≤2；
(2)已知0，且a≠1)，求x的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
[跟进训练]
3．若ax+1>(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4 图象变换及其应用
【例4】(1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)
(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．
(3)函数f(x)＝2ax+1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．
[思路点拨] (1)将y＝3－x转化为y＝．
(2)函数y＝ax＋b的图象过点(0，1＋b)，因为b＜－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上．
(3)根据指数函数经过定点求解．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的函数值，即可得函数图象所过的定点．
[跟进训练]
4．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到的：
(1)y＝2x+1；(2)y＝2x-1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选题)下列所给函数中为指数函数的是( )
A．y＝4x B．y＝x2
C．y＝2·2x D．y＝
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
3．函数y＝＋1(a>0且a≠1)的图象必过定点________．
4．(教材P147练习T16改编)1－≥0的解集为________．
5．已知f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断指数函数的标准是什么？
2．怎样理解指数函数的性质？
3．怎样解形如ax>ay的不等式？
1 / 66.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
学习任务 核心素养
1．理解指数函数的概念．(重点) 2．掌握指数函数的图象和性质．(重点) 3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点) 4．掌握函数图象的平移变换和对称变换． 通过本节内容的学习，培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，那么经过3 h，这种细菌由1个可分裂为几个？经过x h，这种细菌由1个可分裂为几个？
知识点1 指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R．
知识点2 指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
定点 图象过定点(0，1)，图象在x轴的上方
函数值 的变化 x>0时，y>1； x<0时，00时，01
单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
[提示] 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于参数a．当a>1时，图象具有上升趋势；当02．为什么底数应满足a>0且a≠1
[提示] ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝3·2x是指数函数． ( )
(2)指数函数的图象与x轴永不相交． ( )
(3)函数y＝2－x在R上为增函数． ( )
(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝ D．f(x)＝
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B．]
类型1 指数函数的概念
【例1】(1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________．
(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得＝，所以a＝3，又f(－2)＝a-2，所以f(－2)＝3-2＝．]
判断函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1．
提醒：求指数函数的解析式常用待定系数法．
[跟进训练]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________．
2 [由题意知解得a＝2．]
类型2 利用单调性比较大小
【例2】【链接教材P144例1】
比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与1；
(3)0.6-2与；(4)与3-0.2；
(5)0.20.6与0.30.4；．
[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．
[解] (1)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数，
又－1.8>－2.6，
∴<．
(2)∵0<<1，
∴y＝在定义域R内是减函数．
又∵－<0，
∴>＝1，
∴>1．
(3)∵0.6-2>0.60＝1，<＝1，
∴0.6-2>．
(4)∵＝3-0.3，y＝3x在定义域R内是增函数，
又∵－0.3<－0.2，
∴3-0.3<3-0.2，∴<3-0.2．
(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4．
(6)∵f(x)＝在R上为减函数， ∵f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
．
【教材原题·P144例1】
例1比较下列各组数中两个数的大小：
(1)1.52.5，1.53.2；
(2)0.5-1.2，0.5-1.5；
(3)1.50.3，0.81.2．
解：(1)考察指数函数y＝1.5x．
因为1.5>1，
所以y＝1.5x是增函数．
又因为2.5<3.2，
所以1.52.5<1.53.2．
(2)考察指数函数y＝0.5x．
因为0<0.5<1，
所以y＝0.5x是减函数．
又因为－1.2>－1.5，
所以0.5-1.2<0.5-1.5．
(3)考察指数函数y＝1.5x．
因为1.5>1，
所以y＝1.5x是增函数．
又因为0.3>0，
所以1.50.3>1.50＝1．
同理0.81.2<0.80＝1，
故1.50.3>0.81.2．
在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类
(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底数为底数，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．
[跟进训练]
2．比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9-3；
(2)0.60.4与0.40.6；
(3)．
[解] (1)由于指数函数y＝1.9x在R上是增函数，而－π<－3，
∴1.9－π<1.9-3．
(2)∵y＝0.6x在R上是减函数，
∴0.60.4>0.60.6．
又在y轴右侧函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，
∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6．
(3)∵<0，>1，0<<1，
又在y轴右侧，函数y＝的图象在y＝4x图象的下方，
∴＝，
∴<<．
类型3 利用指数函数的单调性解不等式
【例3】【链接教材P145例2】
(1)解不等式≤2；
(2)已知0，且a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，∴原不等式可以转化为．
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集为{x|x≥0}．
(2)①当00，a≠1)在R上为减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5．
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05，
当a>1时，－1【教材原题·P145例2】
例2(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
解：(1)因为3>1，
所以指数函数y＝3x是增函数．
由3x≥30.5可得x≥0.5．
故x的取值范围为区间[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，
所以指数函数y＝0.2x是减函数．
因为25＝＝0.2-2，
所以0.2x<0.2-2．
由此可得x>－2．
故x的取值范围为区间(－2，＋∞)．
1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
[跟进训练]
3．若ax+1>(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] 因为ax+1>，所以ax+1>a3x-5．
当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3．
当03．
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；
当0类型4 图象变换及其应用
【例4】(1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)
(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．
(3)函数f(x)＝2ax+1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．
[思路点拨] (1)将y＝3－x转化为y＝．
(2)函数y＝ax＋b的图象过点(0，1＋b)，因为b＜－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上．
(3)根据指数函数经过定点求解．
(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y＝3－x＝在R上是减函数，其图象为②．
(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上是减函数，图象过定点(0，1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0，1＋b)．因为b＜－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．
(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]
1．处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的函数值，即可得函数图象所过的定点．
[跟进训练]
4．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到的：
(1)y＝2x+1；(2)y＝2x-1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|．
[解] (1)y＝2x+1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到．
(2)y＝2x-1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到．
(4)y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，既可得到y＝2|x|的图象．
1．(多选题)下列所给函数中为指数函数的是( )
A．y＝4x B．y＝x2
C．y＝2·2x D．y＝
AD [A是指数函数，B中自变量的位置不对，C中系数不为1，D符合．]
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
C [依题意，有解得m＝2，故选C．]
3．函数y＝＋1(a>0且a≠1)的图象必过定点________．
[令x－＝0得x＝，当x＝时，y＝2＋1＝3，故过定点．]
4．(教材P147练习T16改编)1－≥0的解集为________．
[0，＋∞) [1＝，∴原不等式可化为－≥0，即，又f(x)＝为减函数，∴x≥0．]
5．已知f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝________．
[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
所以f(－2)＝4，即a-2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝，
所以f(－1)＝＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断指数函数的标准是什么？
[提示] 符合y＝ax(a>0且a≠1)这种形式，即ax的系数为1，指数是x且系数为1．
2．怎样理解指数函数的性质？
[提示] 指数函数的性质分底数a>1，03．怎样解形如ax>ay的不等式？
[提示] 借助y＝ax的单调性求解．若a不确定，分a>1或0课时分层作业(二十五) 指数函数的概念、图象与性质
一、选择题
1．(多选题)下列函数是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝23x+1
C．y＝ D．y＝3x
CD [A中底数－3<0，不是指数函数．B中指数是3x＋1不是x，故B不是指数函数．CD均为指数函数．]
2．方程4x＋2x－2＝0的解是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [设2x＝t，则原方程可化为t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1，由t>0，得t＝1．
故2x＝1，即x＝0．]
3．已知a＝20.2，b＝20.3，c＝0.20.3，则( )
A．b>a>c B．a>b>c
C．b>c>a D．a>c>b
A [∵指数函数y＝2x在R上是增函数，且0.2＜0.3，
∴1＜a＝20.2＜20.3＝b．又c＝0.20.3＜0.20＝1，
∴c＜a＜b，故选A．]
4．已知集合M＝{－1，1}，N＝．则M∩N＝( )
A．－1 B．0或－1
C．{－1} D．{0，－1}
C [∵<2x+1<4，
∴2-1<2x+1<22，∴－1又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，
即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．]
5．下列图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象只可能为( )
A B C D
A [由指数函数y＝的图象知0<<1，
∴a，b同号，二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴是直线x＝－，而0>－>－，
∴BCD都不正确，故选A．]
二、填空题
6．函数y＝ax-3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(3，4) [令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4．即函数y＝ax-3＋3的图象过定点(3，4)．]
7．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是________．
b由图知c1>d1>a1>b1，
∴b8．已知函数f(x)＝则f＝________，f(log212)＝________．
[当x≤0时，f(x)＝2x，∴f＝＝，由log212>0，∴f(log212)＝f(log212－2)＋2＝f(log23)＋2＝f(log23－2)＋4＝＋4＝＋4＝．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)(1)求使不等式4x>32成立的实数x的集合；
(2)已知方程9x-1＝243，求实数x的值．
[解] (1)因为4x＝22x，32＝25，所以原不等式可化为22x>25．
因为函数y＝2x在R上是增函数，所以2x>5，即x>．
因此，使不等式4x>32成立的实数x的集合是．
(2)因为9x-1＝(32)x-1＝32x-2，243＝35，所以原方程可化为32x-2＝35．
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以2x－2＝5，即x＝．
10．作出下列函数的简图．
(1)y＝2x-1；(2)y＝2－|x-1|；(3)y＝|2x-1－1|．
[解] (1)y＝2x-1的图象经过点，(1，1)和(2，2)且是增函数，它是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的，如图(1)．
(2)y＝2－|x-1|＝的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时是减函数，且与y＝的图象相同，如图(2)．
(3)y＝|2x-1－1|的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，将x轴下方的图象沿x轴对折得到的．图象经过(1，0)及(2，1)点，如图(3)．
11．函数y＝|2x－2|的图象是( )
A B
C D
B [y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方的部分对折到x轴的上方得到的．]
12．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．[4，8) B．(4，8]
C．(4，8) D．[4，8]
A [因为f(x)在R上是增函数，
所以结合图象(图略)知
解得4≤a<8．]
13．为了得到函数y＝3×的图象，可以把函数y＝的图象向________平移________个单位长度．
右 1 [y＝3×＝，将y＝的图象向右平移1个单位长度即得y＝的图象．]
14．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．
m＜n [∵0＜＜1，
∴f(x)＝ax＝，
且f(x)在R上是减函数．
又∵f(m)＞f(n)，∴m＜n．]
15．设f(x)＝3x，g(x)＝．
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m．
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
1 / 14