章末综合测评(三)
1．C [∵－1>－2，但是(－1)2>(－2)2不成立，故A不正确；
c＝0时，0＝ac2
∵a>b，∴a＋c>b＋c，C正确；
∵1>－2，但是<不成立，故D不正确．]
2．A [>1可化为－1>0，
整理可得>0，即x＋2<0，
解得x<－2，解集为｛x|x<－2｝．]
3．B [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B．]
4．A [当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以00，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪．故选A．]
5．D [∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8，当且仅当x＝y＝4时“＝”成立．]
6．A [由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得
∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0，
解得－17．C [原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1>0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2>0，且Δ<0，
即解得a>2．]
8．A [设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，
∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝x≥2＝8，当且仅当，即x＝5时取等号．]
9．ACD [由04－b，所以02，所以A、C正确；因为，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以D正确；又a＋b＝4，所以ab<，所以(a＋1)(b＋1)＝a＋b＋ab＋1<9，所以B错误．故选ACD．]
10．AC [∵a>0，b>0，且a＋b＝1，a＋b≥2，
∴，∴ab≤，A正确．，当且仅当a＝b时，，∴，B错误．≥4，∴有最小值4，C正确．a2＋b2≥2ab，2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，D错误．]
11．AD [∵a>1，b>1，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
∴1＝ab－(a＋b)≤ab－2＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，
∴ab有最小值3＋2．
∵ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
∴1＝ab－(a＋b)≤－(a＋b)，
∴(a＋b)2－4(a＋b)≥4，[(a＋b)－2]2≥8，
解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2(＋1)，
∴a＋b有最小值2(＋1)．]
12． [方程x2－ax－b＝0的根为2，3，根据根与系数的关系得a＝5，b＝－6．所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集为．]
13．(－4，2) [∵x>0，y>0，∴≥8>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解得－414．60 2 500 [设销售价格定为每件x(50y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0所以y＝＝2 500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500．]
15．解：(1)因为 x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为[0，1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0．
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，解集为(a，1－a)；
当a＝时，解集为 ；
当16．解：(1)∵2a＋8b－ab＝0，∴＝1．
又∵a>0，b>0，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当，即a＝2b时，等号成立．
由
∴当a＝12，b＝6时，a＋b取得最小值18．
(2)证明：
＝
＝4＋
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴≥10．
17．解：(1)将x＝50，y＝4 000代入y＝ax2＋2 000中，可得502a＋2 000＝4 000，从而a＝，于是y＝x2＋2 000．
因此t＝x＋(x>0)．
(2)因为t＝x＋≥2＝80，
当且仅当x＝，即x＝50时，上述等号成立．因此，当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80．
18．解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，
则ab＝9 000．①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0．
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)
＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b
≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500．
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75．
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2．
故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告的面积最小．
19．解：(1)因为当a>0时，(x－a)<0，
解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为．
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
所以y＝＝t＋＋2a
≥2＋2a＝2＋2a．
当且仅当t＝，即t＝时，等号成立，
即y有最小值2＋2a．
依题意有2＋2a＝6，解得a＝1．
所以a的值为1．
1 / 5章末综合测评(三) 不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2>b2 B．ac2C．a＋c>b＋c D．<
2．不等式＞1的解集是( )
A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}
3．设A＝，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．A4．不等式|x|(1－2x)>0的解集为( )
A．(－∞，0) B．
C． D．
5．已知＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
6．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A．
B．
C．{x}
D．{x}
7．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3
C．a＞2 D．－2＜a＜2
8．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，则( )
A．b>2
B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9
C．0D．a2＋b2>8
10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值 B．有最小值
C．有最小值4 D．a2＋b2有最小值
11．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值3＋2
D．ab有最小值3＋2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2，3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
13．已知x>0，y>0，若>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________．
14．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为________元，每天获得的利润最多为________元．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知 x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
16．(15分)(1)已知a，b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值；
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：≥10．
17．(15分)已知某工厂生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为y＝ax2＋2 000，且当年产量是50时，总成本为4 000．
(1)设该产品年产量为x时平均成本为t，求t关于x的表达式；
(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．
18．(17分)如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
19．(17分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．
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