章末综合测评(四) 指数与对数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将化为分数指数幂，其形式是( )
A． B．
C． D．
2．计算的结果是( )
A． B．18
C．36 D．
3．当有意义时，化简的结果是( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
4．方程＝的解是( )
A．9 B．
C． D．
5．若lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，则x的值等于( )
A．1 B．0或
C． D．log23
6．已知ab＝－5，则a的值是( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
7．已知loga ＝m，loga3＝n，则am+2n等于( )
A．3 B．
C．9 D．
8．已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为( )
A． B．4
C．1 D．4或1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列运算正确的是( )
A．＝a B．log2a2＝2log2a
C．＝－a D．log29×log34＝4
10．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝( )
A． B．
C． D．2
11．下列命题中的真命题是( )
A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝
B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝±
C．若log6[log3(log2x)]＝0，则
D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logxyx＝0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若＝0，则x2 024＋y2 023＝________．
13．已知正数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b＝________．
14．若2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，lg 2＝a，则＝________，＝________(用a表示)．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分) 求下列各式中x的值．
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg x)＝1；
(3)＝x；
(4) (＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
16．(15分)(1)已知3a＝5b＝15，求的值；
(2)设10a＝2，lg 3＝b，用a，b表示log26．
17．(15分)(1)化简：log4(24×642)＋log318－log32＋log52×log2125；
(2)已知a＝2，
求的值．
18．(17分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py．
(1)求p；
(2)求证：．
19．(17分)某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到1年)
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1．B [＝(－2＝(－2×＝－．故选B．]
2．A [＝(32＝3-3＝，故选A．]
3．C [因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝＝(2－x)－(3－x)＝－1．]
4．D [∵＝2-2，∴log3x＝－2，∴x＝3-2＝．]
5．D [∵lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23．故选D．]
6．B [由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0．]
7．D [由已知得am＝，an＝3，所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝．故选D．]
8．B [因为2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，所以loga(M－2N)2＝loga(MN)，(M－2N)2＝MN，－5＋4＝0，解得＝1(舍去)，＝4，故选B．]
9．CD [当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得log29×log34＝××＝4．所以D正确，应选CD．]
10．AD [令t＝logab，
则t＋，
∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，
∴t＝或t＝2，
∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2，或a2＝b，
∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，
∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4．
∴＝2，或，故选AD．]
11．ACD [对于A，因为log189＝a，log1854＝b，
所以18a＝9，18b＝54，
所以182a-b＝，即A正确；
对于B，logx27＝3log39＝3×2＝6，
所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x＝，即B错误；
对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式为x＝23＝8，
所以，即C正确；
对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，
所以logxyx＝log212＝0，即D正确．]
12.0 [∵≥0，≥0，且＝0，
∴
∴x2 024＋y2 023＝1－1＝0．]
13.4或5 [∵ba＝4，
∴log2ba＝log24，即alog2b＝2，①
又a＋log2b＝3，②
联立①②得
即
∴a＋b＝4或a＋b＝5．]
14． [因为2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，所以x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
所以＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝．
＝log1 0002.5＋log1 0000.25＝
＝．]
15．解：(1)∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝1，
∴x＝21＝2．
(2)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2．
∴x＝102＝100．
(3)x＝．
(4)x＝(＝c．
16．解：(1)∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴＝log153，＝log15 5，
∴＝log1515＝1．
(2)∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝．
17．解：(1)原式＝log4(42×46)＋log3＋log5125＝8＋2＋3＝13．
(2)a6b-6－6a3b-1＋9b4＝(a3b-3－3b2)2，
由a＝2，b＝5，得a3b-3<3b2．
∴原式＝
＝－
＝－
＝－b2．
又b＝5，故原式＝－50．
18．解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k．
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·．
∵log3k≠0，∴p＝2log34．
(2)证明：＝logk6－logk3＝logk2，
又logk4＝logk2，∴．
19．解：设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，
x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20．
所以0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得
xlg 0.72＝lg 0.4．
故x＝
≈
＝≈3(年)．
所以约3年后每桶的生产成本为20元．
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