章末综合测评(七) 三角函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，最小正周期为π的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
2．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为( )
A． cm2 B．π cm2
C．2π cm2 D．4π cm2
3．已知点 P(3，4) 在角α的终边上，则cos 的值为( )
A． B．－
C． D．－
4．代数式sin (－330°)cos 390°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
5．已知tan ＝，则tan ＝( )
A． B．－
C． D．－
6．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角约等于( )
A． B．
C． D．
7．设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
8．已知函数f(x)＝sin πx和函数g(x)＝cos πx在区间上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是( )
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．n α＋cos α
10．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法错误的是( )
A．最小值为－1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期是π，图象关于点对称
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝________．
13．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
14．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________，f＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(1)已知角α的终边经过点P(5，－12)，求2sin α＋cos α的值；
(2)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．
16．(15分)已知
f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos ＝，求f(α)的值．
17．(15分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(单位：米)与时间t(单位：分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
18．(17分)已知f(x)＝2sin(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求tan 的值．
19．(17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x －
f(x) －1 1 3 1 －1 1 3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
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1．D [正、余弦函数的周期为T＝，故选D．]
2．C [弧长为π的弧所对的圆心角为，
所以r＝＝4(cm)，
所以扇形面积为S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．]
3．D [因为点 P(3，4) 在角α的终边上，所以OP＝＝5，cos＝－sin α＝－，故选D．]
4．B [sin(－330°)·cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×．]
5．B [tan＝tan＝－tan＝－．]
6．A [依题意知AB＝BC＝6，设∠ABC＝2θ，
则sin θ＝＝0.866≈，∴θ≈，2θ≈．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α＋2θ＝π，∴α≈．]
7．A [sin ＝sin＝－sin ＝sin ＝cos ，
cos ＝cos＝cos＝cos ，
∵y＝cos x在上单调递减，
∴cos >cos >cos ，
即a>c>b．]
8．C [由题意得sin πx＝cos πx，所以tan πx＝1，所以πx＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋k(k∈Z)．又因为x∈，所以x＝－，因此A，B，
C，所以△ABC的面积是××，故选C．]
9．BC [由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A错误；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝sin α－cos α，故B，C正确，D错误． 故选BC．]
10．BCD [将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)＝sin＝cos 2x的图象，
关于g(x)，显然它是偶函数，最大值为1，周期为＝π，故B不正确；
由于当x＝时，g(x)＝－1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
由于在上，2x∈，g(x)没有单调性，故C不正确；
由于当x＝时，g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点对称，故D不正确．]
11．AC [∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α．
A中，sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±， 即C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．故选AC．]
12．－ [因为sin α＋cos α＝，①
两边平方得1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α－cos α＝，②
联立①②得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝－．]
13．－ [对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点ω＋φ＝2π． ①
由题知|AB|＝xB－xA＝，又y＝，
则两式相减，得ω(xB－xA)＝，
即ω＝，解得ω＝4．
代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin＝－sin＝－．]
14.3 0 [由图象知T＝π，∴T＝，
又∵T＝，∴ω＝3，
将点代入f(x)＝2sin(3x＋φ)得，
sin＝0，取φ＝－π，
∴f(x)＝2sin，
∴f＝2sin＝2sin π＝0．]
15．解：(1)∵r＝＝13，
∴sin α＝＝－，cos α＝，
∴2sin α＋cos α＝－＝－．
(2)当点P在第一象限时，
sin α＝，cos α＝，2sin α＋cos α＝2；
当点P在第二象限时，
sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；
当点P在第三象限时，
sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；
当点P在第四象限时，sin α＝－，cos α＝，
2sin α＋cos α＝－．
16．解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α．
(2)因为cos＝－sin α，
所以sin α＝－．
又α是第三象限的角，
所以cos α＝－＝－．
所以f(α)＝．
17．解：(1)可以用余弦型函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝．
所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－t0＝t0＝，解得t0＝4或8．所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
18．解：(1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin．
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos ，
由g＝2cos＝2cos，得cos．
又α∈<α＋<．
所以sin，
所以tan．
19．解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝＝2π．由T＝，得ω＝1．
又
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝－＋2kπ，k∈Z．
又|φ|<，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋1．
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k>0，∴k＝3．
令t＝3x－，
∵x∈，
∴t∈．
如图，sin t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3)．
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