课时分层作业(四十一)
1．C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，
所以b＝±2．]
2．B [∵f(x)＝2x－，
∴f－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，
∴f·f(1)<0．
∴零点所在区间为．]
3．D [当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D．]
4．B [由表得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，
因为函数的图象是连续不断的，
所以函数在(1，2)内至少有一个零点，在(4，5)内至少有一个零点，
所以函数y＝f(x)在x∈[1，6]上的零点至少有两个．]
5．A [在同一平面直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a
]
6.2 [令f(x)＝ln x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，
∴f(x)在(2，3)内有解，∴k＝2．]
7． [由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，
即a＝x＋上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是．
所以实数a的取值范围是．]
8.7 3 [由题图中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，
g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，
所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，
f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，
所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点．即n＝3．]
9．解：
法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以零点只有一个．
10．解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1．
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1)．
11．B [∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴
∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B．]
12．ABD [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1．]
13．(2，＋∞) [设函数f(x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，且02，即x1＋x2的取值范围是(2，＋∞)．]
14．(1)－1 (2)[0，1) [(1)当x<0时，f(x)＝－x＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f(x)>2；
当x≥0时，f(x)＝x2－1在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝－1．
则f(x)的最小值为－1．
(2)令f(x)＝t，则y＝f(t)．
当k∈[0，1)时，函数f(x)的图象如图①所示．
图①
则f(t)＝0 t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1有两个交点，则k∈[0，1)满足题意．
当k∈[1，＋∞)时，函数f(x)的图象如图②所示．
图②
则f(t)＝0 t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，则k∈[1，＋∞)不满足题意．
综上，k∈[0，1)．]
15．解：(1)由题知f(x)＝4x－a·2x＋1＋1＝(2x)2－2a·2x＋1，因为x∈，
所以令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a，
当a≤时，f(t)max＝f(4)＝17－8a＝－8，解得a＝(舍)，
当a>时，f(t)max＝f(1)＝2－2a＝－8，解得a＝5，
所以a＝5．
(2)由(1)知f(x)＝(2x)2－2a·2x＋1，
令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a．
因为函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，
所以f＝t2－2at＋1的图象在上与x轴只有一个交点，
所以解得a＝1，
或者f·f≤0，
即≤0，整理解得≤a≤，
当a＝时，f＝t2－2at＋1的图象与x轴有两个交点，故舍，
综上，1 / 5课时分层作业(四十一) 函数的零点
一、选择题
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2，0
C． D．0
4．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y －5 2 8 12 －5 －10
则函数y＝f(x)在x∈[1，6]上的零点至少有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
上的零点至少有两个．]
5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．aC．c二、填空题
6．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
7．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围为________．
8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＝________，n＝________．
(1) (2)
三、解答题
9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x．
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
11．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和
12．(多选题)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值可能是( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
13．已知函数f(x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝其中k≥0．
(1)若k＝2，则f(x)的最小值为________；
(2)若关于x的函数y＝f(f(x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝4x－a·2x+1＋1．
(1)若函数f(x)在x∈上有最大值－8，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
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