课时分层作业(十一) 基本不等式的应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a
C． D．3
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知正数x，y满足＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18 B．16
C．8 D．10
5．(多选题)已知a>0，b>0，＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
二、填空题
6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．
7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．
8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2．
三、解答题
9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－的上确界为( )
A．－ B．
C． D．－4
12．若a>0，b>0，3a＋b＝1，则的最小值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
13．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则a＋b的最小值是________．
14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大，最大为________万元．
15．某厂家在2025年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2025年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2025年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
1 / 3课时分层作业(十一)
1．D [∵a>1，∴a－1>0，∴a＋＝a－1＋＋1≥
2＋1＝3．]
2．C [∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．B [由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]
4．A [x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当，即x＝4y＝12时，等号成立．]
5．CD [由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6．故选CD．]
6.25 [(1＋x)(1＋y)≤
＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时取等号，
所以(1＋x)(1＋y)取最大值25．]
7.2 [C＝．
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时等号成立．
所以C＝＝5，当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值．]
8.56 [设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2．
由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．]
9．解：∵a>b>0，
∴b(a－b)≤，
∴a2＋≥a2＋≥16．
当且仅当
即时取等号．
故a2＋的最小值为16．
10．解：设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
11．A [因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以(a＋b)＝＋2，
当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，
因此有－≤－，
即－的上确界为－．]
12．A [∵a>0，b>0，3a＋b＝1，
∴＝3＋＋1≥4＋2＝8，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，∴的最小值为8．]
13.1＋ [由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，
可得＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝＝1＋，
当且仅当，即a＝，b＝时等号成立．
所以a＋b的最小值为1＋．]
14.5 2 [∵y＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为＝－＋12≤－2＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]
15．解：设2025年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21．
故该厂家2025年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
1 / 4
