【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.1 第2课时 集合的表示 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共59张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第1章　
集合
1.1　集合的概念与表示
第2课时　集合的表示
学习任务 核心素养
1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点) 2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点) 1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象素养．
2．借助描述法转化为列举时的运算，培养数学运算素养．
集合是数学中最基本的语言，在今后的数学中，我们都要用到它，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合，为此我们来学习集合的表示方法．当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何直观地表示集合？当集合中的元素不具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　集合的表示方法
表示方法 定义 一般形式
列举法 将集合的元素__________出来，并置于花括号“{}”内 {a1，a2，…，an，…}
描述法 将集合的______元素都具有的____________________表示出来 _______________
Venn 图法 用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
一一列举
所有
性质(满足的条件)
{x|p(x)}
思考　(1)中国的五岳组成的集合适合用什么方法表示？如何表示？
(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？
[提示]　(1)列举法，表示为{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}．
(2)元素的共同特征为x∈R，且x<3．
提醒　列举法通常适用于元素个数有限的集合．若集合中的元素有无限个，但有一定的规律性也可用列举法．描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合，或者根本就不能一一列举的集合．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0与{0}表示的是同一个集合． (　　)
(2)方程(x－1)2·(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，2}． (　　)
(3)集合A＝{x|x>5，x∈N}是用描述法表示的一个集合． (　　)
×
√
√
知识点2　集合的分类
(1)集合的分类
有限集 含有____________的集合
无限集 含有____________的集合
空集 ______________的集合，记作____
有限个元素
无限个元素
不含任何元素

(2)集合相等
如果两个集合所含的元素__________(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
体验　2．(1)集合{1，2，3}与{3，2，1}__________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________．
完全相同
(1)是　(2)3　[(1)集合{1，2，3}与{3，2，1}元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，
∴a＋b＝3．]
是　
3
类型1　用列举法表示集合
【例1】【链接教材P7例1】
用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10．
所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，
所以C＝{2，－1}．
【教材原题·P7例1】
用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于13的所有偶数组成的集合；
(2)由1～15以内的所有质数组成的集合．
[解]　(1)设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为A，那么A＝{2，4，6，8，10，12}．
(2)设由1～15以内的所有质数组成的集合为B，那么B＝{2，3，5，7，11，13}．
反思领悟　用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2，3)，(5，－1)}．
[跟进训练]
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D．
[解]　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
类型2　用描述法表示集合
【例2】【链接教材P7例2】
用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解]　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
【教材原题·P7例2】
例2 用描述法表示下列集合：
(1)大于1的所有偶数组成的集合；
(2)不等式2x－3>5的解集．
[解]　(1)设大于1的偶数为x，并且满足条件
x>1，x＝2k，k∈N．
因此，这个集合表示为
A＝{x|x>1，x＝2k，k∈N}．
(2)由2x－3>5可得x>4，故不等式2x－3>5的解集为
{x|x>4，x∈R}．
反思领悟　利用描述法表示集合的关注点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x|x<1，x∈R}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
[解]　(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为
．
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
类型3　集合表示法的综合应用
【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．
[母题探究]
1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0．
所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．
[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0．
综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．
反思领悟　若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．同时在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化和分类讨论的思想．
[跟进训练]
3．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．
[解]　集合A中有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0．故实数a的取值范围为．
类型4　集合相等
【例4】(1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0，1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________．
[思路点拨]　(1)解出集合A，并判断与B是否相等．
(2)找到相等的对应情况，解方程即可．
是
－1
1
(1)是　(2)－1　1　[(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，
∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0，1}＝B．
(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．
∴＝－1，∴a＝－1，b＝1．]
反思领悟　已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．
[跟进训练]
4．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
[解]　若消去b，则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
若消去b，
则2ax2－ax－a＝0．
又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0．
又∵x≠1，∴x＝－．
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－．
1．下列四个集合中，是空集的为(　　)
A．{0}　　　　　　　　　　 B．{x|x>8，且x<5}
C．{x|x2－1＝0，x∈N} D．{x|x>4}
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝ ．]
2．(多选题)方程组的解集可表示为(　　)
A． B．
C．{1，2} D．{(1，2)}
√
ABD　[方程组的解应为有序数对，故A、B、D正确．]
√
√
3．用描述法表示不等式3x＋2>5的解集为________．
{x|x>1}　[由不等式3x＋2>5得x>1，用描述法可表示为{x|x>1}．]
{x|x>1}
4．(教材P8习题1.1T5改编)已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________．
1或　[∵M＝N，则有或解得或∴a＋b＝1或．]
1或　
5．用列举法表示集合D＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}为________________________________．
{(0，8)，(1，7)，(2，4)}　[因为y＝－x2＋8，所以当x＝0时，y＝8；当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝－1不成立，所以对应的集合为{(0，8)，(1，7)，(2，4)}．]
{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．集合常用的表示方法有哪些？各有什么特点？
[提示]　列举法、描述法．列举法通常适用于元素个数较少或元素有规律的集合．描述法通常适用于元素个数较多或无规律的集合．
2．对集合的表示有什么要求？
[提示]　要根据集合元素的特点，选择适当的方法表示集合．一般要符合最简原则．
3．通过本节课培养了哪些核心素养和思想方法？
[提示]　培养数学运算素养和逻辑推理素养．
思想方法有等价转化和分类讨论的思想．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．(多选题)已知集合A＝{x|x<6，x∈N}，则下列关系式成立的是(　　)
A．0∈A B．1.5 A
C．－2 A D．6∈A
课时分层作业(二)　集合的表示
ABC　[A＝{x|x<6，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5}，
故选ABC．]
√
√
题号
2
1
3
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5
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√
14
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2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
B　[方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．]
3．下列各组集合中，满足P＝Q的是(　　)
A．P＝{(1，2)}，Q＝{1，2}
B．P＝{(1，2)}，Q＝{(2，1)}
C．P＝{1，2，3}，Q＝{3，2，1}
D．P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}
√
题号
2
1
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15
C　[A中P为坐标，Q为数．
B中P，Q都是坐标，但两坐标不同．
C中P＝Q．
D中P为直线y＝x－1上点的坐标，而Q表示直线y＝x－1上点的纵坐标．]
题号
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√
4．不等式|8－2x|>0的解集是(　　)
A． B．R
C．{x|x≠4} D．{4}
题号
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C　[由|8－2x|>0可知，8－2x≠0，即x≠4．故不等式的解集为{x|x≠4}．]
√
5．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
题号
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D　[由得又交点组成的集合为点集，故选D．]
二、填空题
6．集合A＝{x|x＝2n－3，n∈N*，n<5}，用列举法表示为__________________．
题号
2
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{－1，1，3，5}　[集合中的元素满足x＝2n－3，n∈N*，n<5，则满足条件的x值为n＝1，x＝－1；n＝2，x＝1；n＝3，x＝3；n＝4，x＝5，则集合A＝{－1，1，3，5}．]
{－1，1，3，5}　
7．设集合A＝{4x，x－y}，B＝{4，7}，若A＝B，则x＋y＝__________．
题号
2
1
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－5或－　[∵A＝B，∴或
解得或
∴x＋y＝－5或－．]
－5或－
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则a＝________；设集合B＝{x|x2＋ax＋3＝0}，则集合B＝________．
题号
2
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－4　{1，3}　[由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4．则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以集合B＝{1，3}．]
－4
{1，3}
三、解答题
9．(源自人教B版教材)用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；
(2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B．
题号
2
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[解]　(1)因为0和1是方程x(x－1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A＝{0，1}．
(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B＝{(x，y)|x>0，y>0}．
10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}．若A＝
{－3，1}，试用列举法表示集合B．
题号
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[解]　将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0，
因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3，1，
由根与系数的关系得
解得所以y＝x2＋3x－3．
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}．
题号
2
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15
√
11．(多选题)设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有(　　)
A．a∈A B．－a∈A
C．a2∈A D．a2＋1∈A
题号
2
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15
ABC　[由题意，当k＝2时，x＝5，当k＝－3时，x＝－5，当k＝12时，x＝52＝25，a2＋1＝26 A．]
√
√
12．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a100＋b100的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．0或1
√
题号
2
1
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4
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15
B　[由题知　①或　②
解①得此时，A中的三个元素均为1，这与互异性矛盾．
解②得a＝－1或1(舍去)，此时b＝0，
所以a100＋b100＝1．]
题号
2
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15
13．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________．
题号
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4　[1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．]
4　
14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集____________________．
题号
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15
不是　(答案不唯一)　[由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A．若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有等．]
不是
　(答案不唯一)　
15．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(4)若A＝ ，求a的取值范围．
题号
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[解]　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
题号
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(2)若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由(1)知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a<0，即a>1时，A为 ；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素．故当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当A中有两个元素时，a≠0且Δ>0，得a<1且a≠0，结合(1)可知，a≤1．
(4)A＝ 时，由(2)知，a>1．
题号
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谢 谢！