【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 不等式的基本性质 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共68张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第3章　
不等式
3.1　不等式的基本性质
学习任务 核心素养
1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点) 2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点) 3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点) 1．通过大小比较，培养逻辑推理素养．
2．通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．
3．借助不等式求实际问题，提升数学运算素养．
和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些________的式子叫作不等式．
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
不等号
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a(3)不等式中常用符号语言
大于 小于 大于或 等于 小于或 等于 至多 至少 不少于 不多于
> < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
(4)两个实数的大小比较
①如果a－b是正数，那么a____b；
即a－b>0 a____b；
②如果a－b等于0，那么a____b；
即a－b＝0 a____b；
③如果a－b是负数，那么a____b；
即a－b<0 a____b．
>
>
＝
＝
<
<
思考　任意两个实数都能比较大小吗？
[提示]　能．利用作差法比较．
体验　1．设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________．
a>b　[∵a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝＋>0，∴a>b．]
a>b
知识点2　不等式的基本性质
性质1：若a>b，则b性质2：若a>b，b>c，则______；(传递性)
性质3：若a>b，则a＋c>b＋c；(加法保号性)
性质4：若a>b，c>0，则ac>bc；(乘正保号性)
若a>b，c<0，则ac性质5：若a>b，c>d，则____________；(同向可加性)
性质6：若a>b>0，c>d >0，则ac>bd；(全正可乘性)
性质7：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N*)．(拓展)
a>c
a＋c>b＋d
提醒　不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．
(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意每条性质是否具有可逆性．
体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若ac>bc，则a>b． (　　)
(2)若a＋c >b＋d，则a>b，c>d． (　　)
(3)若a>b，则<． (　　)
×
×
×
类型1　利用不等式的性质判断和解不等式
【例1】(1)对于实数a，b，c，给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若aab>b2；
③若a>b，则a2>b2；
④若a．
其中正确命题的序号是________．
关键能力·合作探究释疑难
(2)求解关于x的不等式ax＋1>0(a∈R)．
②④
(1)②④　[对于①，∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；
对于②，aab；ab2，
∴②正确；
对于③，若0>a>b，则a2－2，但<(－2)2，∴③不正确；
对于④，∵a－b>0，
∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2．
又∵ab>0，∴>0，∴a2·>b2·，∴>，④正确．∴正确命题的序号是②④．]
(2)[解]　不等式ax＋1>0(a∈R)两边同时加上－1得ax>－1．
当a＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x∈R；
当a>0时，不等式两边同时除以a得x>－；
当a<0时，不等式两边同时除以a得x<－．
综上，当a＝0时，不等式的解集为R，当a>0时，不等式的解集为，当a<0时，不等式的解集为．
反思领悟　1．判断不等式正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．
[跟进训练]
1．(1)已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＜b2＜c2　　　　 B．ab2＜cb2
C．ac＜bc D．ab＜ac
(2)若关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x<2}，则不等式bx－a>0的
解集为______________．
√
(1)C　(2)　[(1)∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc．故选C．
(2)因为关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x<2}，所以a<0，且x＝2是方程ax＋b＝0的实数根，所以2a＋b＝0，即b＝－2a，由bx－a>0得－2ax－a>0，因为a<0，所以x>－，即不等式bx－a>0的解集为．]
类型2　利用不等式的性质比较代数式的大小
【例2】【链接教材P53例3】
已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1，∴x－1≤0．而3x2＋1>0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0．
∴3x3≤3x2－x＋1．
[母题探究]
1．将本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，
∵3x2＋1>0，
当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1．
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1．
当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1．
2．若本例改为：已知a >0, b >0, 比较与的大小．
[解]　法一(作差法)：＝＝，
因为a >0，b >0，
所以>0，
所以>．
法二(作商法)：因为a >0, b >0，所以与同为正数，
所以＝，所以－1＝>0，即>1，
因为>0，所以>．
法三(综合法)：因为a >0，b >0，所以a＋b>0，
所以(a＋b)＝＝2＋>1，所以>．
【教材原题·P53例3】
例3 比较两数(a2＋1)2与a4＋a2＋1的大小．
解：因为(a2＋1)2－(a4＋a2＋1)
＝a4＋2a2＋1－a4－a2－1＝a2．
当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2＝a4＋a2＋1；
当a≠0时，a2>0，所以(a2＋1)2>a4＋a2＋1．
反思领悟　1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．
2．作商法比较大小的三个步骤
(1)作商变形；
(2)与1比较大小；
(3)得出结论．
提醒：作商法比较大小仅适用于同号的两个数．
3．综合法需要结合具体的式子的特征实施．
[跟进训练]
2．(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
(2)已知a，b∈R，试比较a2－ab与3ab－4b2的大小．
√
(1)A　[∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b．
又b＋c＝6－4a＋3a2，
∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a．故选A．]
(2)[解]　因为a，b∈R，所以(a2－ab)－(3ab－4b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2，
当a＝2b时，a2－ab＝3ab－4b2，
当a≠2b时，a2－ab> 3ab－4b2．
类型3　证明不等式
【例3】若a>b>0，c．
[思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明]　∵c－d>0．
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0．
∴(a－c)2>(b－d)2>0．
两边同乘以，
得<．
又e<0，∴>．
[母题探究]
本例条件不变的情况下，求证： >．
[证明]　∵c－d>0．
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴0<<，
又∵e<0，∴>．
反思领悟　利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
3．已知c>a>b>0，求证：>．
[证明]　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0．
由a>b>0 <，又c>0，∴< <．
又c－a>0，c－b>0，∴>．
类型4　利用不等式求取值范围
【例4】已知1[思路点拨]　欲求a－b的范围，应先求－b的范围，再利用不等式的性质求解．
[解]　∵1∴2<2a<8，6<3b<24，∴8<2a＋3b<32．
∵2又∵1即－7即2a＋3b的取值范围为(8，32)，
a－b的取值范围为(－7，2)．
[母题探究]
1．在本例条件下，求 的取值范围．
[解]　∵2∴<<2，即 的取值范围为．
2．若本例改为：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范围．
[解]　法一：设x＝a＋b，y＝a－b，
则a＝，b＝，∴3a－2b＝x＋y．
∵1≤x≤5，－1≤y≤3，
∴x≤，－y≤，
∴－2≤x＋y≤10．即－2≤3a－2b≤10．
∴3a－2b的取值范围是[－2，10]．
法二：设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
所以解得
即3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
因为1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
所以(a＋b)≤，－(a－b)≤，
所以－2≤(a＋b)＋(a－b)≤10，
即3a－2b的取值范围是[－2，10]．
反思领悟　1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求取值范围，注意变形的等价性．
2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．
[跟进训练]
4．已知－≤α<β≤，求的取值范围．
[解]　∵已知－≤α<β≤，
∴－<，－<，
两式相加得－<<．
∵－<，∴－≤－<．
∴－<，又知α<β，∴<0，
∴－<0．
5．已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围．
[解]　令得
∴9a－c＝y－x，
∵－4≤x≤－1，∴≤－x≤，①
∵－1≤y≤5，∴－ y≤，②
①和②相加，得－1≤y－x≤20，
∴－1≤9a－c≤20．
1．(教材P54习题3.1T4改编)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[对于选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；对于选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；对于选项D，只有a＞b＞0时才成立，否则如a＝－1，b＝0时不成立．故选B．]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
√
C　[∵a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b．]
3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为____________．
(－2，0)　[由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1．所以－2<α－β<2，但α<β，故－2<α－β<0．]
(－2，0)　
4．已知α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是____________．
(－π，2π)　[结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈
(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]
(－π，2π)　
5．已知12(－24，45)　　[∵15∴－36<－b<－15，又12∴12－36即－24∵<<，∴<<，
∴<<4．]
(－24，45)
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？
[提示]　大于(等于)、小于(等于)、等于．作差法、作商法．
2．作差法比较大小的具体步骤有哪些？
[提示]　作差、变形、定号．
3．不等式的证明有哪些方法？
[提示]　可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
14
15
一、选择题
1．设M＝x2＋6x，N＝5x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M课时分层作业(九)　不等式的基本性质
A　[因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N．故选A．]
题号
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√
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2．已知a＞b，则“c≥0”是“ac＞bc”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
B　[当时，ac＞bc不成立，所以充分性不成立；当时，c＞0成立，c≥0也成立，所以必要性成立．所以“c≥0”是“ac＞bc”的必要不充分条件．故选B．]
题号
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3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
√
题号
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B　[因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0．两边同乘－1，得＜．故选B．]
√
4．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了．根据这个事实提炼一个不等式为(　　)
A．< B．>
C．< D．>
题号
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B　[变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，加糖之前糖水的浓度为，加糖之后糖水的浓度为，故>．]
√
5．(多选题)若a＜b＜0，则下列不等式中可能成立的是(　　)
A．＜ B．＞
C．|a|＞－b D．＞
题号
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√
√
BCD　[因为a＜b＜0，所以＝＞0，＞，A不正确；－a＞－b＞0，＞，B正确；|a|＞|b|＝－b，C正确；当a＝－3，b＝－1时，＝－＝－1，＞，此时D成立．]
二、填空题
6．若x>1，－1题号
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y<－y<－xy1，－1所以0<－y所以－y<－xy，因为x－(－xy)＝x(1＋y)>0，
所以－xyy<－y<－xy7．若x∈R，则与的大小关系为____________．
题号
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　[因为＝＝≤0，所以．]
8．已知1<α<3，－4<β<3．则α＋β的取值范围为________，α－β的取值范围为___________．
题号
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(－3，6)　　[∵1<α<3，∴<α<．又－4<β<3，∴－3<－β<4，∴－3<α＋β<6．∴－3＋<α－β<4＋，即－<α－β<．]
(－3，6)
三、解答题
9．已知a>0，试比较a与的大小．
题号
2
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[解]　a－＝＝．
因为a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；
当0题号
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10．若a>0，b>0，求证：≥a＋b．
题号
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[证明]　－a－b＝(a－b)＝，
因为(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以≥0，所以≥a＋b．
√
11．(多选题)给出四个选项能推出<的有(　　)
A．b>0>a B．0>a>b
C．a>0>b D．a>b>0
题号
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15
√
√
ABD　[< <0 ab(a－b)>0，
对于A，ab<0，a－b<0，ab(a－b)>0成立，
对于B，ab>0，a－b>0，ab(a－b)>0成立，
对于C，ab<0，a－b>0，ab(a－b)<0，不成立，
对于D，ab>0，a－b>0，ab(a－b)>0成立．
故选ABD．]
题号
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12．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(　　)
A．甲 B．乙
C．同时到达 D．无法判断
√
题号
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B　[设路程为2s，步行速度为v1，跑步速度为v2(v1＝＝s·，
因为v10，故乙先到教室．]
题号
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13．若x>y，a>b，则①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>这五个式子中正确的是________．(填序号)
题号
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②④　[令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b．∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；
②④
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．]
题号
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14．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________；w＝x＋2y的取值范围是______________．
题号
2
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15
[3，8]　[－3，5]　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴3≤z≤8．
[3，8]
[－3，5]
∵w＝x＋2y＝(x＋y)－(x－y)，
－(x＋y)≤6，
－≤－(x－y)≤－1，
∴－3≤(x＋y)－(x－y)≤5，
∴－3≤w≤5．]
题号
2
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15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：
(1)该函数图象过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；
求当x＝－2时，y的取值范围．
题号
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[解]　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，
∴c＝0，
∴y＝ax2＋bx．
又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2．①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
∴当x＝－2时，y＝4a－2b．
设存在实数m，n，使得
4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
题号
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而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∴解得m＝1，n＝3，
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6．
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是[6，10]．
题号
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谢 谢！