【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 函数的表示方法 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共82张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　
函数概念与性质
5.2　函数的表示方法
学习任务 核心素养
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点) 2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 1．通过函数表示的图象法，培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法，培养数学运算素养．
观察教材第5.1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　函数的表示方法
思考　1．函数三种表示法的优缺点是什么？
[提示]　
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示． (　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示． (　　)
(3)函数f (x)＝2x＋1不能用列表法表示． (　　)
(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线． (　　)
×
×
√
×
知识点2　分段函数
(1)在定义域内__________上，有不同的____________．像这样的函数，通常叫作分段函数．
(2)分段函数定义域是各段定义域的____集，其值域是各段值域的____集．
(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的________的图象．分段函数是______函数，因此应在______坐标系中画出各段函数图象．
不同部分
解析表达式
并
并
解析式
一个
同一
思考　2．分段函数是几个函数构成的吗？
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
体验　2．若函数f (x)＝则f (x)的定义域为______，值域为_____________．
{x|x≠0}　(－1，＋∞)　[定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}．
当x>0时，f (x)>0；当x<0时，f (x)>－1，所以值域为(－1，＋∞)．]
{x|x≠0}
(－1，＋∞)
类型1　求函数解析式
【例1】求下列函数的解析式．
(1)已知f (x)为一次函数，f (2x＋1)＋f (2x－1)＝－4x＋6，求f (x)；
(2)已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)；
(3)已知f (x)为一次函数，且f ( f (x))＝4x－1，求f (x)；
(4)若f (x)＋2f (－x)＝，求f (x)．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
f (2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，
f (2x－1)＝a(2x－1)＋b，
f (2x＋1)＋f (2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，
所以解得
即函数f (x)的解析式为f (x)＝－x＋3．
(2)令＋1＝t(t≥1)，
则＝t－1，x＝(t－1)2，
所以f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f (x)＝x2－1(x≥1)．
(3)设所求函数f (x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f ( f (x))＝f (kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则
解得或
所以f (x)＝2x－或f (x)＝－2x＋1．
(4)因为f (x)＋2f (－x)＝， ①
用－x替换x得f (－x)＋2f (x)＝－， ②
②×2－①得3f (x)＝－＝－，
所以f (x)＝－．
反思领悟　求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：已知函数f (x)的函数类型，求f (x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．
(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f (t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f (x)，一定要注意t的范围即为f (x)中x的范围．
(3)配凑法：已知f (g(x))的解析式，要求f (x)时，可从f (g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(4)代入法：已知y＝f (x)的解析式求y＝f (g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f (x)中的x．
(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数( f (－x)，f (x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．
[跟进训练]
1．(1)已知f (x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，求f (x)；
(2)若f ＝，求f (x)；
(3)已知2f (x)＋f ＝3x，求f (x)．
[解]　(1)设f (x)＝k1x＋，
则解得
∴f (x)＝x＋．
(2)令t＝(t≠1)，则x＝，
∴f (t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f (x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(3)∵2f (x)＋f ＝3x，
用替换x得2f ＋f (x)＝．
消去f 得3f (x)＝6x－，
∴f (x)＝2x－．
类型2　分段函数的求值问题
【例2】　【链接教材P113例2】
已知函数f (x)＝
试求f (－5)，f (－)，f 的值．
[解]　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2．
因为f ＝－＋1＝－，
又－2<－<2，
所以f ＝f ＝＋2×＝－3＝－．
[母题探究]
1．(变结论)本例条件不变，若f (a)＝3，求实数a的值．
[解]　①当a≤－2时，f (a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即a2＋2a－3＝0．
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3．
因为1∈(－2，2)，－3 (－2，2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f (a)＝3时，a＝1或a＝2．
2．(变结论)本例条件不变，若f (x)>3，求x的取值范围．
[解]　①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，
又x≤－2，所以x∈ ．
②当－23得x>1或x<－3，
又－2③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，
又x≥2，所以x>2．
综上，x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞)．
【教材原题·P113例2】
例2 画出函数f (x)＝|x|的图象，并求f (－3)，f (3)，f (－1)，f (1)的值．
解：因为
f (x)＝|x|＝
所以函数f (x)的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线，如图5-2-2所示．其中，
f (－3)＝3，f (3)＝3，f (－1)＝1，f (1)＝1．
反思领悟　1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
[跟进训练]
2．已知f (x)＝
(1)求f (2)，f ；
(2)若f (x)＝，求x的值；
(3)若f (x)≥，求x的取值范围．
[解]　(1)f (2)＝1，f ＝＝，
∴f ＝f ＝．
(2)f (x)＝等价于①
或②
解①得x＝±，②的解集为 ．
∴当f (x)＝时，x＝±．
(3)∵f (x)≥，
∴或
解得x≥或x≤－，
∴x的取值范围是．
类型3　分段函数的图象及应用
【例3】已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{ f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
[解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①．
①　　　　　　　　　②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．
令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1．
结合图②，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
反思领悟　分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝则函数f (x)的图象是
(　　)
A　　　 　B　　　　C　　　　　D
√
(2)已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式是
__________________________．
f (x)＝
(1)A　(2)f (x)＝　[(1)当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1，0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0，1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1，2)，B错．故选A．
(2)由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
则∴∴f (x)＝x＋1．
当0≤x≤1时，设f (x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则k＝－1，∴f (x)＝－x．
即f (x)＝]
类型4　分段函数的实际应用
【例4】【链接教材P114例3】
如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，
所以AD＝GH＝3 cm．
(1)当点F在BG上，
即x∈[0，2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，
y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10．
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
【教材原题·P114例3】
例3 某市出租汽车收费标准如下：在3 km以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km的路程按2.4 元/km收费．试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式．
解：设路程为x km时，收费额为y元，则由题意得：当x≤3时，y＝9；当x>3时，按2.4元/km所收费用为2.4×(x－3)，那么有y＝9＋2.4×(x－3)．
于是，收费额关于路程的函数解析式为
y＝
即y＝
反思领悟　分段函数图象的画法
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)用分段函数解决实际问题时要注意两点
①确定好分段的标准，正确的写出分段函数的表达式；
②考虑自变量的实际意义，注意自变量的取值范围．
[跟进训练]
4．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(单位：公里)关于时间t(单位：小时)的函数关系，并画出函数图象．
[解]　(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，
则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150．
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，
则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，
从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝
函数图象如图所示．
1．(多选题)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
学习效果·课堂评估夯基础
√
√
AD　[B中当x＝2时，f (2)＝3或f (2)＝4，不是函数．对于C取x＝1，f (1)＝5或f (1)＝1，故BC不是分段函数．]
2．某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一(1)班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒．在比赛中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v(单位：m/s)关于跑步时间t(单位：s)的函数图象最可能的是(　　)
√
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
C　[甲在接棒前要进行助跑，接棒后要进行快跑加速，达到最大速度后需要保持匀速到送出棒，之后减速直到送出棒给下一位同学．
所以，函数图象先上升，再水平，最后下降．
故选C．]
3．已知函数f (3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f (10)＝______．
20　[令3x＋1＝10，x＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20．]
20　
4．(教材P115习题5.2T7改编)设f (x)＝则f ( f (0))等于________．
2　[ f (0)＝1，f ( f (0))＝f (1)＝1＋1＝2．]
2　
5．已知函数f (x＋1)＝3x＋2，则f (x)的解析式为________________，
f (2 024)＝________．
f (x)＝3x－1　6 071　[令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f (x)＝3x－1，∴f (2 024)＝2 024×3－1＝6 071．]
f (x)＝3x－1
6 071
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求函数解析式主要有哪些方法？
[提示]　代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消去法)、配凑法．
2．作分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示]　根据不同的定义域选择不同的函数作图象注意衔接点的虚实．
3．分段函数模型的应用关键是什么？
[提示]　确定分段的各分界点即明确自变量的取值区间．在每一区间内分类讨论写出相应的函数解析式．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．设f (x)＝则f ( f (－2))＝(　　)
A．－1 B．
C． D．
课时分层作业(二十)　函数的表示方法
C　[因为－2<0，所以f (－2)＝2-2＝>0，
所以f ( f (－2))＝f ＝1－＝1－＝．]
题号
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√
14
15
2．已知函数f (x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ＝
(　　)
A． B．
C．－ D．
B　[由图象知，当－1＜x＜0时，f (x)＝x＋1，
当0＜x＜1时，f (x)＝x－1，
∴f (x)＝
∴f ＝－1＝－，
∴f ＝f ＝－＋1＝．]
题号
2
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3．如果f ＝，则当x≠0，1时，f (x)等于(　　)
A． B．
C． D．－1
√
题号
2
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B　[令＝t，则x＝，代入f ＝，
则有f (t)＝＝，
故f (x)＝．故选B．]
题号
2
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√
4．设f (x)＝若f (x)＝3，则x等于(　　)
A．1 B．±
C． D．
题号
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D　[若即无解．
若即所以x＝．
若即无解．
故x＝．]
题号
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√
5．设函数f (x)＝若f ＝4，则b＝(　　)
A．1 B．
C． D．
题号
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D　[ f ＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则＝4，解得b＝．]
题号
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二、填空题
6．设函数f ＝x，则f (x)＝______________．
题号
2
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(x≠－1)　[设t＝(t≠－1)，∴x＝，
∴f (t)＝(t≠－1)，
∴f (x)＝(x≠－1)．]
(x≠－1)
7．已知函数y＝使函数值为5的x的值是________．
题号
2
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15
－2　[若x2＋1＝5，则x2＝4，
又∵x≤0，∴x＝－2；
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故答案为－2．]
－2　
8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(单位：kg)与其运费y(单位：元)由如图的一次函数图象确定，则函数解析式为______________，乘客可免费携带行李的最大重量为________kg．
题号
2
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y＝30x－570
19　
y＝30x－570　19　[设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30，330)与点(40，630)得解得即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19．]
题号
2
1
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4
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三、解答题
9．已知二次函数f (x)满足f (0)＝0，且对任意x∈R总有f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，求f (x)．
题号
2
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[解]　设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f (0)＝c＝0，
∴f (x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f (x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1．
∴∴
∴f (x)＝x2＋x．
题号
2
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10．设f (x)＝
(1)在下列直角坐标系中画出f (x)的图象；
(2)若f (t)＝3，求t的值．
题号
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[解]　(1)如图．
(2)由函数的图象可得：f (t)＝3即t2＝3且－1＜t＜2，∴t＝．
题号
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√
11．(多选题)下列函数中，满足f (2x)＝2f (x)的是(　　)
A．f (x)＝|2x| B．f (x)＝x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x－|x|
题号
2
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11
12
13
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15
√
√
ABD　[f (x)＝|2x|，f (2x)＝4|x|，2f (x)＝4|x|，A正确．f (x)＝x，满足
f (2x)＝2f (x)，B正确．f (x)＝，f (2x)＝，2f (x)＝2不满足
f (2x)＝2f (x)，故C不正确．f (x)＝x－|x|，f (2x)＝2x－2|x|，2f (x)＝2x－2|x|，所以D正确．]
题号
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12．如图，函数f (x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f ( f ( f (2)))＝(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
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B　[由题意可知f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2，
因此，有f ( f ( f (2)))＝f ( f (0))＝f (4)＝2．]
13．已知f (x)满足f (x)＋3f (－x)＝x2－3x，则f (x)＝________．
题号
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1
3
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x　[用－x替换原式中的x得f (－x)＋3f (x)＝x2＋3x，联立f (x)＋3f (－x)＝x2－3x，
消去f (－x)得f (x)＝x．]
x　
14．已知a，b为常数，若f (x)＝x2＋4x＋3，f (ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________，f (a－b)＝____________．
题号
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1
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2　－1或63　[∵f (x)＝x2＋4x＋3，
∴f (ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，
∴
2　
－1或63　
∴或
∴5a－b＝2，a－b＝－2或6．
当a－b＝－2时，
f (a－b)＝(－2)2＋4×(－2)＋3＝－1，
当a－b＝6时，f (6)＝62＋4×6＋3＝63．]
题号
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15．某公司规定：职工入职第一年的工资为2 000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144 000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y(元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．
题号
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[解]　由题意，前3年的月工资分别为2 000元，4 000元，8 000元，第4年和第5年的月工资平均为：＝12 000．当年份序号为x时，月工资为y元，则用列表法表示为：
题号
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年份序号x/年 1 2 3 4 5
月工资y/元 2 000 4 000 8 000 12 000 12 000
图象法表示为：
其解析式为：
f (x)＝
由题意，该函数的定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{2 000，4 000，8 000，12 000}．
题号
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谢 谢！