【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 第1课时 函数的单调性 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共58张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　
函数概念与性质
第1课时　函数的单调性
5.3　函数的单调性
学习任务 核心素养
1．理解并掌握增(减)函数的定义及其几何意义．(重点) 2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点) 3．会求函数的单调区间．(重点、难点) 1．借助单调性的证明，提升逻辑推理素养．
2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了
系统的实验研究，并给出了类似右
图所示的记忆规律．
必备知识·情境导学探新知
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f (x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
知识点1　增(减)函数的概念
设函数y＝f (x)的定义域为A，区间I A．
如果对于区间I内的______两个值x1，x2．当x1(1)__________________
①称y＝f (x)在区间I上单调递增．
②I称为y＝f (x)的增区间．
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，称f (x)是增函数．
任意
f (x1)(2)__________________
①称y＝f (x)在区间I上单调递减．
②I称为y＝f (x)的减区间．
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，称f (x)是减函数．
f (x1)>f (x2)
思考　1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
[提示]　定义中的x1，x2有以下3个特征．
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉．证明时不能以特殊代替一般．
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． (　　)
(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈I”可以改为“存在x1，x2∈I”． (　　)
(3)若函数f (x)在实数集R上是减函数，则f (0)＞f (1)． (　　)
×
×
√
知识点2　函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f (x)在区间I上具有________，增区间和减区间统称为__________．
思考　2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
单调性
单调区间
[提示]　不是，y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上也单调递减．但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．
体验　2．函数f (x)的图象如图所示，则函数的增区间是________．
[－1，2]　[在区间[－1，2]上，函数f (x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1，2]上，f (x)随着x的增大而增大，∴[－1，2]为f (x)的增区间．]
[－1，2]
类型1　利用函数图象求单调区间
【例1】【链接教材P118例1】
作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；
(2)y＝－；
(3)f (x)＝
关键能力·合作探究释疑难
[解]　三个函数图象如图(1)(2)(3)．
(1)y＝x2－4的减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)．
(2)y＝－的增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无减区间．
(3)f (x)的增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，减区间为[0，2]．
(1)　　　　　　(2)　　　　　　(3)
【教材原题·P118例1】
例1 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1)y＝－x2＋2；
(2)y＝(x≠0)．
解：(1)函数图象如图5-3-3(1)，增区间为(－∞，0]，减区间为[0，
＋∞)．
(2)函数图象如图5-3-3(2)，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个减区间．
反思领悟　应用图象确定单调性的关键
应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的增区间或减区间．但应注意端点是否在定义域内．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
[跟进训练]
1．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
(1)f (x)＝－；
(2)f (x)＝
(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．
[解]　(1)函数f (x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增．
(2)f (x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f (x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f (x)的单调区间为
(－∞，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，＋∞)．
f (x)在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增，在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减．
类型2　函数单调性的判定与证明
【例2】【链接教材P118例2】
证明函数f (x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
[证明]　设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1∵0∴x1－x2<0，0∴>0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
【教材原题·P118例2】
例2 证明：函数f (x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
证明：设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1则x1－x2<0，x1x2>0．
因为f (x1)－f (x2)＝＝＝，
所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)故f (x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增．
反思领悟　利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号．
(4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
[跟进训练]
2．用定义证明函数f (x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
[证明]　设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则
f (x1)－f (x2)＝＝．
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴＞0，即f (x1)＞f (x2)，
∴f (x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
类型3　函数单调性的应用
【例3】已知函数f (x)是定义在[－2，2]上的增函数，且f (x－2)　[∵f (x)是定义在[－2，2]上的增函数，且f (x－2)∴x－2<1－x，∴x<．
又f (x)的定义域为[－2，2]，
　
∴∴
∴0≤x≤3．
综上，0≤x<．]
反思领悟　1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f (x)在给定区间上单调递增，则当x1x2时，f (x1)>f (x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f (x)在给定区间上单调递增，则当f (x1)f (x2)时，x1>x2．当y＝f (x)在给定区间上单调递减时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
[跟进训练]
3．若函数y＝f (x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)　[因为y＝f (x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)，所以所求a的取值范围是．]
1．函数y＝f (x)的图象如图所示，其增区间是(　　)
A．[－4，4]
B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1]
D．[－3，4]
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[由题图可知，函数y＝f (x)的增区间为[－3，1]，故选C．]
2．(多选题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝1－x
√
ABC　[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上均单调递增．]
√
√
3．(教材P122习题5.3T4改编)函数f (x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f (3)C．f (3)>f (5) D．f (3)≥f (5)
√
C　[因为函数f (x)在R上是减函数，3<5，所以f (3)>f (5)．]
4．若函数f (x)＝x2＋2(a－2)x＋2的增区间为[3，＋∞)，则a的值是________．
－1　[∵f (x)＝x2＋2(a－2)x＋2的增区间为[2－a，＋∞)，∴2－a＝3，∴a＝－1．]
－1
5．已知函数f (x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f (x)<
f 的实数x的取值范围为_____________．
　[由题设得解得－1≤x<．]
　
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．若函数f (x)是其定义域上的增函数，且f (a)>f (b)，则a，b满足什么关系．如果函数f (x)是减函数呢？
[提示]　若函数f (x)是其定义域上的增函数，那么当f (a)>f (b)时，a>b；若函数f (x)是其定义域上的减函数，那么当f (a)>f (b)时，a2．决定二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调性的因素有哪些？
[提示]　开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小．
3．怎样证明函数的单调性？
[提示]　取值、作差、变形、定号、结论．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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一、选择题
1．(多选题)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f (x)，则下列关于函数f (x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上不具有单调性
课时分层作业(二十一)　函数的单调性
√
√
ABD　[由题图可知，f (x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选ABD．]
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2．若函数f (x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有(　　)
A．a≥ B．a≤
C．a> D．a<
D　[函数f (x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则2a－1<0，即a<．故选D．]
3．下列函数中，在(0，2)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝2x－1
C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2
√
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B　[对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；对于B，y＝2x－1在R上是增函数；对于C，y＝1－2x在R上是减函数；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B．]
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√
4．定义在R上的函数f (x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有(　　)
A．函数f (x)先增后减
B．函数f (x)先减后增
C．函数f (x)是R上的增函数
D．函数f (x)是R上的减函数
题号
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C　[由＞0知，当a＞b时，f (a)＞f (b)；当a＜b时，f (a)＜
f (b)，所以函数f (x)是R上的增函数．]
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√
5．已知f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减，那么f (a2－a＋1)与f 的大小关系是(　　)
A．f (a2－a＋1)>f B．f (a2－a＋1)≤f
C．f (a2－a＋1)≥f D．f (a2－a＋1)题号
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B　[由题意知a2－a＋1＝＋．
∵f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f (a2－a＋1)≤f ．故选B．]
题号
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二、填空题
6．如果二次函数f (x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，则实数a的取值范围为____________．
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(－∞，2]　[∵函数f (x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为x＝且在区间上单调递增，∴，即a≤2．]
(－∞，2]
7．已知函数f (x)＝则f (x)的减区间是____________，值域为____________．
题号
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(－∞，1)　[3，＋∞)　[当x≥1时，f (x)单调递增，当x<1时，f (x)单调递减，所以f (x)的减区间为(－∞，1)．
函数f (x)的图象如图所示，值域为[3，＋∞)．]
(－∞，1)
[3，＋∞)
8．已知f (x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f (x－3)＜f (2－x)，则x的取值范围是_____________．
题号
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　[由题意，得
解得2≤x＜，故满足条件的x的取值范围是2≤x＜．]
　
三、解答题
9．已知函数f (x)＝．
(1)求f (x)的定义域；
(2)证明：函数f (x)＝在[1，＋∞)上单调递增．
题号
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[解]　(1)由题意知x＋1≠0，即x≠－1．
∴f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f (x)＝＝2－，
∴f (x2)－f (x1)＝＝．
∵x10．
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，∴x2＋1>0，x1＋1>0．
∴f (x2)－f (x1)>0，∴f (x2)>f (x1)．
∴函数f (x)＝在[1，＋∞)上单调递增．
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10．作出函数f (x)＝的图象，并指出函数f (x)的单调区间．
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[解]　原函数可化为
f (x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
图象如图所示．
由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中减区间为(－∞，－3]，增区间为[3，＋∞)．
√
11．(多选题)已知f (x)为R上的减函数，则满足f A．－ B．
C．－1 D．1
题号
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AB　[由函数f (x)是减函数且f 1．解得－1√
12．(多选题)已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上具有单调性，则y＝2ax＋b的图象可能是(　　)
√
题号
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A　　　　B　　　 　C　　　 　D
√
√
ACD　[函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上具有单调性，
①当a＝0，b≠0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a＞0时，
－≥0 b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；
③当a＜0时，－≥0 b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D．
故y＝2ax＋b的图象可能是ACD．]
题号
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13．已知函数f (x)＝若f (x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
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[4，8)　[因为f (x)是R上的增函数，
所以解得4≤a<8．]
[4，8)
14．函数f (x)＝2x2－3|x|的减区间是__________________．
题号
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　[函数f (x)＝2x2－3|x|＝图象如图所示，f (x)的减区间为．]
15．讨论函数f (x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
题号
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[解]　f (x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f (x1)－f (x2)＝＝(1－2a)，
∵－2∴x2－x1>0，且(x2＋2)(x1＋2)>0．
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
则f (x)在(－2，＋∞)上单调递减．
(2)若a>，则1－2a<0．
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)故f (x)在(－2，＋∞)上单调递增．
综上，当a<时，f (x)在(－2，＋∞)上单调递减；
当a>时，f (x)在(－2，＋∞)上单调递增．
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