【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.3 第2课时 函数的最大值、最小值 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共65张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　
函数概念与性质
第2课时　函数的最大值、最小值
5.3　函数的单调性
学习任务 核心素养
1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点) 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点) 1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．
2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
如图，我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温，它表示在0～24时之间，气温于14时达到最大值；从图象上看出，图象在这一点的位置最高．
必备知识·情境导学探新知
从图中可以看出：对于任意的t∈[0，24]，θ(t)与θ(14)具有怎样的关系？
知识点　函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值
一般地，设y＝f (x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________________，那么称f (x0)为y＝f (x)的最大值，记为_______________．
(2)函数的最小值
一般地，设y＝f (x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________________，那么称f (x0)为y＝f (x)的最小值，记为_______________．
f (x)≤f (x0)
ymax＝f (x0)
f (x)≥f (x0)
ymin＝f (x0)
思考　函数的最值与值域是一回事吗？
[提示]　不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．
体验　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)＝－x2≤1总成立，故f (x)的最大值为1． (　　)
(2)若函数f (x)在定义域内存在无数个x使得f (x)≤M成立，则f (x)的最大值为M． (　　)
(3)函数f (x)＝x的最大值为＋∞． (　　)
(4)函数f (x)在[a，b]上的最值一定是f (a)(或f (b))． (　　)
×
×
×
×
类型1　利用图象求函数的最值
【例1】【链接教材P119例3】
已知函数f (x)＝求f (x)的最大值、最小值．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　作出函数f (x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，
f (x)取最大值为f (1)＝f (－1)＝1．
当x＝0时，f (x)取最小值为f (0)＝0，
故f (x)的最大值为1，最小值为0．
【教材原题·P119例3】
例3 图5-3-4为函数y＝f (x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2)．
因此，当x＝3时，函数y＝f (x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f (x)取得最小值，即ymin＝－2．
函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；减区间为[－4，－1.5]，[3，5]，[6，7]．
反思领悟　图象法求函数最值的一般步骤
[跟进训练]
1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
[解]　y＝－|x－1|＋2＝
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
类型2　利用单调性求函数的最值
【例2】已知函数f (x)＝．
(1)用函数单调性定义证明f (x)＝在(1，＋∞)上单调递减；
(2)求函数f (x)＝在区间[3，4]上的最大值与最小值．
[解]　(1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1则f (x1)－f (x2)＝＝，
因为1所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)．
故函数f (x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由上述(1)可知，函数f (x)＝在[3，4]上单调递减，
所以在x＝3时，函数f (x)＝取得最大值；
在x＝4时，函数f (x)＝取得最小值．
[母题探究]
(变条件)求函数f (x)＝在[－4，－3]上的最值．
[解]　任取x1，x2∈[－4，－3]且x1则f (x1)－f (x2)＝＝．
∵x1，x2∈[－4，－3]，
∴x1－1<0，x2－1<0．
又x1∴x2－x1>0，
∴f (x1)－f (x2)>0，
∴f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在[－4，－3]上单调递减，
∴f (x)max＝f (－4)＝，
f (x)min＝f (－3)＝，
∴f (x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为．
反思领悟　函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f (x)在[a，b]上的最大值为
f (a)，最小值为f (b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f (x)在[a，b]上的最大值为
f (b)，最小值为f (a)；
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝．
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：任取－1因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增，
所以f (x)的最小值为f (2)＝＝，
最大值f (4)＝＝．
类型3　二次函数的最值
【例3】求二次函数f (x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值．
[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f (x)在[2，4]上单调递增，
∴f (x)min＝f (2)＝6－4a．
当a>4时，f (x)在[2，4]上单调递减，
∴f (x)min＝f (4)＝18－8a．
当2≤a≤4时，f (x)min＝f (a)＝2－a2．
∴f (x)min＝
[母题探究]
1．在本例条件下，求f (x)的最大值．
[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a≤3时，f (x)max＝f (4)＝18－8a，
当a>3时，f (x)max＝f (2)＝6－4a．
∴f (x)max＝
2．在本例条件下，若f (x)的最小值为2，求a的值．
[解]　由本例解析知
f (x)min＝
当a<2时，6－4a＝2，a＝1；
当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
当a>4时，18－8a＝2，a＝2(舍去)．
∴a的值为1．
反思领悟　求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论．
[跟进训练]
3．已知函数f (x)＝x2－ax＋1．
(1)求f (x)在[0，1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f (x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值g(t)．
[解]　(1)因为函数f (x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0，1]上的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当，即a≤1时，f (x)的最大值为f (1)＝2－a；
当>，即a>1时，f (x)的最大值为f (0)＝1．
(2)当a＝1时，f (x)＝x2－x＋1，
其图象的对称轴为x＝．
①当t≥时，f (x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以f (x)min＝f (t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f (x)在[t，t＋1]上单调递减，
所以f (x)min＝f (t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f (x)min＝f ＝．
综上，g(t)＝
1．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是
(　　)
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，
当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10．故选B．]
2．(教材P122习题5.3T3改编)函数f (x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　)
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值
D．3，－2
√
C　[观察题中图象可知，图象的最高点坐标是(0，3)，从而函数f (x)的最大值是3；图象无最低点，即函数f (x)不存在最小值．故选C．]
3．(多选题)已知函数f (x)＝有最小值，则实数a的值可能为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
√
√
√
BCD　[由题意知，当x>0时，函数f (x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x<0时，f (x)＝x2＋a>a，因此要使f (x)有最小值，则必须有a≥4，即实数a的最小值为4．]
4．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是______．
　[∵函数y＝－x＋1在区间上单调递减，
∴f (x)max＝f ＝－＋1＝．]
　
5．已知函数f (x)＝则f (x)的最大值为________，减区间为___________．
2　[－1，0]　[ f (x)的图象如图，
则f (x)的最大值为f (2)＝2．
减区间为[－1，0]．]
2
[－1，0]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样理解函数的最值？
[提示]　①存在．
②在给定区间上所有函数值中最大(小)．
③在函数图象上有最高或最低点．
2．求函数的最值有哪些常用方法？
[提示]　图象法、单调性法，对于二次函数还可用配方法．
3．本节内容渗透了哪些数学思想？
[提示]　数形结合思想，分类讨论思想．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
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2
4
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13
√
14
15
一、选择题
1．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2 B．
C． D．－
课时分层作业(二十二)　函数的最大值、最小值
B　[∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝．]
题号
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√
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2．函数f (x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为(　　)
A．[－6，－2] B．[－11，－2]
C．[－11，－6] D．[－11，－1]
B　[函数f (x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，
所以当x＝2时，f (x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；
当x＝5时，f (x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，
所以函数f (x)的值域是[－11，－2]．故选B．]
3．(多选题)若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可能是(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．1
√
题号
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√
AC　[当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2．
当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2．
综上a＝±2．]
√
4．若函数f (x)＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．10 B．10或20
C．20 D．无法确定
题号
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C　[当k＝0时，不满足题意．
当k>0时，y＝f (x)＝在[2，4]上单调递减，
∴f (x)min＝f (4)＝＝5，
∴k＝20满足条件．
k<0时，y＝f (x)＝在[2，4]上单调递增，
f (x)min＝f (2)＝＝5，∴k＝10，
又∵k<0，∴k＝10舍去．综上有k＝20．]
题号
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√
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．a≥0
C．a<0 D．a≤0
题号
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C　[令f (x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝＋1，图象如图，
∴f (x)的最小值为f (0)＝f (2)＝0．
而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0．]
题号
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二、填空题
6．函数f (x)＝|x－2|－2在区间[0，3]上的最小值为________，最大值为________．
题号
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－2　0　[ f (x)＝图象如图．
由图可知，x＝2时，f (x)min＝－2；
x＝0时，f (x)max＝f (0)＝0．]
－2
0
7．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{x＋1，3－x}(x∈R)的最小值是________．
题号
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2　[画出函数f (x)的图象(图略)，故f (x)的最小值为2．]
2　
8．函数f (x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．
题号
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[2，4]　[ f (x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]，
由最小值为1知m≥2．
由最大值为5知f (0)＝5，f (4)＝5．
所以2≤m≤4．]
[2，4]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝2ax＋(a∈R)．
(1)当a＝时，试判断f (x)在(0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；
(2)对于任意的x∈(0，1]，使得f (x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．
题号
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[解]　(1)∵a＝，∴f (x)＝x＋，
取任意的x1，x2，且0f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)．(*)
∵0得(*)式大于0，即f (x1)－f (x2)>0，
∴f (x)在(0，1]上单调递减．
(2)由f (x)≥6在(0，1]上恒成立，得2ax＋≥6 恒成立，
即2a≥6·∈[1，＋∞) ＝9 2a≥9，即a≥．
题号
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10．已知函数f (x)＝x2－2x＋2．
(1)当x∈[0，4]时，求f (x)的最值；
(2)当x∈[2，3]时，求f (x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f (x)的最小值g(t)．
题号
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[解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1．
(1)∵图象的对称轴x＝1∈[0，4]，
∴当x＝1时，f (x)有最小值，
f (x)min＝f (1)＝1．
∵f (0)＝2∴当x＝4时，f (x)有最大值，
f (x)max＝f (4)＝10．
题号
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(2)∵1 [2，3]，且1<2，
∴f (x)在[2，3]上单调递增，
∴当x＝2时，f (x)min＝f (2)＝2，
当x＝3时，f (x)max＝f (3)＝5．
(3)f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1，1)，
当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上单调递减，
g(t)＝f (t＋1)＝t2＋1；
题号
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当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f (1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上单调递增，
g(t)＝f (t)＝t2－2t＋2．
∴g(t)＝
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√
11．函数f (x)＝ax＋(2－x)，其中a＞0，记f (x)在区间[0，2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为(　　)
A． B．0
C．1 D．2
题号
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D　[ f (x)＝ax＋(2－x)＝x＋．
①当a＞1时，a＞，f (x)是增函数，
f (x)在区间[0，2]上的最小值为f (0)＝，
∴g(a)＝∈(0，2)；
②当a＝1时，f (x)＝2，∴g(a)＝2；
题号
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③当0＜a＜1时，a－＜0，f (x)是减函数，
f (x)在区间[0，2]上的最小值为f (2)＝2a，
∴g(a)＝2a∈(0，2)．
∴g(a)＝由此g(a)的最大值为2．
故选D．]
题号
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12．(多选题)已知函数f (x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值可能是(　　)
A．30 B．40
C．80 D．180
√
题号
2
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√
√
ABD　[由于二次函数f (x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上是单调函数．二次函数f (x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160．]
题号
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13．函数g(x)＝2x＋的最小值为________，f (x)＝2x－的值域为______________．
题号
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－2　　[g(x)＝2x＋在[－1，＋∞)上为增函数，所以g(x)min＝g(－1)＝－2．设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝2－(t≥0)，
∴当t＝时，ymin＝－．
∴f (x)的值域为．]
－2
　
14．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝若f (x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min( f (x)，g(x))的最大值为________．
题号
2
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3
3　[ f (x)－g(x)＝4－x2－3x，
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f (x)≥g(x)．
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4时，f (x)＜g(x)，
题号
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所以min( f (x)，g(x))＝
作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A处取得，最大值为f (1)＝3．]
题号
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15．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)满足f ＝f (x1)－f (x2)，且当x>1时，f (x)<0．
(1)求f (1)的值；
(2)证明：f (x)为减函数；
(3)若f (3)＝－1，求f (x)在[2，9]上的最小值．
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[解]　(1)令x1＝x2>0，
代入得f (1)＝f (x1)－f (x1)＝0，故f (1)＝0．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
∵当x>1时，f (x)<0，∴f <0，
即f (x1)－f (x2)<0，因此f (x1)∴函数f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
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(3)∵f (x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f (x)在[2，9]上的最小值为f (9)．
由f ＝f (x1)－f (x2)，得f ＝f (9)－f (3)，
而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2．
∴f (x)在[2，9]上的最小值为－2．
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谢 谢！