【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.4 函数的奇偶性 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共71张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第5章　
函数概念与性质
5.4　函数的奇偶性
学习任务 核心素养
1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征． 2．会判断函数的奇偶性．(重点) 3．掌握函数奇偶性的运用．(难点) 1．借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．
2．借助函数奇、偶性的判断方法，培养逻辑推理素养．
日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑……列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　奇函数与偶函数的概念
(1)偶函数
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，如果对于______的x∈A，都有－x∈A，并且________________，那么称函数y＝f (x)是偶函数．
(2)奇函数
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且__________________，那么称函数y＝f (x)是奇函数．
如果函数f (x)是________或________，我们就说函数f (x)具有奇偶性．
任意
f (－x)＝f (x)
f (－x)＝－f (x)
奇函数
偶函数
思考　具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示]　定义域关于原点对称．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)＝x的图象关于原点对称． (　　)
(2)偶函数的图象一定与y轴相交． (　　)
(3)若函数f (x)有f (－1)＝f (1)，则f (x)为偶函数． (　　)
(4)奇函数的图象一定过(0，0)． (　　)
√
×
×
×
知识点2　奇、偶函数的图象性质
(1)偶函数的图象关于_____对称，图象关于_____对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于______对称，图象关于______对称的函数一定是奇函数．
y轴
y轴
原点
原点
体验　2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
A　　　　B　　 　　C　　　 　D
B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]
√
类型1　函数奇偶性的判断
【例1】【链接教材P124例1、P125例2】
(1)若函数f (x)的图象如图所示，则f (x)为________函数．(填“奇”或“偶”或“既不是奇函数也不是偶”)
关键能力·合作探究释疑难
偶
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f (x)＝；
②f (x)＝；
③f (x)＝；
④f (x)＝．
[思路点拨]　(1)观察图象的对称性．
(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f (x)与f (－x)的关系．
(1)偶　[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．]
(2)[解]　①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又f (－x)＝＝＝f (x)，所以函数f (x)是偶函数．
②函数的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数又不是偶函数．
③由得x∈{2，－2}，
定义域关于原点对称，且f (±2)＝0，
所以f (x)既是奇函数又是偶函数．
④由 得
所以函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]．
此时f (x)＝＝，x∈[－1，0)∪(0，1]，所以f (－x)＝＝－＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数．
【教材原题·P124例1】
例1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1)f (x)＝x2－1；(2)f (x)＝2x；(3)f (x)＝2|x|；(4)f (x)＝(x－1)2．
解：(1)函数f (x)＝x2－1的定义域是R．
因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且
f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f (x)，
所以函数f (x)＝x2－1是偶函数．
(2)函数f (x)＝2x的定义域是R．
因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且
f (－x)＝2(－x)＝－2x＝－f (x)，
所以函数f (x)＝2x是奇函数．
(3)函数f (x)＝2|x|的定义域是R．
因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且
f (－x)＝2|－x|＝2|x|＝f (x)，
所以函数f (x)＝2|x|是偶函数．
(4)函数f (x)＝(x－1)2的定义域是R．
因为f (1)＝0，f (－1)＝4，所以
f (1)≠f (－1)，f (1)≠－f (－1)．
因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f (x)＝(x－1)2既不是奇函数，也不是偶函数．
【教材原题·P125例2】
例2 判断函数f (x)＝x3＋5x是否具有奇偶性．
解：函数f (x)的定义域为R．
因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且
f (－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－f (x)，
所以函数y＝f (x)为奇函数．
反思领悟　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．
[跟进训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x；
(2)f (x)＝；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝
[解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，
因此函数f (x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1．
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f (x)的定义域为R，关于原点对称．
f (－x)＝
即f (－x)＝
于是有f (－x)＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数．
类型2　奇偶函数的图象问题
【例2】已知奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(1)画出f (x)在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f (x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)因为函数f (x)是奇函数，所以y＝f (x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．
由y＝f (x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．
[母题探究]
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]　(1)如图所示．
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5)．
反思领悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．
[跟进训练]
2．如图是函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
[解]　因为f (x)＝，所以f (x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)为偶函数．所以f (x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
类型3　利用函数的奇偶性求解析式
【例3】(1)函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式；
(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，求函数f (x)，g(x)的解析式．
[解]　(1)设x<0，则－x>0，
∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数，
∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，
∴当x<0时，f (x)＝－x－1．
又x＝0时，f (0)＝0，
∴f (x)＝
(2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．
由f (x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝，
∴f (x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f (x)＝(x≠±1)；
(①－②)÷2，得g(x)＝(x≠±1)．
[母题探究]
把本例(2)的条件“f (x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f (x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f (x)，g(x)的解析式．
[解]　∵f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，
又f (x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得
f (－x)＋g(－x)＝，
即f (x)－g(x)＝．②
联立①②得，
f (x)＝(x≠±1)，g(x)＝(x≠±1)．
反思领悟　利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．
提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0．
[跟进训练]
3．(1)已知f (x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝－x(1＋x)，求f (x)；
(2)若函数f (x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．
[解]　(1)∵f (x)为R上的奇函数，
∴f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．
当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
∴f (－x)＝x(1－x)．
∵f (x)为R上的奇函数，
∴－f (x)＝x(1－x)，
∴f (x)＝－x(1－x)．
综上可知，f (x)＝
(2)∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，
∴2(m－1)x＝0．
∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1．
类型4　奇偶函数的单调性
【例4】已知函数f (x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在[0，1)上单调递增．若f (a－2)＋f (3－2a)<0，试求a的取值范围．
[解]　∵f (a－2)＋f (3－2a)<0，
∴f (a－2)<－f (3－2a)．
∵f (x)为奇函数，
∴－f (3－2a)＝f (2a－3)，
∴f (a－2)∵f (x)在[0，1)上单调递增，
∴f (x)在(－1，1)上也单调递增，
∴解得1反思领悟　1．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f (x)是奇函数，且f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f (x)是偶函数，且f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为
f (x1)＞f (x2)或f (x1)＜f (x2)的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
[跟进训练]
4．已知定义在[－2，2]上的偶函数f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m)[解]　因为f (x)在区间[－2，2]上为偶函数，所以f (x)＝f (|x|)，所以
f (1－m)＝f (|1－m|)，f (m)＝f (|m|)，又f (x)在区间[0，2]上单调递减，所以f (1－m)即解得－1≤m<．
故实数m的取值范围是．
1．(多选题)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x3
学习效果·课堂评估夯基础
√
AD　[A、D中函数是奇函数，B中函数是偶函数，C中函数既不是奇函数也不是偶函数．]
√
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　)
A．f (1)>f (2) B．f (1)C．f (1)＝f (2) D．以上都有可能
√
A　[∵f (x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f (1)>f (2)，故选A．]
3．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
√
C　[∵f (x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴由f (a)<
f (b)可得|a|<|b|．]
4．(教材P127习题5.4T7改编)设f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x3＋1，则当x<0时，f (x)＝________．
－x3＋1　[当x<0时，－x>0，
∴f (－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，
∵f (－x)＝f (x)，∴f (x)＝－x3＋1．]
－x3＋1
5．奇函数f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x)的增区间为____________________________．
(－∞，－1]，[1，＋∞)　[奇函数的图象关于原点对称，可知函数
f (x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．]
(－∞，－1]，[1，＋∞)
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断函数奇偶性的主要依据是什么？
[提示]　函数奇偶性的定义．
2．奇函数在对称区间上的单调性有怎样的关系？偶函数呢？
[提示]　相同，相反．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
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√
14
15
一、选择题
1．(多选题)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是
(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝x2＋1 D．y＝－
课时分层作业(二十三)　函数的奇偶性
√
BC　[对于函数y＝|x|＋1，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－不是偶函数．]
题号
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2．已知函数y＝f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝－x2＋2x－3 B．f (x)＝－x2－2x－3
C．f (x)＝x2－2x＋3 D．f (x)＝－x2－2x＋3
B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，所以f (－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝x2＋2x＋3＝
－f (x)，所以f (x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．故选B．]
3．已知f (x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是(　　)
A．f (－0.5)B．f (－1)C．f (0)D．f (－1)√
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C　[∵函数f (x)为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．
又∵f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f (0)f (－0.5)题号
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√
4．偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x)的增区间为(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，0]和[1，＋∞)
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D　[偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f (x)的增区间为[－1，0]和[1，＋∞)．]
√
5．已知偶函数f (x)在区间 [0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x－1)<
f (1)的x的取值范围是(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(－1，1)
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B　[首先函数的定义域是R，再者根据f (2x－1)二、填空题
6．已知f (x)＝x3＋a，且f (x)是奇函数，则a＝________．
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0　[因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝a＝0．]
0
7．已知f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1)＋g(1)＝________．
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1　[∵f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f (－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．
∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f (x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1．
∴f (1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1．]
1　
8．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2为偶函数，则m＝______；f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是______________________．
题号
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0　f (－2)0　
f (－2)三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1) f (x)＝3，x∈R；
(2) f (x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；
(3) f (x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4) f (x)＝
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[解]　(1)∵f (－x)＝3＝f (x)，∴f (x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3，3]，f (－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f (x)，∴f (x)是偶函数．
(3)∵f (－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f (x)，∴f (x)是奇函数．
(4)当x>0时，f (x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
∴f (－x)＝－f (x)；
当x<0时，f (x)＝x2－1，此时－x>0，f (－x)＝＝1－x2，∴f (－x)＝－f (x)；
当x＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0．
综上，对任意x∈R，总有f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为R上的奇函数．
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10．已知函数y＝f (x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3．
(1)试求f (x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
题号
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[解]　(1)因为函数f (x)的图象关于原点对称，
所以f (x)为奇函数，则f (0)＝0．
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3．
所以当x<0时，f (x)＝－f (－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3．
于是有f (x)＝
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(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f (x)的增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间是(－1，0)，(0，1)．
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√
11．(多选题)设函数f (x)，g(x)的定义域为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f (x)g(x)是奇函数 B．| f (x)|g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是奇函数 D．| f (x)g(x)|是奇函数
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√
AC　[∵f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴| f (x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x)|g(x)|为奇函数，故选AC．]
题号
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12．设奇函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
√
题号
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C　[∵f (x)为奇函数，<0，
即<0，
∵f (x)在(0，＋∞)上单调递减且f (1)＝0，
∴当x>1时，f (x)<0．
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f (x)单调递减且f (－1)＝0，
即x<－1时，f (x)>0．
综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
题号
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13．已知y＝f (x)＋x2是奇函数且f (1)＝1，若g(x)＝f (x)＋2，则g(－1)＝________．
题号
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－1　[∵y＝f (x)＋x2是奇函数，
∴f (－x)＋(－x)2＝－f (x)－x2，
∴f (x)＋f (－x)＋2x2＝0，
∴f (1)＋f (－1)＋2＝0．
∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3．∵g(x)＝f (x)＋2，
∴g(－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1．]
－1
14．已知定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，且f (x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝________时，f (x)取得最大值；若不等式f (0)题号
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1　(0，2)　[由f (1－x)＝f (1＋x)知，f (x)的图象关于直线x＝1对称，又f (x)在[1，＋∞)上单调递减，则f (x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时，f (x)取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以由
f (0)< f (m)，得01　
(0，2)　
15．已知f (x)为奇函数，且当x＜0时，f (x)＝x2＋3x＋2．若当x∈[1，3]时，n≤f (x)≤m恒成立，求m－n的最小值．
题号
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[解]　当x＜0时，f (x)＝x2＋3x＋2＝－，
∴当x∈[－3，－1]时，f (x)min＝f ＝＝f (－3)＝2．
又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1，3]时的最小值和最大值分别是－2，，
∴m的最小值为，n的最大值为－2，
＝－(－2)＝，即m－n的最小值为．
题号
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谢 谢！