【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.1 幂函数 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共68张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第6章　
幂函数、指数函数和对数函数
6.1　幂函数
学习任务 核心素养
1．借助幂函数的图象，提升直观想象素养．
2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养．
经调查，一种商品的价格和需求量之间的关系如下表所示：
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么性质？
必备知识·情境导学探新知
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
知识点1　幂函数的概念
一般地，我们把形如_______的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是______．
体验　1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．
3　[由题意得
所以m＋n＝3．]
y＝xα
常数
3
知识点2　幂函数的图象和性质
1．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示：
2．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
定 义 域 ___ ___ ___ ________ (－∞，0)∪
(0，＋∞)
值 域 ___ ________ ___ ________ (－∞，0)∪
(0，＋∞)
R
R
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
奇 偶 性 ________ ________ ________ _____________________________ ________
单 调 性 在(－∞，＋∞)上是____函数 在(－∞，0]上________，在[0，＋∞)上________ 在(－∞，＋∞)上是____函数 在[0，＋∞)上是 ____函数 在(－∞，0)上_________，在(0，＋∞)上_________
奇函数
偶函数
奇函数
既不是奇函数也不是偶函数
奇函数
增
单调递减
单调递增
增
增
单调递减
单调递减
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
定 点 ________________ __________________ ________________ ____________________ __________
(1，1)，(0，0)
(1，1)，(0，0)
(1，1)，(0，0)
(1，1)，(0，0)
(1，1)
体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限． (　　)
(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点． (　　)
(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． (　　)
√
×
×
体验　3．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点(2，8)，则f (－2)＝________．
－8
－8　[因为8＝2α，所以α＝3，
所以f (x)＝x3，f (－2)＝(－2)3＝－8．]
类型1　幂函数的概念
【例1】(1)下列函数：
①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
关键能力·合作探究释疑难
√
(1)B　[幂函数有①⑥两个．]
(2)[解]　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝．
反思领悟　幂函数y＝xα满足的三个特征
(1)xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项．
提醒：求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x)＝xα，根据条件求出α．
[跟进训练]
1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝．
③⑥　[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]
③⑥
2．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点，则f (100)＝________．
　[由题知2α＝＝，∴α＝－．
∴f (x)＝，
∴f (100)＝＝＝．]
　
类型2　比较大小
【例2】【链接教材P140例2】
比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与；与；(4)1.20.6与0.30.4；(5)与．
[思路点拨]　可以借助幂函数y＝xα的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．
[解]　(1)∵y＝在[0，＋∞)上单调递增，且>，
∴．
(2)∵y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，且－<－，
∴>．
(3)0.2，6.2＝2.．
∵y＝在[0，＋∞)上单调递增，且2<2.5，
，即．
(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1，0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6．
(5)由幂函数的奇偶性＝＝
．
【教材原题·P140例2】
例2 试比较下列各组数的大小：
(1)1.13，0.893；
；
(3)．
解：(1)因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
(2)因为函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，又2.1>2>1.8，所以．
(3)因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1＝11.3，<1，所以<11.3＝1．
因为函数y＝在区间［0，+∞）上单调递增，又=1，3>1，所以于是．
反思领悟　比较幂值的大小的方法
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；
(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．
[跟进训练]
3．比较下列各组中两个数的大小：
；
(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；
(3)．
[解]　(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以．
(2)因为函数y＝x1.5在(0，＋∞)上单调递增，
又a＞0，a＋1＞a，
所以(a＋1)1.5＞a1.5．
(3)函数y＝为偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，
所以＝．
类型3　幂函数的图象及应用
【例3】点(，2)与点分别在幂函数f (x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f (x)>g(x)；
(2)f (x)＝g(x)；
(3)f (x)[解]　设f (x)＝xα，g(x)＝xβ．
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f (x)＝x2，g(x)＝x-1．
分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f (x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f (x)反思领悟　1．解决幂函数图象问题应把握研究的一般方法
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其他象限的图象．
2．幂函数在第一象限的图象与性质
(1)α>0，幂函数的图象恒经过点(0，0)，(1，1)，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)α<0，幂函数的图象恒经过点(1，1)，在(0，＋∞)上单调递减．
3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律
(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；
(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
[跟进训练]
4．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d >c>b>a
B．a>b>c>d
C．d >c>a>b
D．a>b>d >c
√
(2)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　 　 　B　　 　　C　 　 　D
√
(1)B　(2)B　[(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的图象相符合．
在第一象限内，直线x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．
(2)y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作由y＝的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B．]
类型4　幂函数性质的综合应用
【例4】已知幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围．
[解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0，解得m<3．
又m∈N*，∴m＝1或2．
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1．
∴有<．
∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得∴a的取值范围为(－∞，－1)．
反思领悟　(1)此类问题在解答过程中易忽略对底数的分类讨论而产生漏解．
(2)求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．
[跟进训练]
5．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点A．
(1)求实数α的值；
(2)用定义证明f (x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
[解]　(1)∵f ＝＝，
∴α＝－．
(2)证明：∵f (x)＝＝，
∴任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2．
∴f (x1)－f (x2)＝＝＝．
∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，
∴x2－x1＞0，∴f (x1)－f (x2)＞0，
∴f (x1)＞f (x2)，
∴f (x)在(0，＋∞)上是减函数．
1．(多选题)下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x-3
C．y＝ D．y＝2x2
学习效果·课堂评估夯基础
√
ABC　[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有D中函数不是幂函数．]
√
√
2．函数y＝的图象是(　　)
√
A　　　　B　　 　C　 　　　D
C　[函数y＝既不是奇函数也不是偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C．]
3．下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C．> D．
√
A　[y＝在(0，＋∞)上为减函数．故A正确．]
4．(教材P142练习T2改编)已知幂函数f (x)＝xα的图象过点(2，)，则f (4)的值是________．
2　[将点(2，)代入幂函数解析式可得f (2)＝2α＝，解得α＝，即幂函数为f (x)＝，可得f (4)＝＝2．]
2　
5．若幂函数f (x)＝(m2－m－1)在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝________．
2　[令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求．
故m＝2．]
2　
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断函数为幂函数的标准是什么？
[提示]　底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为1．
2．幂函数在第一象限内的图象有何特点？
[提示]　α>0时，幂函数的图象经过点(0，0)，(1，1)，在(0，＋∞)上图象上升．
α<0时，幂函数的图象经过点(1，1)，在(0，＋∞)上图象下降．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A．幂函数的图象不可能是一条直线
B．幂函数y＝xα，当α>0时是增函数
C．幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内函数值随x的增大而减小
D．幂函数的图象不可能过第四象限
课时分层作业(二十四)　幂函数
√
CD　[当α＝1时，y＝xα的图象为一条直线，幂函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，CD正确．]
题号
1
3
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2
4
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题号
2
1
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√
14
15
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[使函数y＝xα的定义域为R的有1，2，3，其中为奇函数的有1，3．]
3．已知幂函数f (x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　)
A． B．±2
C．2 D．－2
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
D　[因为函数f (x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以－m>0，因此m＝－2，故选D．]
√
4．若f (x)是幂函数，且满足＝2，则f ＝(　　)
A．16 B．4
C． D．
题号
2
1
3
4
5
6
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D　[因为函数f (x)是幂函数，设f (x)＝xα，由题设＝2 3α＝2，所以f ＝＝＝．]
√
5．已知函数f (x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f (x)的图象的是(　　)
题号
2
1
3
4
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6
8
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14
15
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
C　[函数f (x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f (x)的图象．故选C．]
二、填空题
6．已知幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
1　[由于f (x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]
1
7．已知m＝(a2＋3)-1(a≠0)，n＝3-1，则m与n的大小关系为________．
题号
2
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4
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15
m则a2＋3>3>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
则f (a2＋3)故mm8．若幂函数y＝(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
③
③　[由题图知，函数y＝为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限函数图象向上“凸”，所以<1，选③．]
题号
2
1
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15
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
和；
和；
(3)，和．
题号
2
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3
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5
6
8
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14
15
[解]　(1)构造函数f (x)＝，此函数在[0，＋∞)上是增函数．
(2)构造函数f (x)＝，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
＝．
．
题号
2
1
3
4
5
6
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15
(3)构造函数y＝，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，则＝＝>0．
函数y＝在R上是增函数，
则＝0，
故．
题号
2
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10．已知函数f (x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f (x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
题号
2
1
3
4
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6
8
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15
[解]　(1)若函数f (x)为正比例函数，则
∴m＝1．
(2)若函数f (x)为反比例函数，则
∴m＝－1．
(3)若函数f (x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±．
题号
2
1
3
4
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15
√
11．已知幂函数f (x)＝xm-3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m等于(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．3
题号
2
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15
B　[因为f (x)＝xm-3在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－3<0，所以m<3．
又因为m∈N*，所以m＝1，2．
又因为f (x)＝xm-3是奇函数，所以m－3为奇数，所以m＝2．]
题号
2
1
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4
5
6
8
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15
12．函数y＝在[－1，1]上(　　)
A．单调递增且是奇函数
B．单调递增且是偶函数
C．单调递减且是奇函数
D．单调递减且是偶函数
√
题号
2
1
3
4
5
6
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15
A　[由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内单调递增，所以y＝在(0，1]上单调递增．令y＝f (x)＝，x∈[－1，1]，则f (－x)＝＝＝－f (x)，所以f (x)＝是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1，0)时，y＝在[－1，0)上也单调递增．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝<0，当x>0时，y＝>0，所以y＝在[－1，1]上单调递增．故y＝在[－1，1]上单调递增且是奇函数．]
题号
2
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4
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6
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15
13．已知幂函数f (x)的图象过点(9，3)，则f ＝________，函数
f 的定义域为________．
题号
2
1
3
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　(0，1]　[令f (x)＝xα，∵f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f (x)＝＝，∴f ＝．
令－1≥0，解得0故f 的定义域为(0，1]．]
　
(0，1]　
14．给出下面四个条件：①f (m＋n)＝f (m)＋f (n)；②f (m＋n)＝
f (m)·f (n)；③f (mn)＝f (m)·f (n)；④f (mn)＝f (m)＋f (n)．如果m，n是幂函数y＝f (x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f (x)一定满足的条件的序号为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
③
③　[设f (x)＝xα，
则f (m＋n)＝(m＋n)α，
f (m)＋f (n)＝mα＋nα，
f (m)·f (n)＝mα·nα＝(mn)α，
f (mn)＝(mn)α，
所以f (mn)＝f (m)·f (n)一定成立，其他三个不一定成立．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
15．已知幂函数y＝f (x)经过点．
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f (3x＋2)＋f (2x－4)>0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)设f (x)＝xα，由题意，
得f (2)＝2α＝ α＝－3，
故函数解析式为f (x)＝x-3．
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f (－x)＝(－x)-3＝－x-3＝－f (x)，故该幂函数为奇函数．
其单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(3)由(2)得f (3x＋2)>－f (2x－4)＝f (4－2x)．
即
或
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
或
解得－2，
故原不等式的解集为．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！