【学霸笔记：同步精讲】第6章 6.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共74张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第6章　
幂函数、指数函数和对数函数
6.2　指数函数
第2课时　指数函数的图象与性质的应用
学习任务 核心素养
1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点) 2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点) 1．借助指数函数的定义域、值域的求解，培养逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．通过指数函数研究实际问题，提升数学建模素养．
请画出y＝2x，y＝的图象，归纳出函数y＝ax，y＝a－x的图象具有哪些相同的特征？
必备知识·情境导学探新知
知识点 指数型函数
形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝____________________．
N(1＋p)x(x∈N)
体验　李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款a万元，银行贷款利率为月息p，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时，连本带利共需要还款的金额为_____________万元．
a(1＋p)20
a(1＋p)20　[一个月后a(1＋p)，两个月后a(1＋p)·(1＋p)＝a(1＋p)2，…，
今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款的金额为a(1＋p)20万元．]
类型1　求函数的定义域、值域
【例1】求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝4x＋2x+2－3．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝的定义域为{x|x≠4}．
又≠0，即≠1，
故y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，
∴0≤1－2x<1，∴y＝的值域为[0，1)．
(3)y＝的定义域为R．
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴＝16．
又∵>0，
故函数y＝的值域为(0，16]．
(4)函数y＝4x＋2x+2－3的定义域为R．
设t＝2x，则t>0．
∴y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7，t>0．
∵函数y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在(0，＋∞)上单调递增，∴y>－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．
[母题探究]
1．若将本例(2)中函数换为y＝，求其定义域．
[解]　由－1≥0得，∴x≤0，即函数y＝的定义域为(－∞，0]．
2．若将本例(4)增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解]　由于x∈[0，2]，则2x＝t∈[1，4]，
∴y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7，t∈[1，4]，
∵函数y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在[1，4]上单调递增，故y∈[2，29]．
反思领悟　1．对于y＝a f (x)这类函数
(1)定义域是指使f (x)有意义的x的取值范围．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f (x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．
2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝的定义域为____________．
(2)求函数y＝4－x－21-x＋1在x∈[－3，2]上的最大值和最小值．
(－3，0]　
(1)(－3，0]　[由
得－3所以函数的定义域是(－3，0]．]
(2)[解]　y＝4－x－21-x＋1＝－2·＋1＝，
∵x∈[－3，2]，
∴∈，
令t＝，得y＝(t－1)2，其中t∈，
∴y∈[0，49]，即最大值为49，最小值为0．
类型2　指数型函数的应用题
【例2】【链接教材P148例5】
某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：
(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127)
[思路点拨]　本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．
[解]　(1)1年后城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，
2年后城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2，
同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，
……
故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x．
(2)10年后该城市人口总数为：
y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．
故10年后该城市人口总数约为113万人．
【教材原题·P148例5】
例5 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x(x∈N*)，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)已知存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
解：(1)已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为
y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后的本利和为
y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为
y＝a(1＋r)3，
……
x期后的本利和为
y＝a(1＋r)x，x∈N*，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N*．
(2)将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，即5期后的本利和约为1 117.68元．
反思领悟　解决实际应用题的步骤
(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；
(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；
(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；
(4)检验，将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．
[跟进训练]
2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．
[解]　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．
则人均占有粮食为千克，
经过2年后，人均占有粮食为
千克，
……
经过x年后，人均占有粮食为
y＝千克，
即所求函数解析式为y＝360(x∈N*)．
类型3　指数函数性质的综合应用
【例3】已知定义域为R的函数f (x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围；
(3)求f (x)在[－1，2]上的值域．
[思路点拨]　(1)根据奇函数的定义，求出a，b．
(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k的范围．
(3)利用(2)中单调性求f (x)的值域．
[解]　(1)∵函数y＝f (x)是定义域R上的奇函数，
∴
∴
∴b＝1，a＝2．
经检验，a＝2，b＝1符合题意．
(2)由(1)知f (x)＝＝－，
任取x1，x2∈R且x1则f (x2)－f (x1)＝＝<0，
∴f (x)在定义域R上为减函数，
由f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立，
可得f (t2－2t)<－f (2t2－k)＝f (k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，
∴3t2－2t－k>0恒成立，
∴Δ＝(－2)2＋12k<0，解得k<－，
∴k的取值范围为．
(3)由(2)知f (x)在R上为减函数，
∴f (x)在[－1，2]上单调递减，
∴f (x)max＝f (－1)＝－＝，
f (x)min＝f (2)＝－＝－，
∴f (x)在[－1，2]上的值域为．
反思领悟　与指数函数有关的综合应用问题往往涉及指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．
[跟进训练]
3．设a>0，函数f (x)＝是定义域为R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
[解]　(1)由f (x)＝f (－x)，
得＝，
即4x＝0，
所以＝0，
根据题意，可得－a＝0，
又a>0，所以a＝1．
(2)证明：由(1)可知f (x)＝4x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f (x1)－f (x2)＝＝．
因为0所以，
所以<0．
又x1＋x2>0，所以>1，
所以＝>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)于是知f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
类型4　复合函数的单调性
【例4】判断f (x)＝的单调性，并求其值域．
[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
又∵y＝在R上是减函数，
∴y＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<＝3，
∴原函数的值域为(0，3]．
反思领悟　1．关于指数型函数y＝a f (x)(a>0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f (x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是02．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝
f (φ(x))的单调性，其规则是“同增异减”．
[跟进训练]
4．函数y＝的减区间是________，值域为________．
　[1，]　[由x－x2≥0得函数y＝的定义域为{x|0≤x≤1}，令y＝3u，u＝，
因为y＝3u在R上是增函数， u＝在上单调递减，所以函数y＝的减区间是，
又0≤x≤1时，u＝＝∈，所以函数y＝的值域为[1，]．]
　
[1，]　
1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．(－5，0) B．[－5，0)
C．(－5，0] D．[－5，0]
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[令∴－52．已知函数f (x)＝，则f (x)的值域为(　　)
A．(0，1] B．(1，2]
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
√
A　[因为f (x)＝＝所以其图象由y＝(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．
如图．所以f (x)的值域为(0，1]．]
3．函数y＝的减区间是__________．
[0，＋∞)　[令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上是增函数，u＝2－2x2在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝的减区间是[0，＋∞)．]
[0，＋∞)
4．某农场今年计划种甘蔗100 hm2，以后每年比前一年多种20%，那么从今年算起，第四年应种甘蔗________hm2．
172.8　[因为今年计划种甘蔗100 hm2，以后每年比前一年多种20%，所以第二年种100(1＋20%)hm2，第三年种100(1＋20%)2hm2，第四年种100(1＋20%)3＝172.8 hm2．]
172.8
5．已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值为n，则m＋n的值为________．
12　[∵y＝在R上为减函数，∴m＝＝3，n＝＝9，∴m＋n＝12．]
12　
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样比较两个指数式值的大小？
[提示]　①比较形如am与an的大小，应用指数型函数y＝ax的单调性．
②比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn．
2．复合函数的单调性遵循什么原则？
[提示]　同增异减．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．函数y＝的值域是(　　)
A．(0，2) B．(0，2]
C．[0，2) D．[0，2]
课时分层作业(二十六)　指数函数的图象与性质的应用
B　[∵x2－1≥－1，∴y≤＝2，又y>0，
∴y∈(0，2]．]
题号
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√
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2．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值为(　　)
A．6 B．1
C．3 D．
C　[函数y＝ax在[0，1]上单调，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，故x＝1时ymax＝3．]
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2025年的湖水量为m，从2025年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　)
A．y＝ B．y＝)m
C．y＝m D．y＝(1－0.150x)m
√
题号
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C　[设每年湖水量为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，所以q%＝，
所以x年后的湖水量为y＝m．]
题号
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√
4．定义运算a b＝则函数f (x)＝3－x 3x的值域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1]
题号
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D　[由题设可得f (x)＝3－x 3x＝其图象如图实线所示，由图知函数f (x)的值域为(0，1]．]
题号
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√
5．若函数f (x)＝a|2x-4|(a>0，a≠1)，满足f (1)＝，则f (x)的减区间是
(　　)
A．(－∞，2] B．R
C．[2，＋∞) D．
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C　[由f (1)＝，得a2＝，
所以a＝，即f (x)＝．
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f (x)的增区间是(－∞，2]，减区间是[2，＋∞)．]
题号
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二、填空题
6．已知函数f (x)＝2|x-2|－1在区间[0，m]上的值域为[0，3]，则实数m的取值范围为________．
题号
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[2，4]　[函数f (x)＝2|x-2|－1图象的对称轴为直线x＝2，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．由函数f (x)＝2|x-2|－1在区间[0，m]上的值域为[0，3]且函数图象关于直线x＝2对称，得
f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以2≤m≤4．]
[2，4]
7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
题号
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4　[设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的；经过第三次漂洗，存留量为原来的；经过第四次漂洗，存留量为原来的，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的．
由题意得，，4x≥100，2x≥10，
所以x≥4，即至少漂洗4次．]
4　
8．设0≤x≤2，y＝－3×2x＋5的最大值为______，最小值为______．
题号
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　[令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4．
则y＝22x-1－3×2x＋5＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，
∴y＝(t－3)2＋在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝．
故函数的最大值为，最小值为．]
　
三、解答题
9．已知函数f (x)＝．
(1)当a＝－1时，求函数f (x)的增区间；
(2)如果函数f (x)有最大值3，求实数a的值．
题号
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[解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
y＝在R上是减函数，
∴f (x)在[－2，＋∞)上单调递增，
即f (x)的增区间是[－2，＋∞)．
题号
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(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝，
由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1．
因此必有解得a＝1，即当f (x)有最大值3时，a的值为1．
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10．某医药研究所开发一种抗流感新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)结合图象，求k与a的值；
(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f (t)；
(3)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微
克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围．
题号
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[解]　(1)由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一条线段，由于过原点与点(1，4)，所以k＝4．
当t≥1时，函数的解析式为y＝，
此时M(1，4)在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4＝，解得a＝3．
(2)由(1)知，f (t)＝
题号
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(3)由(2)知，令f (t)≥0.5，
即
∴≤t≤4．
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√
11．设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
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D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．]
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12．函数f (x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为(　　)
√
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A　　　　　B　　　 　C　　　　D
A　[根据题意，由于函数f (x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]＝＝根据解析式，结合分段函数的图象可知， 在y轴右侧是常函数， 所以排除B，D，而在y轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C，因此选A．]
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13．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2 KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为y KB．
(1)y关于x的函数解析式为_______________________；
(2)如果病毒占据内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用________分钟．
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y＝，x∈(0，＋∞)　
57　
(1)y＝，x∈(0，＋∞)　(2)57　[(1)因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍，
所以，一个3分钟后它占据的内存为2×2＝22 KB；
两个3分钟后它占据的内存为2×2×2＝23 KB；
三个3分钟后它占据的内存为23×2＝24 KB；
…
所以x分钟后的病毒所占内存为 KB，
所以y＝，x∈(0，＋∞)．
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(2)由题意，病毒占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，又1 GB＝220 KB，
故有≤220，解得x≤57．
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．]
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14．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，则a的值为________．
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或3　[设t＝ax>0，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2．
①若a>1，∵x∈[－1，1]，
∴－1<≤t≤a．
∵t＝ax在[－1，1]上单调递增，y＝(t＋1)2－2在上也单调递增，
或3
∴原函数在[－1，1]上单调递增．
故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．
由a2＋2a－1＝14，
解得a＝3或a＝－5(舍去)．
②若0ymax＝a-2＋2a-1－1＝14，
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上，a＝或3．]
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15．设函数f (x)＝(a>0且a≠1)．
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)若f (x)≥，求x的取值范围．
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[解]　(1)函数f (x)＝(a>0且a≠1)，定义域为R，
所以f (－x)＝＝＝－f (x)，
所以f (x)是奇函数．
(2)f (x)≥，即，ax>0，2－2ax≥1＋ax，解得ax≤，
当a>1时，x＝logaax≤loga＝－loga3，
当0综上所述，当a>1时，x≤－loga3，当0题号
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谢 谢！