【学霸笔记：同步精讲】第7章 7.2 7.2.1 任意角的三角函数 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共69张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第7章　
三角函数
7.2　三角函数概念
7.2.1　任意角的三角函数
学习任务 核心素养
1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小．(难点) 1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助公式的运算，提升数学运算素养．
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么
名称 定义 定义域
正弦 sin α＝____ ___
余弦 cos α＝____ ___
正切 tan α＝____
R
R
sin α，cos α，tan α分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
思考　1．对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
[提示]　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考　2．若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
[提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
体验　1．若角α的终边经过点P，则sin α＝________；cos α＝______；tan α＝______．
－　－1　[由题意可知
OP＝＝1，
∴sin α＝＝－；cos α＝＝；
tan α＝＝－1．]
－
　
－1　
知识点2　三角函数值在各象限的符号
体验　2．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)
(2)cos 3tan 4________0．(填“>”或“<”)
＞
＜
(1)＞　(2)＜　[(1)∵α在第三象限，
∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0．
(2)∵<3<π，π<4<，
∴3是第二象限角，4是第三象限角．
∴cos 3<0，tan 4>0，∴cos 3tan 4<0．]
知识点3　三角函数线
(1)有向线段：规定了______(即规定了起点和终点)的线段；
有向直线：规定了________的直线；
有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向____________，分别把它的长度添上____________，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB．
方向
正方向
相同或相反
正号或负号
(2)三角函数线
体验　3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)α一定时，单位圆的正弦线一定． (　　)
(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等． (　　)
√
×
类型1　三角函数的定义及应用
【例1】【链接教材P178例2】
(1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，
cos α，tan α的值．
(2)当α＝－时，求sin α，cos α，tan α的值．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2．
当α的终边在第四象限时，
在α的终边上取一点P′(1，－2)，
则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2．
(2) 当α＝－时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)(x>0，y<0)，
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝，由勾股定理得＋y2＝1，y<0，解得y＝－，
所以P．
因此sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－．
[母题探究]
1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“y＝－x”，其他条件不变，结果又如何？
[解]　当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，)，则r＝2，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
当α的终边在第四象限时，在α的终边上取一点P′(1，－)，则r＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a，4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α．
[解]　r＝＝5|a|．
①若a>0，则r＝5a，角α的终边在第二象限，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝＝1．
②若a<0，则r＝－5a，
角α的终边在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＝－1．
【教材原题·P178例2】
例2 (1)当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值；
(2)当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．
解：(1)当α＝时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x>0，y>0)．
根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y＝(图7-2-4)．
又由勾股定理得x2＋＝1，解得x＝．
所以点P的坐标为．
因此sin ＝＝，cos ＝＝，
tan ＝＝．
(2)当α＝时，设α的终边与单位圆的交点为P′，根据点P′与(1)中点P关于y轴对称可知，点P′的坐标为(图7-2-5)．
因此sin ＝＝，
cos ＝＝－，
tan ＝＝－．
反思领悟　1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则
sin α＝，cos α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
2．已知特殊角α，求三角函数值的方法
(1)先设出角α的终边与单位圆的交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．
(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r＝1)．
3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ．
(2)当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．
[解]　(1)由题意知r＝，由三角函数定义得cos θ＝＝．
又∵cos θ＝x，
∴＝x．
∵x≠0，∴x＝±1．
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3．
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin θ＝＝，
tan θ＝＝－3．
(2)当α＝时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)(x<0，y<0)，
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝－，由勾股定理得＋y2＝1，y<0，
解得y＝－， 所以P．
因此sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝．
类型2　三角函数值的符号
【例2】【链接教材P180例4】
(1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号．
①sin 2 024° cos 2 025° tan 2 026°；
②tan 191°－cos 191°；
③sin 2 cos 3 tan 4．
√
(1)D　[由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．]
(2)[解]　①∵2 024°＝1 800°＋224°＝5×360°＋224°，
2 025°＝5×360°＋225°，2 026°＝5×360°＋226°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 024°<0，cos 2 025°<0，tan 2 026°>0，
∴sin 2 024° cos 2 025° tan 2 026°>0．
②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0．
③∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2 cos 3 tan 4<0．
【教材原题·P180例4】
例4 确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
(1)sin ；(2)cos (－465°)；(3)tan ．
解：(1)因为是第二象限角，所以sin >0．
(2)因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以cos (－465°)<0．
(3)因为＝2π＋，即是第四象限角，所以tan <0．
反思领悟　判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础：准确确定三角函数中各角所在象限．
(2)关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号．
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．
[跟进训练]
2．判断下列式子的符号：
(1)tan 108°·cos 305°；
(2)；
(3)tan 120°·sin 269°．
[解]　(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0．
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0．
从而tan 108°·cos 305°＜0．
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos ＜0，tan ＜0，sin ＞0．
从而＞0．
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0．
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0．
从而tan 120°·sin 269°＞0．
类型3　应用三角函数线解三角不等式
【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－．
[解]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为．
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为．
反思领悟　利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
(2)正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
[跟进训练]
3．求函数f (x)＝＋ln 的定义域．
[解]　由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数f (x)的定义域为
．
1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上，
由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内，
故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．]
2．(多选题)下列三角函数判断错误的是(　　)
A．sin 165°>0 B．cos 280°<0
C．tan 170°>0 D．tan 310°>0
√
BCD　[∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0．
∵270°<280°<360°，∴cos 280°>0．
∵270°<310°<360°，∴tan 310°<0．
∵90°<170°<180°，∴tan 170°<0．]
√
√
3．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值等于________．
－1　[由三角函数定义知tan α＝＝－1．]
－1
4．(教材P181练习T1改编)已知角α终边过P，则cos α等于________．
　[由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝．]
5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．
二或三　[因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ <0．若sin θ>0，tan θ<0，则θ在第二象限；若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]
二或三
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？
[提示]　三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关．
2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？
[提示]　确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．
3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？
[提示]　确定出角的终边与单位圆的交点坐标．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α的值可能为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
课时分层作业(三十一)　任意角的三角函数
A　[设P(a，－a)是角α终边上任意一点，
若a>0，P点在第四象限，tan α＝＝－1，
若a<0，P点在第二象限，tan α＝＝－1．]
题号
1
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题号
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√
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2．已知角α的终边上异于原点的一点P，且PO＝r，则点P的坐标为
(　　)
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α) D．P(r cos α，r sin α)
D　[设P(x，y)，则sin α＝，∴y＝r sin α．又cos α＝，x＝r cos α，∴P点的坐标为(r cos α，r sin α)，故选D． ]
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限为
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
题号
2
1
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B　[由P(tan α，cos α)在第三象限可知tan α<0，cos α<0．
由tan α<0得，角α的终边在第二或第四象限，
由cos α<0得，角α的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴．
故角α的终边在第二象限．]
题号
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√
4．sin 1·cos 2·tan 3的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
题号
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A　[∵0<1<<2<π，<3<π，∴sin 1>0，cos 2<0，
tan 3<0．∴sin 1·cos 2·tan 3>0．]
√
5．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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D　[因为π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b．
sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，
所以sin 3－cos 3＞0．
因为|MP|＜|OM|，即|a|＜|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0．
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]
题号
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二、填空题
6．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，若角α、β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin α·tan β＝________．
题号
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15
－　[由三角函数的定义知sin α＝，tan β＝＝－．
所以sin α·tan β＝＝－．]
－　
7．sin ，cos ，tan 按从小到大的顺序排列是__________________．
题号
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cos cos <0，tan >0，
sin >0．
∵MP∴sin 故cos cos 8．若角α终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)．则cos α＝________，tan α＝________________．
题号
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－　－或　[∵角α终边过点P(－，y)，
∴sin α＝＝y，
又y≠0，∴＝．
－　
－或
∴OP＝＝＝＝r，
∴cos α＝＝＝－．
由＝得y＝±，当y＝时，tan α＝－，当y＝－时，tan α＝．]
题号
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三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
(2)sin 285° cos (－105°)；
(3)sin 3·cos 4·tan ．
题号
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[解]　(1)因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，所以sin α·cos α<0．
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0，因为－105°是第三象限角，所以cos (－105°)<0，
所以sin 285°cos (－105°)>0．
(3)因为<3<π，π<4<，
所以sin 3>0，cos 4<0．
因为－＝－6π＋，
所以tan >0，
所以sin 3·cos 4·tan <0．
题号
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10．已知＝－，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
题号
2
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[解]　(1)由＝－可知sin α＜0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵OM＝1，∴＋m2＝1，
解得m＝±．
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－．
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－．
题号
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√
11．(多选题)已知cos α＞cos β，那么下列结论不成立的是(　　)
A．若α，β是第一象限角，则sin α＞sin β
B．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β
C．若α，β是第三象限角，则sin α＞sin β
D．若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β
题号
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√
√
ABC　[由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，A错误；由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，B错误；由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]
题号
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12．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是(　　)
A．sin B．cos
C．tan D．cos 2α
√
题号
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15
C　[由α为第四象限角，得2kπ＋＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，∈，
此时，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈，此时，是第四象限角．
故无论终边落在第二还是第四象限，tan ＜0恒成立．
又4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π(k∈Z)．
故cos 2α有可能为正也有可能为负或为0．]
题号
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13．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为________．
题号
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　[因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，
又θ∈，
所以θ＝．]
　
14．若0<α<2π，且sin α<，cos α>．利用三角函数线，得到α的取值范围是____________________．
题号
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　[利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是．]
15．当α∈时，求证：sin α<α题号
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[证明]　如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线分别为有向线段MP，AT，则MP＝
sin α，AT＝tan α．
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝|α|OA2＝α，
S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α即sin α<α题号
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谢 谢！