【学霸笔记：同步精讲】第7章 7.2 7.2.3 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六) 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共55张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第7章　
三角函数
7.2　三角函数概念
7.2.3　三角函数的诱导公式
第2课时　三角函数的诱导公式(五～六)
学习任务 核心素养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点) 2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养．
2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
利用诱导公式一～四，将任意范围内的角转化到[0，2π)后，又如何将间的角转化到呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　诱导公式(五)
终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：
sin ＝________；
cos ＝________．
思考　1．角与角的三角函数值有什么关系？
cos α
[提示]　sin ＝cos ＝，cos ＝sin ＝．
sin α
思考　2．角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？
[提示]　关于直线y＝x对称．
体验　1．若cos (α＋π)＝－，则sin ＝________．
　[由条件知，cos α＝，所以sin ＝－sin
＝－sin ＝sin ＝cos α＝．]
　
知识点2　诱导公式(六)
＋α型诱导公式(公式六)：
sin ＝________；cos ＝__________．
思考　3．如何由公式三及公式五推导公式六？
cos α
[提示]　sin ＝sin ＝sin ＝cos α．
cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α．
－sin α
体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角． (　　)
(2)sin (90°＋α)＝－cos α． (　　)
(3)cos ＝－sin α． (　　)
×
×
√
类型1　利用诱导公式给值求值
【例1】【链接教材P191例12】
(1)已知sin ＝，则cos 的值是________．
(2)已知sin ＝，则cos 的值是________．
(3)已知sin (π＋A)＝－，则cos 的值是______．
关键能力·合作探究释疑难
　
－　
－　
(1)　(2)－　(3)－　[(1)∵＝，
∴＋α＝，
∴cos ＝cos ＝sin ＝．
(2)∵sin ＝，
∴sin ＝－．
又∵＝，
∴cos ＝cos ＝sin ＝－．
(3)∵sin (π＋A)＝－sin A＝－，
∴cos ＝cos ＝－cos ＝－sin A＝－．]
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)中条件变为“sin ＝”，求cos 的值．
[解]　∵＝，
∴cos ＝cos ＝－sin ＝－．
2．(变结论)本例(1)条件不变，求cos 的值．
[解]　cos ＝cos ＝－sin ＝－．
【教材原题·P191例12】
例12 已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α)的值．
分析：注意到(15°－α)＋(75°＋α)＝90°，因此，可将cos (15°－α)转化为sin (75°＋α)．
解：由－180°<α<－90°，得
－105°<75°＋α<－15°，
则sin (75°＋α)<0．
又cos (75°＋α)＝，
所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)
＝－＝－＝－．
反思领悟　1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等．
[跟进训练]
1．已知cos＝，求sin 的值．
[解]　∵α＋＝，
∴sin ＝sin ＝cos ＝．
类型2　利用诱导公式化简求值
【例2】已知α是第三象限角，且
f (α)＝．
(1)化简f (α)；
(2)若cos ＝，求f (α)．
[解]　(1)f (α)＝＝＝－cos α．
(2)因为cos ＝，
所以sin α＝－，又α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以f (α)＝－cos α＝．
反思领悟　用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．即“奇变偶不变，符号看象限”．
[跟进训练]
2．已知cos ＝，求的值．
[解]　原式＝＝－sin α－sin α＝－2sin α．
又cos ＝，所以－sin α＝．
所以原式＝－2sin α＝．
类型3　诱导公式在三角形中的应用
【例3】在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．
[解]　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．
又∵sin ＝sin ，
∴sin ＝sin ，
∴sin ＝sin ，∴cos C＝cos B．
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
∴△ABC为等腰三角形．
反思领悟　1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解．
2．在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin ．
[跟进训练]
3．已知f (α)＝．
(1)化简f (α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f (A)＝，求tan A－sin A的值．
[解]　(1)f (α)＝＝cos α．
(2)因为f (A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝＝．
1．若sin ＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C． D．
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝．]
2．(教材P193习题7.2T15改编)已知tan θ＝2，则等于(　　)
A．2　　　 B．－2
C．0　　　 D．
√
B　[＝＝＝＝－2．]
3．若cos (π＋α)＝，则sin ＝________．
－　[∵cos (π＋α)＝－cos α＝，
∴cos α＝－，
∴sin ＝cos α＝－．]
－　
4．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos ＝________．
　[因为cos α＝，且α为第四象限角，
所以sin α＝－＝－，
所以cos＝－sin α＝．]
　
5．化简：sin (π－α)sin (π＋α)－sin sin ＝________．
－1　[sin (π－α)sin (π＋α)－sin sin ＝－sin2α－cos2α＝－1．]
－1　
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？
[提示]　P2(y，x)．
2．用诱导公式化简求值的方法是什么？
[提示]　一般遵循诱导公式先行的原则．即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，保证三角函数名最少．
3．你认为本节课常见的变化技巧有哪些？
[提示]　＋α＝ ＝；
＋α＝ ＝；
＝等．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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一、选择题
1．若α∈，则＝(　　)
A．sinα B．－sin α
C．cos α D．－cos α
课时分层作业(三十四)　三角函数的诱导公式(五～六)
B　[∵sin ＝－cos α，
又∵α∈，∴＝＝|sin α|
＝－sin α．]
题号
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2．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
B　[由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，得sin α＝，cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－．]
3．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
√
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B　[sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝．]
√
4．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　)
A．89 B．90
C． D．45
题号
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C　[∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝．]
√
5．已知α∈，cos＝，则tan (2 025 π－α)＝(　　)
A． B．－
C．或－ D．或－
题号
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B　[由cos ＝，得sin α＝－．
又0<α<，∴π<α<，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝，
∴tan (2 025π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－．]
题号
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二、填空题
6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
题号
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1　[∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，
∴sin(45°－A)＝cos (45°＋A)，
∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，
∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1．]
1　
7．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________．
题号
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－sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·
(－sin α)·cos α＝－sin2α．]
－sin2α　
8．在△ABC中，sin＝3sin (π－A)，且cos A＝－cos (π－B)，则C＝________．
题号
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　[由已知得cos A＝3sin A，∴tan A＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝．
又cos A＝－(－cos B)＝cos B，
由cos A＝知cos B＝，∴B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝．]
　
三、解答题
9．(源自人教A版教材)化简
．
题号
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[解]　 原式＝
＝＝－＝－tan α．
10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：
的值．
题号
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[解]　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，且sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，
所以sin α＝－，
又因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－．
所以tan α＝．
原式＝＝tan α＝．
题号
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√
11．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于
(　　)
A．2 B．－2
C．2－ D．－2
题号
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C　[由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos α，2sin α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，
所以α＝2－．故选C． ]
题号
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12．已知cos ＝－，α是第二象限角，则sin ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
题号
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C　[∵cos ＝－sin α＝－，∴sin α＝．
又α是第二象限角，
∴cos α＝－，
∴sin ＝sin ＝sin
＝cos α＝－．]
题号
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13．已知＝2，则sin (θ－5π)·sin ＝___________，＝______．
题号
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　[∵＝2，sin θ＝3cos θ，
∴tan θ＝3．
∴sin(θ－5π)·sin＝sin θcos θ＝＝，
＝．]
题号
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14．已知sin α＋cos α＝－，则tan 的值为________．
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－2　[因为sin α＋cos α＝－，
所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝．
所以tan ＝＝
＝－＝－＝－2．]
－2　
15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin (3π－α)＝－cos 与cos (－α)＝－sin 同时成立？
题号
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[解]　存在．题干中的两个等式可化为
sin α＝sin β，cos α＝cos β，
两式两边分别平方相加得：
sin2α＋3cos2α＝2，
得2cos2α＝1，
所以cos2α＝．
题号
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又因为α∈，
所以α＝或－．
当α＝时，由cosα＝cos β，得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝；
当α＝－时，由sin α＝sin β，得sin β＝－，
而β∈(0，π)，所以无解．
综上得，存在α＝，β＝使两等式同时成立．
题号
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谢 谢！