【学霸笔记：同步精讲】第7章 7.3 7.3.1 三角函数的周期性 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共52张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第7章　
三角函数
7.3　三角函数的图象和性质
7.3.1　三角函数的周期性
学习任务 核心素养
1．理解周期函数的定义．(难点) 2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期．(重点) 通过学习本节内容，提升数学运算和逻辑推理核心素养．
观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　周期函数的定义
(1)设函数y＝f (x)的定义域为A，如果存在一个____________T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且___________________，那么函数f (x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)对于一个周期函数f (x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么，这个最小的正数就叫作f (x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)
(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，___________________都是它们的周期，它们的最小正周期都是____．
非零的常数
f (x＋T)＝f (x)
最小的正数
2kπ(k∈Z且k≠0)
2π
思考　1．单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
[提示]　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin (2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．
思考　2．所有的周期函数都有最小正周期吗？
[提示]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数
f (x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数都一定有最小正周期． (　　)
(2)周期函数的周期只有唯一一个． (　　)
(3)周期函数的周期可以有无数多个． (　　)
×　
×
√
知识点2　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为________．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为________．
思考　3．6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
[提示]　是．
体验　2．函数y＝sin 的最小正周期是________．
2　[T＝＝2．]
2
类型1　求三角函数的周期
【例1】求下列函数的最小正周期．
(1)f (x)＝2sin ；
(2)f (x)＝2tan ；
(3)y＝|sin x|；
(4)f (x)＝－2cos (a≠0)．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π．
(2)T＝＝，∴最小正周期为．
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π．
验证：∵|sin (x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π．
(4)T＝＝，∴最小正周期为．
反思领悟　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期．
(1)f (x)＝－2cos ；
(2)f (x)＝tan ；
(3)f (x)＝|cos x|；
(4)f (x)＝3sin ．
[解]　(1)T＝＝，∴函数f (x)＝－2cos 的最小正周期为．
(2)T＝，∴函数f (x)＝tan 的最小正周期为．
(3)T＝π，∴f (x)＝|cos x|的最小正周期为π．
(4)T＝＝8π，∴f (x)＝3sin 的最小正周期为8π．
类型2　周期性的应用
【例2】【链接教材P195例1】
定义在R上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期是π，且当x∈时，f (x)＝sin x，求f 的值．
[解]　∵f (x)的最小正周期是π，
∴f ＝f ＝f ．
又∵f (x)是R上的偶函数，
∴f ＝f ＝sin ＝，∴f ＝．
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，求f 的值．
[解]　∵f (x)的最小正周期为π，
∴f ＝f ＝f ，
∵f (x)是R上的偶函数，
∴f ＝f ＝sin ＝．
∴f ＝．
【教材原题·P195例1】
例1 已知作周期性运动的钟摆的高度h(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图7-3-1所示．
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10 s时钟摆的高度．
解：(1)由图象可知，该函数的周期为1.5 s．
(2)设h＝f (t)，由函数f (t)的周期为1.5 s，可知
f (10)＝f (1＋6×1.5)＝f (1)＝20．
所以t＝10 s时钟摆的高度为20 mm．
反思领悟　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．
[跟进训练]
2．若函数f (x)是以4为周期的奇函数，且f (3)＝6，则f (1)＋f (6)＝________．
－6　[因为函数f (x)是以4为周期的奇函数，且f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝6，则f (1)＝－6．
因为函数f (x)是以4为周期的奇函数，
所以f (2)＝f (－2)，f (－2)＝－f (2)，
所以f (2)＝f (－2)＝0，
所以f (6)＝f (2)＝0，即f (1)＋f (6)＝－6．]
－6　
1．函数y＝3sin 的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π　　　　 D．2π
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[T＝＝π．]
2．函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A．2π B．4π
C． D．π
√
A　[T＝＝2π．]
3．(教材P196练习T3改编)若函数y＝cos (ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．
2　[T＝＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．]
2　
4．若f (x)是以2为周期的函数，且f (2)＝2，则f (4)＝________．
2　[ f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＝2．]
2　
5．若f (x)是以为周期的奇函数，且f ＝1，则f 的值为________．
－1　[∵f (x)是以为周期的奇函数，
∴f ＝－f ＝－f ＝－f
＝f ＝f ＝－f ，
又∵f ＝1，∴f ＝－f ＝－1．]
－1
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求三角函数周期的方法是什么？
[提示]　(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，T＝．
(3)观察法，观察函数的图象．
2．若函数f (x＋a)＝(a≠0)，则函数的周期是多少？
[提示]　∵f ((x＋a)＋a)＝＝f (x)，
∴f (x＋2a)＝f (x)．
∴函数的周期为2a．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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一、选择题
1．(多选题)下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝cos 4x
C．y＝tan 2x D．y＝|sin 2x|
课时分层作业(三十五)　三角函数的周期性
√
√
BCD　[A中周期为T＝＝π，B，C，D周期均为．]
题号
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2．已知函数f (x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则f 的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
D　[函数f (x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝π．
所以f ＝sin ＝sin ＝－sin ＝－．]
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3．若f (x)是R上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
√
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B　[∵f (x＋5)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，
∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，
f (4)＝f (4－5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，
∴f (3)－f (4)＝－2＋1＝－1．]
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√
4．函数y＝sin 的周期不大于4，则正整数k的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
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C　[由T＝得T＝＝．
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4．]
√
5．设函数f (x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f (x)＝sin x；当x∈时，f (x)＝cos x，则f ＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
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A　[∵T＝π，x∈时，f (x)＝cos x，
∴f ＝f ＝f ＝cos
＝cos ＝－cos ＝－．]
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二、填空题
6．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式________________________．
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f (x)＝tan x(答案不唯一)　[ f (x)＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域为R，是奇函数，也是周期函数，周期T＝π，符合题意．]
f (x)＝tan x(答案不唯一)　
7．若f (x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为，则g(x)＝
tan (ω>0)的最小正周期为________．
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　[由正弦型函数的周期公式可得＝，解得ω＝8．
所以g(x)的最小正周期为＝．]
　
8．若函数f (x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是________．
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6　[T＝，又T∈(1，3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3，4，5，6，∴ω的最大值为6．]
6　
三、解答题
9．已知函数y＝f (x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f (4)的值；
(2)若－2＜x≤－1时，f (x)＝sin ＋1，求2＜x≤3时，f (x)的解析式．
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[解]　(1)∵函数y＝f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0．
(2)设2＜x≤3，则－2＜－4＋x≤－1，
∴f (－4＋x)＝sin ＋1＝sin ＋1，
∴f (x)＝f (－4＋x)＝sin ＋1．
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10．若单摆中小球相对静止位置的位移
x(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化而周
期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆中小球相对于静止位置的位移是多少？
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[解]　(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0.4 s．
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm．
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√
11．(多选题)下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是(　　)
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A　　　　　　　　 　　B
C　　　　　　　　 　　D
√
√
ABC　[根据周期函数图象特征可知A，B，C都是周期函数，D不是周期函数．]
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12．已知函数f (x)＝sin ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)＝(　　)
A．1 B．－1
C． － D．
√
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D　[ f (x)的周期T＝＝6，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)
＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0．
原式＝337[ f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝．故选D．]
13．设函数f (x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f ＝，则sin α的值为________．
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±　[∵f (x)的最小正周期为，ω>0，
∴ω＝＝4．
∴f (x)＝3sin ．
由f ＝3sin ＝3cos α＝，
∴cos α＝．∴sin α＝±＝±．]
±　
14．定义在R上的函数f (x)既是奇函数又是周期函数，若f (x)的最小正周期是π，且x∈时，f (x)＝sinx，则f ＝________，方程f (x)＝0的解集为_______________________．
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－
－　[定义在R上的函数f (x)既是奇函数又是周期函数，最小正周期是π，
且x∈时f (x)＝sin x，
故x∈时，f (x)＝sin x．
则f ＝f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－．
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∵f ＝f ＝f ＝－f ，
∴f ＝0，
∴f ＝0，k∈Z．
故f (x)＝(k∈Z)，
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如图，
故f (x)＝0的解集为．]
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15．已知函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x＋2)＝－( f (x)≠0)．
(1)求证：函数f (x)是周期函数；
(2)若f (1)＝－5，求f ( f (5))的值．
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[解]　(1)证明：∵f (x＋2)＝－，
∴f (x＋4)＝－＝－＝f (x)，
∴f (x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f (x)的一个周期，
∴f (5)＝f (1)＝－5，
∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－＝－＝．
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谢 谢！