【学霸笔记：同步精讲】第8章 8.1 8.1.1 函数的零点 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共68张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第8章　
函数应用
8.1　二分法与求方程近似解
8.1.1　函数的零点
学习任务 核心素养
1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点) 1．通过零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．
2．借助函数的零点与方程根的关系，培养直观想象的数学素养．
如图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　函数的零点的定义
一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为___的实数x称为函数y＝f (x)的零点．
思考　1．函数的零点是点吗？
0
[提示]　不是，函数的零点是实数．
知识点2　方程、函数、图象之间的关系
(1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的________．
(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与___轴交点的________．
思考　2．函数的零点是函数与x轴的交点吗？
实数解
[提示]　不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
x
横坐标
体验　1．函数f (x)＝2x－4的零点是________．
2　[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f (x)的零点．]
2
知识点3　函数零点存在定理
若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且_________________，则函数y＝f (x)在区间__________上有零点．
体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点． (　　)
(2)任意两个零点之间函数值保持同号． (　　)
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0． (　　)
f (a)f (b)<0
(a，b)
×
×
×
类型1　求函数的零点
【例1】求下列函数的零点．
(1)f (x)＝x3－x；
(2)f (x)＝2x－8；
(3)f (x)＝1－log4x；
(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)∵f (x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)·(x＋1)，令f (x)＝0，得x＝0，1，－1，故f (x)的零点为x＝－1，0，1．
(2)令f (x)＝2x－8＝0，∴x＝3，
故f (x)的零点为x＝3．
(3)令f (x)＝1－log4x＝0，
∴log4x＝1，∴x＝4．
故f (x)的零点为x＝4．
(4)当a＝0时，函数为f (x)＝－x＋2，
令f (x)＝0，得x＝2．
∴f (x)的零点为2．
当a＝时，f (x)＝(x－2)＝(x－2)2，
令f (x)＝0，得x1＝x2＝2．
∴f (x)有零点为2．
当a≠0且a≠时，令f (x)＝0，得x1＝，x2＝2．
∴f (x)的零点为，2．
综上，当a＝0时，f (x)的零点为2；
当a＝时，函数的零点为2；
当a≠0且a≠时，f (x)的零点为，2．
反思领悟　求函数的零点
求函数f (x)的零点时，通常转化为解方程f (x)＝0，若方程f (x)＝0有实数根，则函数f (x)存在零点，该方程的根就是函数f (x)的零点；否则，函数f (x)不存在零点．
[跟进训练]
1．(1)求函数f (x)＝的零点；
(2)已知函数f (x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2．
所以函数f (x)＝的零点为－3和e2．
(2)由已知得f (3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a．
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－．
所以函数g(x)的零点为0和－．
类型2　函数零点的证明
【例2】【链接教材P229例1】
证明函数f (x)＝ln (x＋1)－在(1，2)上存在零点．
[证明]　因为f (1)＝ln 2－2<0，
f (2)＝ln 3－1>0，
且函数f (x)在区间(1，2)上的图象是不间断的，
所以函数f (x)＝ln (x＋1)－在(1，2)上存在零点．
【教材原题·P229例1】
例1 证明：函数f (x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
证明：因为
f (－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，
f (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0，
且函数f (x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数f (x)在区间(－2，－1)上存在零点．
反思领悟　若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
[跟进训练]
2．证明f (x)＝x3＋3x－1在区间(0，1)上有零点．
[证明]　因为f (0)＝03＋3×0－1＝－1<0，
f (1)＝13＋3－1＝3>0，
且函数f (x)在区间(0，1)上的图象是不间断的，所以函数f (x)＝x3＋3x－1在(0，1)上有零点．
类型3　判断零点所在的区间
【例3】(1)二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是
(　　)
A．(－3，－1)和(2，4)　 B．(－3，－1)和(－1，1)
C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
√
(2)f (x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
(1)A　(2)C　[(1)易知f (x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f (－3)f (－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f (x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根．故选A．
√
(2)法一：∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e－1>0，
∴f (x)在(0，1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)．]
反思领悟　确定函数f (x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[跟进训练]
3．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是_______． (填序号)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋3 2 3 4 5 6
③
①(－1，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，3)．
③　[设f (x)＝ex－(x＋3)，由题表可知，f (－1)＝0.37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2.72－4<0，f (2)＝7.40－5>0，f (3)＝20.12－6>0，
∴f (1)·f (2)<0，
因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1，2)内．]
类型4　函数零点(方程不等实根)个数的判断
【例4】(1)函数f (x)＝ex－3的零点个数为________．
(2)函数f (x)＝ln x－的零点个数是________．
(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．
1
2
(1)1　(2)2　[(1)令f (x)＝0，所以ex－3＝0，所以x＝ln 3，故f (x)只有1个零点．
(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f (x)＝ln x－的零点个数为2．]
(3)[解]　法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a．
令f (x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a．
作函数f (x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为
＝，画出如图所示的简图．
由图象可以看出：
①当a＞时，方程没有实数根；
②当a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当a＜时，方程有两个不相等的实数根．
法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0．
Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13．
①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根；
②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根．
[母题探究]
(变条件)把本例(1)函数改为“y＝2x|logax|－1(0[解]　由2x|logax|－1＝0得|logax|＝，作出y＝及y＝|logax|(0反思领悟　判断函数零点的个数的方法
(1)可以利用零点存在定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．
(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
[跟进训练]
4．函数f (x)＝lg x－sin x的零点有i(i∈N*)个，记为xi，xi∈，k∈N*，求k构成的集合．
[解]　由f (x)＝lg x－sin x得lg x＝sin x，在同一平面直角坐标系中作出y＝lg x和y＝sin x的图象，如图，
由图象知，函数f (x)＝lg x－sin x有三个零点x1∈，x2∈，x3∈，
因为xi∈，k∈N*，所以k＝1，4，5，所以k构成的集合为{1，4，5}．
1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是(　　)
学习效果·课堂评估夯基础
√
A　　　　B　　　　C　　　　D
√
√
BCD　[BCD的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]
2．(教材P230练习T2(3)改编)函数f (x)＝2x－3的零点所在的区间是
(　　)
A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
√
B　[∵f (1)＝2－3＝－1<0，
f (2)＝22－3＝1>0，
∴f (1)·f (2)<0，即函数f (x)的零点所在的区间为(1，2)．]
3．已知函数f (x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　)
A．1　　　 B．－1
C．0　　　 D．不能确定
√
C　[因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x)有三个零点，则其和必为0．]
4．已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f (x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f (x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238
由表可知函数f (x)存在零点的区间有________个．
4　[∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．]
4
5．函数f (x)＝的零点是________．
1　[令＝0，则x＋1＝0或ln x＝0，且x－3≠0，x＞0，得x＝1，即函数f (x)＝的零点是1．]
1
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？
[提示]　(1)函数图象是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点．
2．f (a)·f (b)<0是连续函数在区间(a，b)上存在零点的什么条件？
f (a)·f (b)>0时在区间上一定没有零点吗？
[提示]　充分且不必要条件．不一定，f (a)·f (b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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5
2
4
6
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9
10
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13
√
14
15
一、选择题
1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．3
课时分层作业(四十一)　函数的零点
C　[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，
所以b＝±2．]
题号
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2．函数f (x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞) B．
C． D．
B　[∵f (x)＝2x－，
∴f ＝－2<0，f (1)＝2－1＝1>0，
∴f ·f (1)<0．
∴零点所在区间为．]
题号
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3．已知函数f (x)＝则函数f (x)的零点为(　　)
A．，0 B．－2，0
C． D．0
√
题号
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D　[当x≤1时，由f (x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由
f (x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D．]
题号
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√
4．若函数y＝f (x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
则函数y＝f (x)在x∈[1，6]上的零点至少有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
题号
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x 1 2 3 4 5 6
y －5 2 8 12 －5 －10
B　[由表得f (1)f (2)<0，f (4)f (5)<0，
因为函数的图象是连续不断的，
所以函数在(1，2)内至少有一个零点，在(4，5)内至少有一个零点，
所以函数y＝f (x)在x∈[1，6]上的零点至少有两个．]
题号
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√
5．已知函数f (x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．aC．c题号
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A　[在同一平面直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝
－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a题号
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二、填空题
6．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
题号
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2　[令f (x)＝ln x＋x－4，
且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，
∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0，
∴f (x)在(2，3)内有解，∴k＝2．]
2
7．函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围为________．
题号
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　[由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是．
所以实数a的取值范围是．]
8．奇函数f (x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数
f (g(x))，g( f (x))的零点个数分别为m，n，则m＝________，n＝________．
题号
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(1)　　　　　　　　　　(2)
7
3　
7　3　[由题图中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f (g(±2))＝f (1)＝0，f (g(±1))＝f (－1)＝0，f ＝f (0)＝0，f (g(0))＝f (0)＝0，所以f (g(x))有7个零点，即m＝7．又g( f (0))＝g(0)＝0，g( f (±1))＝g(0)＝0，所以g( f (x))有3个零点．即n＝3．]
题号
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三、解答题
9．判断函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
题号
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[解]　法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f (1)·f (2)<0，又f (x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f (x)在(1，2)上必有零点，
又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，所以零点只有一个．
题号
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10．已知y＝f (x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f (x)＝x2－2x．
(1)写出函数y＝f (x)的解析式；
(2)若方程f (x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
题号
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[解]　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f (x)是奇函数，
∴f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f (x)＝
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(2)当x∈[0，＋∞)时，f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
当x∈(－∞，0)时，f (x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1．
∴据此可作出函数y＝f (x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f (x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是
(－1，1)．
题号
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√
11．若函数f (x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和
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B　[∵函数f (x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即
∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B．]
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12．(多选题)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值可能是(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
√
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√
√
ABD　[函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1．]
题号
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13．已知函数f (x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是___________．
题号
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(2，＋∞)　[设函数f (x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，且02，即x1＋x2的取值范围是(2，＋∞)．]
(2，＋∞)　
14．已知函数f (x)＝其中k≥0．
(1)若k＝2，则f (x)的最小值为________；
(2)若关于x的函数y＝f ( f (x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．
题号
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－1　
[0，1)　
(1)－1　(2)[0，1)　[(1)当x<0时，f (x)＝－x＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f (x)>2；
当x≥0时，f (x)＝x2－1在区间[0，＋∞)上单调递增，则f (x)≥f (0)＝－1．
则f (x)的最小值为－1．
题号
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(2)令f (x)＝t，则y＝f (t)．
当k∈[0，1)时，函数f (x)的图象如图①所示．
题号
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图①
则f (t)＝0 t＝1，则函数f (x)的图象与直线y＝1有两个交点，则k∈[0，1)满足题意．
当k∈[1，＋∞)时，函数f (x)的图象如图②所示．
则f (t)＝0 t＝1，则函数f (x)的图象与直线y＝1只有一个交点，则k∈[1，＋∞)不满足题意．
综上，k∈[0，1)．]
题号
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图②
15．已知函数f (x)＝4x－a·2x+1＋1．
(1)若函数f (x)在x∈上有最大值－8，求实数a的值；
(2)若函数f (x)在x∈上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
题号
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[解]　(1)由题知f (x)＝4x－a·2x+1＋1＝(2x)2－2a·2x＋1，因为x∈，
所以令t＝2x∈，f ＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a，
当a≤时，f (t)max＝f (4)＝17－8a＝－8，
解得a＝(舍)，
当a>时，f (t)max＝f (1)＝2－2a＝－8，
解得a＝5，
所以a＝5．
题号
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(2)由(1)知f (x)＝(2x)2－2a·2x＋1，令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a．
因为函数f (x)在x∈上有且只有一个零点，
所以f ＝t2－2at＋1的图象在上与x轴只有一个交点，
所以
解得a＝1，
或者f ·f ≤0，
题号
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即≤0，整理解得≤a≤，
当a＝时，f＝t2－2at＋1的图象与x轴有两个交点，故舍．
综上，题号
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谢 谢！