【学霸笔记：同步精讲】第8章 8.1 8.1.2 用二分法求方程的近似解 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共64张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第8章　
函数应用
8.1.2　用二分法求方程的近似解
8.1　二分法与求方程近似解
学习任务 核心素养
1．通过实例理解二分法的概念．(难点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法． 3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点) 借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理、数学建模和数学抽象的核心素养．
通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f (x)＝ln x＋2x－6零点的近似值(精确到0.1)．
必备知识·情境导学探新知
知识点1　二分法的定义
一般地，对于在区间[a，b]上图象__________且_________________的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近函数f (x)的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
连续不断
f (a)f (b)<0
一分为二
体验　1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是
(　　)
A　　 　　B　 　　C　　　　　D
√
知识点2　用二分法求方程的一个近似解的操作流程
以上操作过程中，如果存在c，使得______________，那么c就是方程f (x)＝0的一个精确值．
f (c)＝0
提醒　用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f (x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f (x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．
体验　2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　)
(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f (x)在[a，b]内的所有零点得到． (　　)
×
×
×
×
类型1　“二分法”的概念
【例1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)
关键能力·合作探究释疑难
√
A　　　　B　　　 　C　　　　D
D　[根据二分法的基本方法，函数f (x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f (a)·f (b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项ABC都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D．]
反思领悟　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4，4　　　　　　　　　　 B．3，4
C．5，4 D．4，3
√
D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．]
2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是(　　)
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f (x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f (x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f (x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f (x)＝0在[a，b]内的精确解
√
D　[如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确．]
类型2　用“二分法”求方程的近似解
【例2】【链接教材P233例3】
利用计算器，求方程ln x＝2－x的近似解．(精确到0.1)
[解]　分别画出函数y＝ln x和y＝2－x的图象，如图所示，在两个
函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程ln x＝2－x的解．由函数y＝ln x 与y＝2－x的图象可以发现，方程ln x＝2－x有唯一解，且这个解在区间(1，2)内．设f (x)＝ln x＋x－2，则函数f (x)的零点即方程ln x＝2－x的解，记为x0，利用计算器计算得
f (1)＜0，f (2)＞0 x0∈(1，2)；
f (1.5)＜0，f (2)＞0 x0∈(1.5，2)；
f (1.5)＜0，f (1.75)＞0 x0∈(1.5，1.75)；
f (1.5)＜0，f (1.625)＞0 x0∈(1.5，1.625)；
f (1.5)＜0，f (1.562 5)＞0 x0∈(1.5，1.562 5)；
f (1.531 25)＜0，f (1.562 5)＞0 x0∈(1.531 25，1.562 5)；
f (1.546 875)＜0，f (1.562 5)＞0 x0∈(1.546 875，1.562 5)；
f (1.554 687 5)＜0，f (1.562 5)＞0 x0∈(1.554 687 5，1.562 5)；
因为1.554 687 5与1.562 5精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程ln x＝2－x的近似解为x0≈1.6．
【教材原题·P233例3】
例3 利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解(精确度为0.1)．
分析：求方程lg x＝3－x的解，可以转化为求函数f (x)＝lg x＋x－3的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解．
解：分别画出函数y＝lg x和y＝3－x的图象，如图8-1-4所示．在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图象可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x0，并且这个解在区间(2，3)内．
设f (x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得
f (2)<0，f (3)>0 x0∈(2，3)，
f (2.5)<0，f (3)>0 x0∈(2.5，3)，
f (2.5)<0，f (2.75)>0 x0∈(2.5，2.75)，
f (2.5)<0，f (2.625)>0 x0∈(2.5，2.625)，
f (2.562 5)<0，f (2.625)>0 x0∈(2.562 5，2.625)．
因为|2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.562 5．
反思领悟　用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程f (x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f (x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f (x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
[跟进训练]
3．求的近似值．(精确到0.1)
[解]　是x3＝2的根，因此可构造f (x)＝x3－2，问题转化为“求f (x)的零点的近似解”．
用二分法求其零点．
由f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0．故可取区间[1，2]为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，如下：
f (1)<0，f (1.5)>0 x1∈(1，1.5)，
f (1.25)<0，f (1.5)>0 x1∈(1.25，1.5)，
f (1.25)<0，f (1.375)>0 x1∈(1.25，1.375)，
f (1.25)<0，f (1.312 5)>0 x1∈(1.25，1.312 5)，
因为1.25与1.312 5精确到0.1的近似值都为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值．
1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是(　　)
A．ε越大，近似解的精确度越高
B．ε越大，近似解的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]
2．在用二分法求函数f (x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1，4]　　　　　　　　 B．[－2，1]
C．[－2，2.5] D．[－0.5，1]
√
D　[因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，
[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，只有D在其中，故选D．]
3．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
x3　
x3　[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
4．用二分法求函数y＝f (x)在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·
f (4)<0，精确到0.1，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f (2)·
f (x1)<0，则此时零点x0∈________．(填区间)
(2，3)　[由f (2)·f (3)<0可知，x0∈(2，3)．]
(2，3)　
5．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
6　
6　[第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
[提示]　(1)f (x)在区间(a，b)上的图象连续不断．
(2)在区间(a，b)端点的函数值f (a)·f (b)<0．
2．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？
[提示]　零点存在定理．
中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．
阅读材料·拓展数学大视野
我国古代数学家已比较系统地解决了某些类型方程求解的问题．约公元50～100年编成的《九章算术》，已经记载有开平方、开立方的开方方法，这些开方问题与求解两项方程，如求解x2＝a，x3＝b正根的方法是一致的；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程．同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根．
国外数学家对方程求解也有很多研究．9世纪，阿拉伯数学家花拉子米(AlKhowarizmi，约780—850)给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔塔利亚(N．Tartaglia，约1499—1557)给出了三次方程的一般解法；1545年，意大利数学家卡尔达诺(G．Cardano，1501—1576)的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里(L．Ferrari，1522—1565)的四次方程的一般解法．
数学史上，人们曾希望得到一般的五次及以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1778年，法国数学大师拉格朗日(J．-L．Lagrange，1736—1813)提出了五次方程不存在根式解的猜想．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N．H．Abel，1802—1829)成功地证明了五次及以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E．Galois，1811—1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还给出了一个代数方程能用根式求解的充要条件，他完全解决了高次方程的求解问题，并创立了对代数学发展影响深远的“伽罗瓦理论”．
虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次及以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法，就是一种常见的利用计算技术的数值解法．除了二分法，牛顿法、拟牛顿法、弦截法等也都是典型的数值解法．关于这些方法，感兴趣的同学还可以查阅相关资料作进一步的了解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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√
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一、选择题
1．用二分法求函数f (x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[1，2]
课时分层作业(四十二)　用二分法求方程的近似解
A　[∵f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0，f (－2)·f (1)<0，∴可以取区间[－2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
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2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　)
①y＝3x2－2x＋5；②y＝③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8．
A．①③ B．②
C．④ D．②④
C　[由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值．]
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3．用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，若已确定一根在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为(　　)
A．(1.4，2) B．(1，1.2)
C．(1，1.5) D．(1.5，2)
√
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D　[由已知令f (x)＝x3－2x－1，所以f (1)＝－2，f (2)＝3，由二分法知计算f (1.5)＝－0.625＜0，
故由f (1.5)＜0，f (2)＞0，得方程的根位于区间(1.5，2)内．故选D．]
√
4．用二分法求函数f (x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(2，3) D．(2，4)
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B　[因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0，
f (4)＝24＋12－7>0，f (2)＝22＋6－7>0，
所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0，2)内．]
√
5．(多选题)已知函数f (x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则下列说法中错误的是(　　)
A．函数f (x)在区间内一定有零点
B．函数f (x)在区间或内一定有零点
C．函数f (x)在内无零点
D．函数f (x)在区间或内有零点，或零点是
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ABC　[由已知及二分法求函数零点的原理，可知，
f (0)·f <0，又的中点为，
∴下一步可能f (0)·f <0，
或f ·f <0或f ＝0，故D正确．]
二、填空题
6．函数f (x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
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a2＝4b　[∵函数f (x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数
f (x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b．]
a2＝4b
7．若函数f (x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
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f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984
f (1.375)＝－0.260 f (1.437 5)＝0.162 f (1.406 25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)是________．
1.4　
1.4　[由表格知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解x1∈(1.406 25，1.437 5)，因为1.406 25与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的近似解为x0≈1.4．]
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8．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f (1.600 0)≈0.200，f (1.575 0)≈0.067，f (1.562 5)≈0.003，f (1.556 25) ≈－0.029，f (1.550 0)≈－0.060，据此可得方程f (x)＝0的一个近似解(精确到0.01)为________．
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1.56　
1.56　[由题意知，f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 25)≈－0.029<0，所以函数f (x)＝3x－x－4的一个零点所在的区间为(1.556 25，1.562 5)，因为1.556 25与1.562 5精确到0.01的近似值都为1.56，所以函数f (x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56，即方程f (x)＝0的一个近似解(精确到0.01)为1.56．]
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三、解答题
9．利用计算器，求方程3x＋＝0的近似解．(精确到0.1)
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[解]　原方程可化为3x－＋1＝0，即3x＝－1．
在同一坐标系中，分别画出函数g(x)＝3x与h(x)＝－1的简图，如图所示：
∵g(x)与h(x)的图象交点的横坐标位于区间(－1，0)且只有一个交点，∴原方程只有一解，记为x0．
令f (x)＝3x＋＝3x－＋1，则x0是函数f (x)的零点，∵f (0)＝
1－1＋1＝1>0，f (－0.5)＝－2＋1＝<0，
∴x0∈(－0.5，0)．
取－0.5和0的平均数－0.25，因为f (－0.25)>0，所以x0∈(－0.5，
－0.25)．
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取－0.5和－0.25的平均数－0.375，因为f (－0.375)>0，所以x0∈
(－0.5，－0.375)．
取－0.5和－0.375的平均数－0.437 5，
因为f (－0.437 5)<0，
所以x0∈(－0.437 5，－0.375)．
因为－0.437 5和－0.375精确到0.1的近似数都是－0.4，所以区间
(－0.437 5，－0.375)内所有数精确到0.1的近似数都是－0.4，因此方程的近似解(精确到0.1)为－0.4．
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10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0.1)
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[解]　设f (x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(图略)得：f (1)＝2＞0，f (2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1，2)内，设为x1，∵f (1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x1＜2，又∵f ＝f (1.75)＝－0.437 5 ＜0，∴1.5＜x1＜1.75，如此继续下去，得：f (1)·f (2)＜0 x1∈(1，2)，f (1.5)·f (2)＜0 x1∈(1.5，2)，f (1.5)·f (1.75)<0 x1∈(1.5，1.75)，f (1.5)·f (1.625)＜0 x1∈(1.5，1.625)，f (1.562 5)·
f (1.625)<0 x1∈(1.562 5，1.625)．
∵1.562 5，1.625精确到0.1的近似值都为1.6，
∴方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4．
题号
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√
11．(多选题)下列函数中，不能用二分法求函数零点的是(　　)
A．f (x)＝|x| B．f (x)＝x2－2x＋1
C．f (x)＝log3x D．f (x)＝ex－2
题号
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√
AB　[f (x)＝|x|存在零点0，但当x>0时f (x)>0，x<0时，f (x)>0，所以
f (x)＝|x|的函数值非负，即f (x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点的近似值，同理f (x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以f (1)＝0, 当x<1时，f (x)>0；当x>1时，f (x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故选AB．]
题号
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12．已知函数f (x)＝loga x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2A．1 B．2
C．3 D．4
题号
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√
B　[∵2∵2∴lg 2又∵b>3，∴－b<－3，
∴2－b<－1，∴loga2＋2－b<0，即f (2)<0．
∵1<<，3∴－1<3－b<0，
∴loga3＋3－b>0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0．
由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2．]
题号
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13．求方程log3x＝3－x的近似解为________．(精确到0.1)
题号
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2.3　[方程log3x＝3－x可化为log3x＋x－3＝0，所以原方程的解即函数f (x)＝log3x＋x－3的零点．
因为f (x)在区间(2，3)上单调递增，且f (2)≈－0.369 1<0，f (3)＝1>0，
所以f (x)的零点在区间(2，3)内，记为x0．
取2和3的平均数2.5，因为f (2.5)≈0.334 0>0，所以x0∈(2，2.5)．
2.3　
取2和2.5的平均数2.25，因为f (2.25)≈－0.011 9<0，所以x0∈(2.25，2.5)．
取2.25和2.5的平均数2.375，因为f (2.375)≈0.162 4>0，所以x0∈(2.25，2.375)．
取2.25和2.375的平均数2.312 5，因为f (2.312 5)≈0.075 6>0，所以x0∈(2.25，2.312 5)．
因为2.25和2.312 5精确到0.1的近似数都是2.3，所以区间(2.25，2.312 5)内所有数精确到0.1的近似数都是2.3，因此方程的近似解(精确到0.1)为2.3．]
题号
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14．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根．如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是___________．
题号
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(1，2)　[令f (x)＝2x＋log2x－4，则f (1)＝－2<0，f (2)＝1>0，由零点存在定理知，f (x)在区间(1，2)内至少存在一个零点．
所以下一个有根的区间是(1，2)．]
(1，2)
15．证明：方程6－3x＝2x在区间(1，2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)
题号
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[证明]　分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示，
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1，2)上．
设f (x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：
f (1)<0，f (2)>0 x1∈(1，2)，
f (1)<0，f (1.5)>0 x1∈(1，1.5)，
题号
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f (1)<0，f (1.25)>0 x1∈(1，1.25)，
f (1.125)<0，f (1.25)>0 x1∈(1.125，1.25)，
f (1.187 5)<0，f (1.25)>0 x1∈(1.187 5，1.25)，
f (1.218 75)<0，f (1.25)>0 x1∈(1.218 75，1.25)，
f (1.218 75)<0，f (1.234 375)>0 x1∈(1.218 75，1.234 375)．
因为1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2．
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谢 谢！