【学霸笔记：同步精讲】第8章 8.2 8.2.1 几个函数模型的比较 课件----2026版高中数学苏教版必修第一册

(共60张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第8章　
函数应用
8.2　函数与数学模型
8.2.1　几个函数模型的比较
学习任务 核心素养
1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点) 2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点) 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点) 借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养．
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
必备知识·情境导学探新知
知识点　三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 ________ ________ ________
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与_____平行 随x增大逐渐近似与_____平行 保持固定增长速度
增函数
增函数
增函数
y轴
x轴
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
增长 速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度___________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度_____________；在描述现实问题的变化规律时，常用 “指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式． ②当x足够大时，总有_______________ 越来越快
越来越慢
ax>kx>logax
体验　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． (　　)
(2)对任意的x>0，kx>logax． (　　)
(3)对任意的x>0，ax>logax． (　　)
(4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢． (　　)
√
×　
×　
√
类型1　几类函数模型的增长差异
【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2 025x　　　　　　 B．y＝2 025
C．y＝log2 025x D．y＝2 025x
关键能力·合作探究释疑难
√
(2)下面对函数f (x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)
A．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
√
(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，故选A．
(2)观察函数f (x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x
在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f (x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]
反思领悟　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
[跟进训练]
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.332 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y2　
y2　[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．]
类型2　指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】函数f (x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f 与g，
f (2 025)与g(2 025)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f (x)＝2x．
(2)∵f (1)＝g(1)，f (2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f (x)＜g(x)，
∴f ＜g；
当x＞2时，f (x)＞g(x)，
∴f (2 025)＞g(2 025)．
反思领悟　由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．
[跟进训练]
2．函数f (x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x)，g(x)的大小进行比较)．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f (x)＝lg x．
(2)当xf (x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f (x)；当x＝x1或x＝x2时，f (x)＝g(x)．
类型3　函数模型的选择
【例3】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
反思领悟　几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
[跟进训练]
3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(单位：米)与生长时间t(单位：年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个模型符合？并预测第8年的松树高度．
t/年 1 2 3 4 5 6
h/米 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
[解]　在坐标轴上标出生长时间t与高度h之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3．
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
1．已知y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　　)
A．y减少1个单位 B．y增加1个单位
C．y减少2个单位 D．y增加2个单位
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
√
A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]
3．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(单位：月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　)
A．指数函数y＝2t
B．对数函数y＝log2t
C．幂函数y＝t3
D．二次函数y＝2t2
√
A　[根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A．]
4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择______________方案．
乙、甲、丙　[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]
乙、甲、丙
5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为___________________________．
y＝－＋50(0回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．比较函数增长情况有哪些方法？
[提示]　(1)解析法．直接看解析式是一次函数、指数型函数还是对数函数．
(2)表格法．通过分析表格中的数据得出函数增长速度差异．
(3)图象法．在同一坐标系中画出函数的图象，观察图象并借助计算器．
2．三类不同增长的函数有哪些特点？
[提示]　当自变量很大时，
(1)y＝kx＋b直线上升；
(2)y＝ax(a>1)指数爆炸；
(3)y＝logax(a>1)对数增长．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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一、选择题
1．(多选题)当a>1时，其中正确的结论是(　　)
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
课时分层作业(四十三)　几个函数模型的比较
√
AD　[结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．]
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2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3　　　　　　 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
B　[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3．]
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(单位：万公顷)关于年数x(单位：年)的函数关系较为近似的是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
√
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C　[将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝．]
√
4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是
(　　)
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A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
C　[小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A．因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D．后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B．故选C．]
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√
5．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝
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x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
D　[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D．
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D．]
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二、填空题
6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ ．
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y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比x ln x增长的要快．]
y＝x2
7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：
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x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
y3　
y2
y1
y3　y2　y1　[根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．]
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8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
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(1)　　 　　(2)　　 　(3)　　 　　(4)
A　　 　　　B　　　　　C　　　　 　D
(4)　
(1)　
(3)　
(2)　
(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
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三、解答题
9．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
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[解]　作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，
y＝的图象(如图)．
观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
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10．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
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时间t(天) 60 100 180
种植成本Q(元/100 kg) 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt．
利用你选取的函数，回答下列问题：
(1)求西红柿种植成本最低时的上市天数；
(2)求最低种植成本．
[解]　根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．
(1)函数图象的对称轴方程为t＝－＝＝120，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120．
(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，
得解得
所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，
所以最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．
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√
11．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f (x)的图象大致为(　　)
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A　　　　B　　　　C　　　　　D
D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f (x)的图象大致为D中的图象，故选D．]
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12．(多选题)某池塘中野生水葫芦的面积与时
间的函数关系的图象如图所示，假设其关系
为指数函数，给出的下列说法正确的是(　　)
A．此指数函数的底数为2
B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2
C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，
t2，t3，则有t1＋t2＝t3
√
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√
√
ABD　[易知该指数函数的解析式为f (x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f (5)＝32>30，所以B正确；由f (x1)＝＝4和f (x2)＝＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设＝＝＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．]
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13．若已知16题号
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>log2x　[作出f (x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0，4)内，>log2x；
x＝4或x＝16时，＝log2x；
在(4，16)内，在(16，20)内，>log2x．]
>log2x　
14．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
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1.75
1.75　[∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有
解得∴y＝－2×0.5x＋2．
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]
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15．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f (x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？
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[解]　将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)．
①对于一次函数f (x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f (2)＝2k＋b＝1.2，f (3)＝3k＋b＝1.3，
解得k＝0.1，b＝1，故f (x)＝0.1x＋1．
所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03．
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②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，
与实际误差为0.07．
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③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得
解得
故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，
所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02．
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比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．
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谢 谢！