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一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·柳州期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·石鼓期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
3．（2024九上·清城期末）关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2024九上·北京市月考）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·蓬溪期末）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·北京市期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．0
7．（2024九上·岳麓开学考）如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·洞口开学考）如果两不相等实数分别满足则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2024九上·叙永期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·衡阳期末）以和为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·岳阳模拟）已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为 ．
12．（2024九上·自贡期中）若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 ．
13．（2023九上·江岸期末）某校八年级组织篮球赛，赛制为单循环形式（即每两队之间只比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 个篮球队参赛．
14．（2024九上·北京市开学考）若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
15．（2024九上·盘龙期末）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，则花圃的宽为 米．
16．（2024九上·馆陶期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 .
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·衡东期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，求此时方程的根．
18．（2024九上·南山期末）园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米.
（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积.
19．（2023九上·广阳期末）解方程：
（1） ；
（2） ；
20．（2023九上·娄底月考）若x1，x2是一元二次方程2x2+4x-1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）；
（2）．
21．（2023九上·孝感月考） 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售。经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件。
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客。经试验发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月份销量基础上增加20件，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润恰好为8400元
22．（2025·江北模拟）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
23．（2024九上·溆浦开学考）大运会期间，某网店直接从工厂购进，两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
（1）网店第一次用元购进，两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的，两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变；且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出枚，经调查发现，每枚款纪念币每降价元，平均每天可多售出枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元？
24．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
25．（2024九上·仁寿期末） 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为，求的值．
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一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·柳州期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，化简后为，不是关于x的一元二次方程，∴A不合题意；
B、∵，当时，不是关于x的一元二次方程，∴B不合题意；
C、∵含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，∴C不合题意；
D、∵是关于x的一元二次方程，∴D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
2．（2024九上·石鼓期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
3．（2024九上·清城期末）关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】【解答】解：对于x的一元二次方程来说，
∵，
∴一元二次方程有两个相等实数根，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
4．（2024九上·北京市月考）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：配方得，
故答案为：B
【分析】根据题意对一元二次方程进而配方即可求解。
5．（2024九上·蓬溪期末）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设一个微信群里共有x个好友，由题意得，
故答案为：C
【分析】设一个微信群里共有x个好友，根据“每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条”即可列出一元二次方程，从而即可求解。
6．（2024九上·北京市期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的概念"只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且"可得关于m的不等式和方程，解之并结合各选项即可求解．
7．（2024九上·岳麓开学考）如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，则草坪的长为米，宽为，
要使草坪的面积为1800平方米， 可得（54-x）（38-x）=1800．
故选：A．
【分析】设道路的宽为x米，得出草坪的长和宽，利用“草坪的面积”作为相等关系可列方程，即可求解.
8．（2024九上·洞口开学考）如果两不相等实数分别满足则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：因为实数分别满足，
所以实数是方程的两根，
所以·
所以
故选：A.
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（若一元二次方程有两个根，两根之和等于，两根之积等于），分式方程，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．利用根与系数的关系求出，，再把变成，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值．
9．（2024九上·叙永期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
. ，
解得：．
故选：D．
【分析】解一元二次方程时，若方程两边有公因式时，先移项，再提同类项可化一元二次方程为一元一次方程，切忌直接约分。
10．（2024九上·衡阳期末）以和为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A、在x2﹣7x+12=0中，x1+x2=7，x1x2=12，此选项正确；
B、在x2+7x+12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=12，此选项不正确；
C、在x2+7x﹣12=0中，x1+x2=7，x1x2=﹣12，此选项不正确；
D、在x2﹣7x﹣12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=﹣12，此选项不正确；
故答案为：A．
【分析】根据根与系数的关系求解。分别求出各个选项中的两根之和与两根之积，结合根为3和4判定即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·岳阳模拟）已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x2
因为一元二次方程的一个根是1．
根据根与系数的关系，，得．
故答案是：2．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，可得，即可求解.
12．（2024九上·自贡期中）若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】【解答】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
13．（2023九上·江岸期末）某校八年级组织篮球赛，赛制为单循环形式（即每两队之间只比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 个篮球队参赛．
【答案】10
【解析】【解答】解：设共有x个篮球队参赛
由题意可得：
解得：x=10
故答案为：10
【分析】设共有x个篮球队参赛，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2024九上·北京市开学考）若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义，得且，
解得.
故答案为：2
【分析】利用一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，列出方程且，再求出m的值即可.
15．（2024九上·盘龙期末）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，则花圃的宽为 米．
【答案】10
【解析】【解答】解：设花圃的宽为米，长为米，根据题意，得
．
解得：，（舍去），
∴花圃的宽为10米，
故答案为：10．
【分析】设花圃的宽为米，长为米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2024九上·馆陶期末）将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 .
【答案】-5
【解析】【解答】解：由题意得将一元二次方程化成一般形式得，
∴一次项的系数为-5，
故答案为：-5
【分析】先将一元二次方程化为一般式，进而根据一元二次方程的系数即可求解。
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·衡东期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，求此时方程的根．
【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴
，
∴此方程总有两不相等实根．
（2）解：当时．方程为
∴
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据二次方程中判别式，即可求出答案；
（2）将m=4代入方程，再解方程即可求出答案.
18．（2024九上·南山期末）园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米.
（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积.
【答案】（1）解：设米，则米，
由题意可列方程为：，
∴，
∴米，米，
答：花圃的长为60米，宽为20米.
（2）解：设网红打卡点边长为m米，
由题意可列方程为：，
∴，（舍），
∴网红打卡点的面积为.
【解析】【分析】（1）设AB为x米，可得BC=2x米，根据总长为120米列出方程，解方程即可求得；
（2）设网红打卡地点的边长为m米，根据未花卉种植的面积的等量关系，列出方程，解方程可得边长，再根据正方形的面积公式，即可求得.
19．（2023九上·广阳期末）解方程：
（1） ；
（2） ；
【答案】（1）解：将方程左边因式分解可得，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
（2）解：将方程左边因式分解可得，
，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法（1）先利用因式分解法可把方程转化为：，据此可将方程转化为两个一元一次方程：或，再解两个一元一次方程可求出方程的解；
（2）先通过提取公因式可把方程转化为：，据此可将方程转化为两个一元一次方程：或，再解两个一元一次方程可求出方程的解；
（1）解：将方程左边因式分解可得，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
（2）解：将方程左边因式分解可得，
，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
20．（2023九上·娄底月考）若x1，x2是一元二次方程2x2+4x-1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x-1＝0的两个根，
（2）解：
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则，利用根与系数的关系求解即可；
（2）先通分，再把根与系数的关系式整体代入计算即可；
21．（2023九上·孝感月考） 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售。经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件。
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客。经试验发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月份销量基础上增加20件，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润恰好为8400元
【答案】（1）解：设4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
则256（1+x）（1+x）=400；
解得x =25%或-；
∵0＜x＜1
∴可得x =25%
（2）解：设7月份该吉祥物的售价为a元，
∴降价为（58-a）元，
∴销量增加20（58-a）件，
根据利润公式，可得：
，解得a=50或63；
∵a＜58
∴可得a=50（元）.
【解析】【分析】（1）根据6月份销售量=4月份销售量×（1+平均增长率）（1+平均增长率），列一元二次方程，直接开平方即可求出月平均增长率；
（2）根据降价=原售价-现售价，可列不等式表示降价钱数；根据销量增加额=每降价1元增加的销量×降价的钱数，可列不等式表示降价以后增加的销量；根据利润=售出总量×(售出价-进入价），列一元二次方程，解方程即可求出售价.
22．（2025·江北模拟）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）解：∵ 关于x的 方程有两个不相等的实数根，
∴有两个不相等的实数根．
∴．
解得：.
（2）解：∵且m为非负整数，
∴或0．
当时，原方程为．
解得，，它的根都是整数，符合题意；
当时，原方程为．
解得，，
∴它的根都是不整数，不符合题意；．
综上所述，．
【解析】【分析】（1）根据方程根的性质，利用判断式，转化为关于m的不等式求解；
（2）先根据（1）中求得m的范围和m为非负整数，求得m的值，从而可得方程求解．
（1）∵方程有两个不相等的实数根．
即有两个不相等的实数根．
∴．
解得；
（2）∵且m为非负整数，
∴或0．
当时，原方程为．
解得，，它的根都是整数，符合题意；
当时，原方程为．
解得，，
∴它的根都是不整数，不符合题意；．
综上所述，．
23．（2024九上·溆浦开学考）大运会期间，某网店直接从工厂购进，两款纪念币，进货价和销售价如表所示：注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
（1）网店第一次用元购进，两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的，两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变；且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出枚，经调查发现，每枚款纪念币每降价元，平均每天可多售出枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元？
【答案】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币个，款纪念币个
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值元，
此时个．
即购买个款，个款，网店可获得的最大利润是元
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为元
【解析】【分析】（1）根据题意设购进款纪念币个，款纪念币个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得x，y的值；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进(80-m)个B款纪念币，然后根据题意列出关于m的不等式，解之得到m的取值范围，然后列出总利润w关于m的解析式，根据一次函数的性质得到最大值；
（3） 设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，然后根据利润=单个利润×销量列出关于a的一元二次方程，然后解方程可得a的值.
24．（2024九上·溆浦开学考）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：
（2）解：方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，可知根的判别式，进而解得k的取值范围；
（2）一元二次方程有两个实数根 ，，根据根与系数关系得到，，然后利用完全平方公进行变形，解得k的值即可.
25．（2024九上·仁寿期末） 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根为，求的值．
【答案】（1）证明：由一元二次方程的根的判别式，
取任意实数时，，即，
无论取何值，方程总有两个实数根，
故命题得证．
（2）解：把代入方程，得：，
解得，
故答案为：．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）先根据题意代入x=-4，进而即可求出m。
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